- •Лекция 6. Непрерывность функции одной переменной
- •6. 1 Непрерывность функции в точке
- •6.2 Односторонняя непрерывность, связь с непрерывностью в точке
- •6.3 Классификация точек разрыва. Примеры
- •6.4 Свойства непрерывных функций
- •6.5 Арифметические операции над непрерывными функциями
- •6.6 Теорема о непрерывности сложной функции
- •6.7 Непрерывность элементарных функций
- •Лекция 7. Функции непрерывные на отрезке
- •7.1 Непрерывность функции на множестве
- •7.2 Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке)
- •7.3 Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении точных верхней и нижней граней непрерывной на отрезке функции)
- •7.3 Теоремы о корнях непрерывной функции теорема 3 (теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции)
- •7.4 Обратная функция. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции
- •7.5 Определение функции равномерно непрерывной на множестве. Теорема Кантора
- •Глава 3
- •§3.1 Производная функции
- •Бесконечные производные
Бесконечные производные
Если функция непрерывна в точке иравенили, то говорят, что функцияимеет в точке бесконечную производную (равнуюилисоответственно). В этом случае касательная к графику функции в точкепараллельна оси(), и ее уравнение(так как она проходит через точку).
Пример 10. ,.
- вертикальная касательная к графику
функции.
Пример 20. ,.
- вертикальная касательная.
Односторонние производные
Пусть определена на множествеи- предельная точка(). Если (), то его называют левой производной функции в точке и обозначают.
Аналогично .
Число (если оно существует), называется правой производной функции в точке .
Теорема. Пусть - предельная точка. Функцияимеет производную в точке,, причем.
Пример. .. Так как
, то не существует.
Пример.
, то есть непрерывна в точке.
не существует, так как . (предел по Гейне не существует).
Дифференцируемость функции в точке
Определение. Функция , определенная на множестве, называется дифференцируемой в точке, предельной для множества, если существует такая линейная относительно приращениямфункция(- некоторое число), что приращениефункциипредставляется в виде(1), где.
Так как , то (1) можно записать в виде(1). Геометрически (1) означает, что, то есть в достаточно малой окрестности точкиграфик функциисливается с некоторой невертикальной прямой, то есть “спрямляется”.
Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке. Тогда ее приращение можно представить в виде (1). Имеем
.
Следовательно, производная существует и.
Достаточность. Пусть конечная производная . Тогда по определению производной.
Положим (2), если. Функцияявляется бесконечно малой при. Действительно,.
Кроме того, из (2) , тем самым доказано, что функциядифференцируема в точке.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Из (1) вытекает , то есть функциянепрерывна в точке.
Обратное утверждение неверно. Функция непрерывна в каждой точке. С другой стороны, в точкефункцияне имеет производной и по доказанной теореме не является дифференцируемой.
Дифференциал и приближенное вычисление
Определение. Дифференциалом функции в точке(дифференцируемой в этой точке) называется линейная функция приращения:
.
Формулу (1) приращения дифференцируемой функции можно записать так: .
Разность имеет более высокий порядок малости по сравнению с, по этой причине говорят, что дифференциал есть главная (линейная относительно) часть приращения функциив точке.
Если , то, очевидно,и, то есть.
Поэтому
(1)
или ,
то есть отношение дифференциалов иравно. По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обозначают символомнаряду с предложенным впоследствии Лагранжем символом.
Ж.Л. Лагранж (1736-1813) – знаменитый французский математик и механик.
Если , то, то есть,. (2)
Этим часто пользуются для приближенного вычисления значений дифференцируемой функции из некоторой - окрестности точкипри достаточно малом. Для этого формулу (2) записывают в виде(3) или(4).
Замечание. Соотношением (4) функция линеаризована в окрестности точки.
Функция
дифференцируема в точке x0 Существует
конечная производная
Функция
непрерывна в точке x0