методичка з матем

Самостійна робота до занять №1-2

			1.Знайти добуиток матриць АВ або ВА (якщо АВ – не
			існує)
а.	А=(4				3 -2)						1
								B			3
											5
б.				3
	A					2
						5		В=(4 –4				-1)
в.	A				0 1 2						2
								B			2
					3 1 2
											5
г.					3		1 4 1				1 2
	A										3 1
							2 0 3 1
								B			4	2
				1 3 4 2
											2
												5
2.Обчислити визначник:
			2 1 3					д)		3 2 2 2
а)			4 3 2							9 8 5 10
			1 4 3							5 8 5 8
б)			5 8 4					е)			6 5 8 4
			7 5 2								9	7	5	2
			5 3 7								7	5	3	7
										4		8	8	3

21

в)		1 4 1				є)				8 1 1 1
		0 3 1							2		3	3	4
		3 4	2							4 2		9	16
									1		1	27	64
г)		2 3 11 5				ж)				6 0 11 5
		1 1	5	2						1 1		5	2
		3 1	3	2						1	2	3	2
		3 1	3	4						3	8	0	4

3.Розвязати систему рівнянь трьома способами: - матричним -Крамера -Гаусса

x		3x		2	x		3	2			4x x			2	2x		3	1
	1											1
а) 3x1 x2 2x3 1										б)	2x1 2x2 x3							2
2x1 x2 x3 1											3x1 x2				4x3 1
3x			2x		2	x		3	2	2x		x	2	5x		3	4
	1										1
в) 2x1 3x2 2x3 1										г) 5x1 2x2					13x3 2
4x1 x2 5x3									3	3x1 x2 5x3 0

22

Самостійна робота до заняття №3-4

1. Взяти довільний вектор a і побудувати вектори

	3		, 2		,	a		,	a				, 3
		a		a			3				a			a0

2.Використовуючи два довільних вектори a та b , побудувати a b, a b,b a, 2a 3b

3.Паралелограм АВСД побудований на векторах a та b . Виразити через a та b вектори MA, MB, MC, MD , де М – точка перетину діагоналей.

4.Задані точки М1(1,2,3) та М2(3,-4,6).

Знайти:

а) координати векторів a M1M 2 , b M 2 M1

б)			знайти	довжину відрізка М1М2 та косинуси кута
			, , , що утворюють вектор							з осями координат.
									a
в) знайти координати вектора
							a
2.			Перевірити колінеарність векторів
		(2, 1,3)		та		( 6,3, 9)
	a				b

6.Чи є вектор d 0,7,23 лінійною комбінацією

векторів

5,2,1 ,

1,4,2 ,

1, 1,6 .

a

b

c

Знайти коефіцієнти лінійної комбінації.

7. Довести,

що

вектори

5,4,3 ,

a1

( 3, 1,2),

( 3,1,3) утворюють

базис в Е3 та

a2

a3

розкласти векторd (12,9,10) за цим базисом.

8.Дано трикутник з вершинами А(1,2,-1),В(2,4,1), С(3,0,0). Знайти кут при вершині А

23

9.Знайти площу трикутника з вершинами А(1,2,1),

В(4,3,2), С(2,4,4).

10.У тетраедрі з вершинами А,В,С,Д знайти об”єм V площу грані S ABC , довжину висоти опущеної з

вершини Д на грань АВС, кут між ребрами АВ і АС.

А(2,-5,3), В(1,4,2), С(-3,1,1), Д(-1,-1,4).

Самостійна робота до заняття №5,6,7,8

1.Записати в загальному вигляді рівняння прямої, яка відсікає на осях координат відрізки a 52 ,b 101

2.Який кут утворює з додатнім напрямом осі абсцис пряма 2х+2у-5=0

3.Побудувати прямі

1)4х+5у+15=0

2)2х-у=0

3)7х-10=0

4)2у+3=0

4.Пряма відсікає на осях координат рівні додатні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа площа трикутника, утвореного прямою з осями координат дорівнює 8кв. од.

5.Скласти рівняння прямої, яка проходить через т.А(2,5)

івідсікає на осі ординат відрізок b=7.

6.Довести, що пряма 2х-3у+2=0 паралельна прямим:

а) 6х-9у+5=0

24

б) y 23 x

в) x 1 y 3 5 2

та перпендикулярна прямим:

а) 3х+2у-5=0

б)	y		3 x 6
			2
в)	x 2			y 1
	2			3

7. Знайти відстань між паралельними прямими а) х-2у+6=0 та 2х-4у+7=0 б) 2х-3у+2=0 та 6х-9у+5=0

в) 2х-3у+3=0 та y 23 x

8. Знайти кут між прямими а) 5х-у+7=0 та 2х-3у+1=0 б) 2х+у=0 та у=3х-4 в) 3х-2у+7=0 та 2х+3у-3=0

г) х-2у-4=0 та 2х-4у+3=0 д) у=-2х+3 та у=3х+5

x t 6 9. Знайти відстань від т.С(-1;3) до прямої y 3t 2

x 5t 1 10. Знайти кути, що утворює пряма y 2t 3

а) з віссю ОХ б) з віссю ОУ

в) з прямою 3х-у+1=0

11. При яких значеннях a прямі ах-4у=6 та х-ау=3

25

а) перетинаються б) паралельні в) збігаються

12.Знайти рівняння прямої, симетричної прямій х- 2у+1=0 відносно прямої х-у+1=0

13.Дано рівняння сторін трикутника: х-2у+2=0 (АВ)

2х-у-1=0 (АС)

х+у-5=0 (ВС)

Знайти рівняння його висоти, проведеної з вершини С.

