методичка з матем

4. Знайти границі виразів, що містять тригонометричні функції:

а)	lim	sin3 5x ;
		x	3
	X 0
б) limsin 7x ;
	X 0	sin 3x
в) lim		1 cos 2x ;
			x2
г) lim			xtg3 x				.
		cos x cos			3	x
	X 0

5.Виконати завдання 4, використовуючи таблицю еквівалентності нескінченно малих значень.

6.Знайти границі виразів, що містять змінну величину в основі і в показнику степені або під знаком логарифма:

а) lim (2x 3) / 2x 3x 4 ; X (2x 4) / 2x

б) lim 2x 1 3x 1 ; X 2x 1

в) lim x 1 5x 1 ; X x 2

г) limx ln x5 3x4 5ln x .

X

7. Показати, що при x=4 функції мають розриви. Визначити їх характер.

		1
	а) f(x)= 6		x 4
	б) f(x)=	1
		1			4
		x 2 x

31

в) y=arctg 2 x 4

8.Побудувати графіки функцій шляхом геометричних перетворень графіків елементарних функцій

а) y=(x-2) 2 б) y=-cos x+2 в) y= sin x

9. Знайти границі функцій

а) lim

x2

7x 18

x

3

6x

2

16x

x 2

б) lim

2x 1

x

3

в)lim

2x2 x 6

x

2

3x 2

x

г) lim

x2 2x5

4 2x

3

x

5

x

д)lim

x 6

x 4

8 x

x 6

е)lim

x 12

x 6

x

є)lim

1 cos3 x

x

2

ж)

x

x 1

lim 4

3x

2x

x 1

з) lim

x

ln 3x 4 ln 3x

x

4

32

Практичні заняття № 11-12

Похідна та її застосування

Короткі теоретичні відомості

Основні правила диференціювання ( U , V – диференційована функ-ція).

1)	(C U ) C U ' , де С –const
2)	(U V )' U ' V '
3)	(U V ) U 'V UV '
4)	(U )' = U 'V UV '
	V	V 2

Похідна складної функції

Якщо y (U ) , а U g(x) , то y називають складною функцією

Тоді y' '(U ) U '

Похідна неявної функції

y' F' x(x, y) F' y(x, y)

Похідна функції , що задана параметрично Якщо функція задана параметрично

x (t)	t [T1;T2 ] , то
y (t)

y'x y't '(t) x't '(t)

Диференціал функції dy y' dx

Рівняння дотичної до кривої y(x) в точці y y(x0 ) y'(x0 )(x x0 )

33

Рівняння нормалі до кривої y(x) у точці x0

y y(x0 ) y'(1x0 ) (x x0 )

Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка

1.Знаходимо область визначення функції , точки розриву, інтервали неперервності .

2.Досліджуємо функцію на парність , не парність , періодичність.

3.Знаходимо асимптоти графіка функції.

4.Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.

5.Знаходимо кретичні точки першого роду , інтервали зростання та спадання функції , точки екстремумів та екстремальні значення функції.

6.Знаходимо критичні точки другого роду , інтервали опуклості та угнутості графіка функції , точки перегину та значення функції в точках перегину.

7.Згідно з результатами дослідження будуємо у системі координат отримані точки , асимптоти і графік функції.

8.Похилі асимптоти : y kx b

Практичні завдання

1. Знайти похідну першого порядку :

						y (2x2					3
	a)	y sin x x 4			е)				1) 2
	б)	y 2x cos x			є)	y		x
							x2 1
	в) y		1		ж) y x2 e x
			1 4x
	г) y		4x 7		з)	y ln(		x2	1		)
								x	1
	д)	y tgx5

34

2. Знайти диференціали першого порядку :

а) y (esin x 1)2

б) y 3arctgx2

3.Знайти похідні першого порядку функції , заданих неявно та параметрично :

а) y2 sin 2x tg2 y x3

б) exy x2 y2 0

x t 1 sin 2t

в) 2y cos3 t

x t ln cost г) y 1 ln sin t

4. Знайти границі функції :

а) (x)		x sin x				, x0	0
			x2
б) (x) (1)					1 x2		, x0 0
					x2
		x
в) (x)	x3		, x
		ex

5. Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривої y = (x) у т. M 0

а)	y 2x3 x 1 в т. M 0 (1;2)
б)	y x ex в т. M 0 (0;0)

35

в) y arctgx в т. M 0 (1; 4 )

г) y sin 5x в т. M 0 (0;0)

6. Знайти екстремуми функції :

а) y 2x3 6x 7

б) y 2x3 9x2 12x 5

в) y (x2 3x 4)3

7. Знайти інтервали опуклості , угнутості та точки перегину функції :

x2

а) y e 2

б) y x4 2x3 36x2 x

8.Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки :

а) y 2x3 12x2 18x

	б)	y	x2
			x 2
	в)	y	2x 1
			(x 1)2
	г)	y	2x 1
			x 3

д) y x2 (2 x)2

9. Знайти першу похідну наступних функцій :

а) y 2x3 5x2 7x 4

36

б) y x2 ex

в) y x3 arctgx

3

г) y x 2 (3ln x 2) д) y arcsinx x

е) y (2x3 5)4

10. Знайти рівняння нормалі і і дотичної до кривої y (x) у

	т. M 0 :
а)	y 2 x4		M 0	(1;1)
б)	y 5 4	x	M 0	(1;6)
в)	y 5 4	x	M 0 (1;4)
г)	y 3 2	x	M 0 (1;5)

11.Знайти першу похідну від функцій заданих неявно або параметрично :

а) x2 y2 xy 1

б) x3 y3 3xy 0

x a cost

в) y bsin t

x cost

г) y tedt

12. Дослідити методами диференційованого числення функції та

37

побудувати графіки :

	а)	y			1
				x	2
	б)	y		x 1
				x 1
	в)	y			x3
			(x 1)2
	г)	y	ex
				x

38

Самостійна робота до занять 9-12

1. Задану функцію записати у вигляді рівностей ,кожна ланка якого містиь основну елементарну функцію :

а) y arcsin(3 x ) б) y lg sin 3x

в) y (3cos x)5 ln 26x2

2. Знайти область існування функції :

	а) y	1
		x 1

б) y 3cos 2x x 2

в) y ln 1 x

г) y sin x 3

д) y 1 x2

4 x2

3. Знайти границі функцій :

а) lim 34x2 42x 1 x 2x 3x

x

б) lim 2x4 x3 1 x2 4x 2

x

в) lim		1 x	1 x
		4x
x 0
г) lim		x 12	4 x
		x2 2x 8

x 4

39

д) lim tgx x3sin x x 0

sin 2x е) lim x24

x 0

4

є) lim(10 3x) 9 x2 x 3

1

ж) lim(1 2x) x x 0

10

з) lim(2x 1) 2 x x 0

4. Задана функція y (x) та два значення аргументу x1; x2

1)Встановити чи буде функція неперервна в кожній точці;

2)У випадку розриву функції знайти її однобічні границі зліва та справа;

3)Зробити схематичний малюнок.

1
а) y 5	x 4								, x 2, x		2			4
1
1
б) y 6				x 3					, x 4, x			2		3
1
1
в) y 7				x 5				, x 7, x				2		5
1
1
г) y 10					x 9					, x 8, x			2	9
1
1
д) y 4				x 1			, x 3, x				2			1
1

40