- •Лекция 6. Непрерывность функции одной переменной
- •6. 1 Непрерывность функции в точке
- •6.2 Односторонняя непрерывность, связь с непрерывностью в точке
- •6.3 Классификация точек разрыва. Примеры
- •6.4 Свойства непрерывных функций
- •6.5 Арифметические операции над непрерывными функциями
- •6.6 Теорема о непрерывности сложной функции
- •6.7 Непрерывность элементарных функций
- •Лекция 7. Функции непрерывные на отрезке
- •7.1 Непрерывность функции на множестве
- •7.2 Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)
- •7.3 Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции)
- •7.3 Теоремы о корнях непрерывной функции теорема 3 (теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции)
- •7.4 Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •7.5 Определение функции равномерно непрерывной на множестве. Теорема Кантора
- •Глава 3
- •§3.1 Производная функции
- •Бесконечные производные
7.3 Теоремы о корнях непрерывной функции теорема 3 (теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции)
Пусть и. Тогдатакое, что.
Доказательство. Пусть ,. Разделим отрезокпополам:
если , то;
если , то обозначим,;
если , то обозначим,.
Заметим, что длина отрезка в два раза меньше длины отрезка.
Разделим теперь отрезок пополам и повторим предыдущие рассуждения. То есть, если в точке деления функция обращается в ноль, то нужная точка уже найдена. В противном случае выберем тот из получившихся отрезков, в концах которого функция принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезоки заметим, чтои.
Продолжим этот процесс. Если , то.
Если мы не встретим нуль функции на каком-то шаге, то получим последовательность вложенных отрезков , длины которых. Значит, согласнолемме Коши-Кантора о вложенных отрезках существует точка .
Докажем, что . Так как последовательностьи ограничена,. Так как последовательностьи ограничена,. Для каждого, следовательно,.
Функция непрерывна в точке, поэтому
, .
, (1)
.(2)
Из (1) и (2) вытекает, что.Теорема доказана.
Следствие (теорема о прохождении непрерывной на отрезке функции через любое промежуточное значение).
Пусть и. Тогда для любого числа, заключенного междуи, существует такое, что .
Доказательство. Рассмотрим функцию . Функциянепрерывна наи. Согласно теореме Больцано-Коши о нуле непрерывной функции, то есть. Теорема доказана.
Следствие. Если функция непрерывна на , то
, (3)
где ,.
Доказательство. Для каждого , поэтому
. (4) По теореме Вейерштрасса,.
Пусть (если). Имеем:,. По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях. То есть мы доказали, что функцияпринимает все значения от до, следовательно,
. (5)
Из (4) и (5) вытекает (3).
Другая формулировка следствия:
Если , то.
7.4 Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
Лемма. Функция , монотонная на, непрерывна на нем тогда только тогда, когда,.
Доказательство. Необходимость. Согласно следствию из теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях .
Пусть функция возрастает на. Тогда, следовательно,,.
Достаточность. Пусть функция монотонно возрастает наи. Покажем, что функциянепрерывна на. Доказательство проведем от противного. Предположим, что функцияразрывна и пусть- точка разрыва (первого рода!). Возможны три случая:
1); 2); 3).
1) Если , то, так как функциявозрастает, то,,, причем(в силу монотонности функции)
Выберем такое число , что
(6)
Так как ,, то. Если, то, что противоречит (6).
Так как , то. Поэтому, если, то, то есть, что опять противоречит выбору. Таким образом, точкане может быть точкой разрыва функции.
2) Доказывается аналогично.
3) . Пусть,.
Так как , то
, (7)
а так как – точка разрыва (первого рода), то(одно из неравенств в (7) является строгим).
Выберем () так, что. (8) Так как, то. Имеем. Поэтому. Если, то, что противоречит (8). Так как, то. Если, то, что противоречит (8).
Если , то, что также противоречит выбору числа.
Таким образом, точка не может быть точкой разрыва функции.
Лемма доказана.
Пусть биективное отображение. В таком случае функцияобратима. Справедлива
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
ТЕОРЕМА. Пусть функция строго возрастает (убывает) и непрерывна на. Тогда:
;
обратима;
C) обратная функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на.
Доказательство.
А) Смотри лемму.
B) Отображение биективно ( или ) и, значит, обратимо.(Смотри Обратное отображение (Лекция №4)).
С) Пусть строго возрастает на. Покажем, чтострого возрастает на. Пусть,. Тогда,. Для. В самом деле, если, то есть; если, то есть. Поэтому.
Так как строго возрастает наи, то по лемменепрерывна на. Теорема доказана.