14.Знайти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що b=3, E=0,8

15.Визначити рівняння та її поверхню в канонічному вигляді 4х2+9у2-8х+36у+4=0

16.Скласти рівняння площини, що проходить через

т.М(2,1,-1) перпендикулярно вектору n (1, 2,3)

17.Побудувати площини, що задані рівняннями:

a)2x-y-2z+5=0

б) x+5y-z=0 в) 3x-2y-z=0 г)5y-3z=0 д)x+z=0

18. Визначити, які з прямих паралельні та знайти відстань між ними

а) 2x-3y+5z-7=0 та 2x-3y+5z+3=0 б) 4x+2y-4z+5=0 та 2x+y+2z-1=0 в) x-3z+2=0 та 2x-6z-7=0

19. Які з пар прямих перпендикулярні?

26

а)	3x-y-2z=0	та			x+9y-3z+2=0
	б) 2x+3y-z-3=0 та x-y-z+5=0
в) 2x-5y+z=0 3x-y-5z+1=0
20.	Скласти канонічне рівняння прямої, що є перетином
	площин
	x-2y+z+1=0 та 2x-y+3z-2=0
21.	Знайти точку перетину	прямої	x		y 1			z 1	із
			2		1
							2

площиною x+2y+3z-29=0

27

Модуль 2

Практичні заняття №9-10 Вступ до математичного аналізу

Короткі теоретичні відомості

Число а називають границею послідовності х1, х2, ...., хn, якщо для довільного Е>0 існує число N=N(E) таке, що нерівність xn a E виконується для всіх n>N, і позначають

a lim xn

n

Число А називають границею функції f(x), для х, що наближається до а,якщо для довільного Е>0 існує (E) 0 ,

таке, що		f (x) A		E , як тільки		x a		.
Це записується у вигляді					lim f (x)				A
					x a
Якщо х>a і x a , то пишуть									x a 0 , число

f (a 0) lim f (x) називається границею зліва f(x) у точці а.

x a 0

Якщо х>a і x a , то пишуть	x a 0
Число f (a 0) lim f (x)	називається границею
x a 0

справа f(x) у точці а.

Важливі значення мають такі границі:

lim sin x 1 - перша визначна границя

x 0 x

lim(1	1 ) x	e або	lim(1 x) 1x	e , де	e 2,718281... -
x	x		x 0

друга визначна границя.

28

Функцію y=f(x), визначеному в деякому околі точки х0, називають неперервною в т. х0, якщо границя функції і її значення в цій точці збігаються, тобто

lim f (x) f (x0 )

x 0

Для неперервності функції f(x) у точці х0, необхідної достатньо,щоб вона була неперервна в цій точці зліва і справа,

тобто	lim f (x) lim f (x) f (x0 )
	x x0 0	x x0 0
	Якщо ця умова не виконується, то говорить, що функція
f(x) має розрив неперервності у т.х0.
	Якщо	функція	f(x)	має	скінченні	границі
lim	f (x)	f (x0 0)і lim	f (x) f (x0		0) при чому	не всі
x x0 0		x x0 0

три числа f(x0), f(x0-0), f(x0+0) рівні між собою, то х0 називається точкою розриву першого роду.

Якщо в точці х0 хоча б одна з односторонніх границь дорівнює нескінченності або не існує, то цю точку називають точкою розриву другого роду.

Таблиця еквівалентності нескінченно малих величин

Нехай a і n – сталі, a>0, a 0. При х 0

x ~ sin x			x ~ arcsin x				x ~ ex 1
x ~ tgx		x ~ arctgx					xln a ~ ax 1
x2	~ 1 cos x		x	~	x 1	1		x	~ loga (1	x)
2		2						ln a

29

Практичні завдання

1.Побудувати графіки заданих функцій шляхом геометричних перетворень графіків елементарних функцій:

а) y x 3 ;

б) y sin x ;

в) y 3sin(2x 1) ;

г) y ln(x 2) 1.

2. Знайти границі відношення многочленів:

а) lim x2 3x 8 ;
X 2	x 4

б) lim 23x 7 ;

X 3 x 27

в) lim x2 x2 2x5x15 ;

X 5

г)	lim	2x2 x 3 ;
		3x		2	5x 1
	X
д)	lim	5x3 x2 2x 8 ;
			4x			2	3x 7
	X
е)	lim	2x3 x 5 .
		x	3	x			2	1
	X

3. Знайти границі виразів, що містять ірраціональності:

	а) lim	x 3 2 ;
		x 1
	X 1

	б) lim	x2 x	12 ;
		x 2	4 x
	X 3

в) lim				1 x x 1			;
					x
	X 0
г)	lim		3 29 x 3
			x	2	3x 2
	X 2

30