Лекция 6. Непрерывность функции одной переменной

• Непрерывность функции в точке

• Односторонняя непрерывность справа и слева, связь с непрерывностью в точке

• Классификация точек разрыва. Примеры

• Свойства непрерывных функций:

• теорема о локальной ограниченности;

• теорема об устойчивости знака непрерывной функции в точке

• Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность многочлена и дробно-рациональной функции

• Теорема о непрерывности сложной функции

• Непрерывность элементарных функций

6. 1 Непрерывность функции в точке

Определение. Функция называется непрерывной в точке (– предельная точка), если существует

(1)

Обратим внимание на то, что условиями непрерывности функции в точке (при записи соотношения (1)) являются:

1) существование конечного значения ;

2) существование конечного .

Так как , то. Следовательно, непрерывные в точке функции (и только они) перестановочны с операцией предельного перехода (т. е. можно переходить к пределу под знаком функции):

.

Определение. В изолированной точке любая функция непрерывна.

Определение. Функция , не являющаяся непрерывной в точке, предельной для, называетсяразрывной в ней. Точку называютточкой разрыва функции , причем функцияможет быть не определена в этой точке.

Подставляя сюда определения предела по Коши или по Гейне, получим:

Определение непрерывности функции в точке по Коши: функция непрерывна в точке , если.

Определение непрерывности функции в точке по Гейне: функция непрерывна в точке .

6.2 Односторонняя непрерывность, связь с непрерывностью в точке

Из связи существования предела и односторонних пределов получаем:

Определение. Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , предельной для множества, если

.

Критерий непрерывности функции в точке через односторонние пределы.

Функция непрерывна в точке , предельной для множества,тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке и слева и справа, то есть

. (2)

Положим

.

Величину называютприращением аргумента, а –приращением функции. Так как , то условие непрерывности (1) можно переписать в виде. Отсюдаили

(3)

Равенство (3) называется разностным условием непрерывности функции в точке и служит практическим приемом доказательства непрерывности функции в точке.

Пример. Покажем, что функция непрерывна в любой точке .

Имеем

.

Значит, функция непрерывна во всякой .

6.3 Классификация точек разрыва. Примеры

Пусть функция , – предельная точка для множества.

Определение. Если (может вообще не существовать), то точканазываетсяточкой устранимого разрыва.

Замечание. В случае устранимого разрыва

. Указанный разрыв можно устранить, если дополнить разрывную функцию до непрерывности следующим образом:

Пример. Функция имеет в точкеустранимый разрыв, так как .Здесь не существует.

Если положить , то получим непрерывную функцию

Определение. Если существуют конечные односторонние пределы , не равные между собой(значениеможет также не существовать), то точканазываетсяточкой разрыва 1 - го рода.

Число называетсяскачком функции в точке .

Во всех остальных случаях точку разрыва будем называтьточкой разрыва 2 - го рода.

Замечание. В случае разрыва 2 - го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или вообще не существует.

Если односторонние пределы бесконечны, то точкуиногда называютполюсом.

Примеры. 1.

Здесь точка - точка разрыва первого рода:. Заметим, что скачок функции в этой точке равен.

2. Функция имеет в точкеразрыв второго рода, так как

не существует (см. пример ).

3. Исследуем поведение функции. .

.

Функция имеет в точке разрыв второго рода. Прямаяявляется правой вертикальной асимптотой графика функции(см.).

Исследуем поведение функции на бесконечности:

. Поэтому прямая является горизонтальной асимптотой графика функции(см. ) Построим график функции:

Здесь .

4. Исследуем поведение функции .

Здесь .

Точки – точки разрыва первого рода. Функция непрерывна справа в точках .