- •Лекция 6. Непрерывность функции одной переменной
- •6. 1 Непрерывность функции в точке
- •6.2 Односторонняя непрерывность, связь с непрерывностью в точке
- •6.3 Классификация точек разрыва. Примеры
- •6.4 Свойства непрерывных функций
- •6.5 Арифметические операции над непрерывными функциями
- •6.6 Теорема о непрерывности сложной функции
- •6.7 Непрерывность элементарных функций
- •Лекция 7. Функции непрерывные на отрезке
- •7.1 Непрерывность функции на множестве
- •7.2 Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)
- •7.3 Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции)
- •7.3 Теоремы о корнях непрерывной функции теорема 3 (теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции)
- •7.4 Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •7.5 Определение функции равномерно непрерывной на множестве. Теорема Кантора
- •Глава 3
- •§3.1 Производная функции
- •Бесконечные производные
6.4 Свойства непрерывных функций
ТЕОРЕМА 1 (о локальной ограниченности)
Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Пусть ,.
ТЕОРЕМА 2 (об устойчивости знака непрерывной функции в точке)
Если функция непрерывна в точкеи, то.
В самом деле, так как непрерывна в точке, то.
Тогда .
При этом , еслии, если.
Отсюда вытекает, что, если функция непрерывна в точкеи, то она сохраняет знак в некоторой окрестности точки.
Следствие. Пусть ,,непрерывны в точкеи. Тогда:.
Доказательство. Рассмотрим непрерывна в точке,:.
6.5 Арифметические операции над непрерывными функциями
ТЕОРЕМА 3. Сумма и произведение непрерывных функций непрерывны: если функции : непрерывны в точке , то функцииитакже непрерывны в этой точке.
Доказательство.
Пусть – изолированная точка. Тогдаинепрерывны по определению.
Пусть – предельная точка множестваХ. Тогда
;
.
ТЕОРЕМА 4. Функция непрерывна в точке, если функция непрерывна в точке и.
Следствие. Функция непрерывна в точке, если функциинепрерывны в точкеи.
6.6 Теорема о непрерывности сложной функции
ТЕОРЕМА 5 . Пусть ,, функциянепрерывна в точке,и функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функциянепрерывна в точке.
В самом деле,
, (1)
,
но тогда согласно теореме о пределе композиции функций .
Из (1) вытекает, что . Теорема доказана.
Следствие. Если , анепрерывна в точке, то
.
Итак, для непрерывной функции переход к пределу можно выполнять под знаком функции.
6.7 Непрерывность элементарных функций
Перечислим основные элементарные функции: (), (), (),,,,,,,,.
Определение. Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операций суперпозиции, называются элементарными.
Пример. Функция является элементарной.
Среди элементарных функций обычно выделяются:
целая рациональная функция или многочлен
,
здесь n – степень многочлена, ;
–коэффициенты многочлена;
дробно-рациональная функция, являющаяся отношением двух многочленов
.
Целые рациональные и дробно-рациональные функции образуют так называемый класс рациональных функций.
К элементарным функциям относят также те иррациональные функции, которые представляют суперпозицию рациональных функций и степенных функций с дробно-рациональными показателями.
Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических функций. Элементарные функции, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными функциями.
ПРИМЕР. а) – целая рациональная функция,
или многочлен четвёртой степени;
б) – дробно-рациональная функция;
в) – иррациональная функция;
г) – трансцендентные функции.
ТЕОРЕМА. Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Доказательства вытекает из определения и теорем 3 - 5 (Свойства непрерывных функций).
Пример. Покажем, что функция непрерывна в любой точке .
Требуется доказать, что .
Лемма. .
ордината точки .
1. Пусть . , то есть , .
2. Пусть .
.
Итак, , .
3. Ясно, что .
4. Пусть . В этом случае . Таким образом,
.
Лемма доказана.
Возьмем любое положительное . Оценим модуль разности
.
Пусть . Тогда . Таким образом, функция непрерывна в каждой точке .
Пример 2. , . Функция непрерывна и строго возрастает на . Поэтому существует обратная функция, которую обозначают , определенная на , возрастающая на от до и непрерывная на этом отрезке.
Пример 3. ,,непрерывны на множестве.
непрерывна по теореме 5.
В частности, ,, непрерывна.
Пример 4. Так как для непрерывной функции переход к пределу можно выполнять под знаком функции, то
.