- •Федеральное агентство по образованию
- •Часть 1. Неопределённый интеграл
- •На будущее:
- •Наиболее популярные методы решения неопределённых интегралов
- •1. Замена переменной интегрирования.
- •2. Приведение к «табличному виду»
- •3. Замена функции
- •4. Интегрирование «по частям»
- •Рациональные дроби
- •Метод «неопределённых коэффициентов»
- •6. Тригонометрические функции
- •6.1. Интегралы типа ,
- •6.2. Интегралы типа
- •6.3. Интегралы типа
- •8. Интегралы с иррациональностью типа
- •Приложение 2 Построение таблицы исходных данных и соответствующего ей совмещённого графика
- •Построение графика
- •Часть I. Неопределённый интеграл
6.3. Интегралы типа
Поверхностный взгляд на подынтегральные функции данной группы вызывает очевидные ассоциации с формулами и. Вспомним, что
Рассмотрим для примера решение интеграла . Для него подходит первая из этих формул. В результате такого преобразования решением этого интеграла будет
.
Аналогично решаются и остальные интегралы.
Пример 17.
Рецепт. Применив одну из ранее приведённых формул, получаем решение:
.
6.4. Интегралы типа
Такого рода интегралы сводятся к табличным интегралам простой подстановкой: для первого интеграла и─ для второго.
Пример 18.
Рецепт. Используем замену и получаем решение=. После обратной подстановки получаем решение:.
Пример 19.
Рецепт. Ранее был рассмотрен интеграл , поэтому данный интеграл решаем рассмотренным ранее методом «по частям»:
Нетрудно заметить, что мы снова имеем рекурсию. Отсюда искомый интеграл
6.5. Интегралы типа .
К таким интегралам наиболее эффективно (а зачастую – единственным образом) применение описанной выше «универсальной подстановки»:
Вспомним, что ,, и (см. стр. 16). Тогда интеграл примет вид== =.
В зависимости от конкретного сочетания значений коэффициентов получаем два основных исхода (с вариациями):
см. Пример 4.
. Этот случай, в свою очередь, распадается в зависимости от знака дискриминанта знаменателя =на два варианта:
2а: ─ см. Пример 3;
2б:─ см.Пример 9.
Рассмотрим конкретный пример:
Пример 20. .
Рецепт. Здесь ,,,=.
Согласно вышеприведённой формуле с использованием универсальной подстановки данный интеграл получает вид= =.Значение дискриминанта . Тогда корни трёхчлена знаменателя вычисляем по формуле=. В соответствии с методом «неопределённых коэффициентов»=
=. Отсюда имеем систему двух линейных уравнений для коэффициентов и:. Тогдаи, а=. Обратная подстановка даёт конечный ответ+С.
7. Тригонометрические подстановки
Часто в состав подынтегральных функций входят радикалы трёх видов: ,и. В этих случаях применяются соответствующие так называемые «тригонометрические» подстановки:
Для ─соответственно.
Рассмотрим применение этой рекомендации на конкретном примере.
Пример 21.
Рецепт. Преобразуем подынтегральную функцию =и замещаем аргументпо одному из двух вариантов (см. выше), например, тогда. В итоге= ===. Обратная постановка,=идаёт конечный результат= ==+.
2. Для ─. Дальше следует решение примера на эту тему.
Пример 22. .
Рецепт. Здесь , поэтому применим вариант замены из двух предложенных выше, например.
==. Это уже знакомый интеграл (см. Пример 11), тогда+С. Нетрудно показать, что==. После обратной подстановки==.
Итак, имеем конечный результат: +С.
Для . Решим соответствующий пример.
Пример 23. .
Рецепт. Здесь . Согласно рекомендациям выберем, например, вариант. Тогда искомый интеграл==. Это интеграл, рассмотренный ранее, тогда промежуточное решение имеет вид:+С. Обратная подстановка даёт окончательное решение:+С.
8. Интегралы с иррациональностью типа
Рассмотрим один из вариантов таких интегралов на примере интеграла =., гдеk, m, … – любые целые числа, =1,2,…,.
Алгоритм решения интегралов такого типа:
необходимо найти целое число М – наименьшее общее кратное (НОК) чисел ;
дроби заменить соответствующими им дробямигде─ целые числа;
тогда знаменатель подынтегральной функции принимает вид +;
теперь следует очевидная замена: =, отсюда=и=.
Далее, =, а этот интеграл решается по образцу Примера 9 или Примера 10
Пример 24. =.
Рецепт. При сопоставлении данного примера с вышеприведённым получаем ():
, ,,,.
НОК (,) = М=12;
замена =,=,=;
,
Интеграл преобразуется: ===. Здесь полная аналогия Примера 9: ==12-=
+С.
Таблица 2
Дополнительная таблица интегралов, полученных
в результате промежуточных расчётов
Примечания | ||
или | ||
=+С |
Образец решения расчётно-графической работы
Решение любого варианта РГР рассмотрим на примере «нулевого» варианта
Таблица 3
«Нулевой» вариант РГР
Номер задания |
Интегралы |
0
|
1.2.3. 4.5.6. 7. 8. 9.10. 11.12.13.14. - решение данного интеграла сопроводить совмещённым графиком функций и |
Примечания
1. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 1.
2. Выполнение каждой задачи данного демонстрационного варианта должно сопровождаться проверкой решения (см. образец).
1. =. Согласно свойствам 3 и 4 («константу желательно выносить за знак интеграла» и «интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции») получаем: =, а это – табличные интегралы, поэтому решение: =.
ПРОВЕРКА =+─+=++. Полученополное совпадение с подынтегральной функцией решаемого интеграла, значит, решение - верное.
Ответ =.
2. ===. Для решения обоих интегралов используем приём «замены переменных»: =для интеграла и =для интеграла . Тогда ==. Получаем =(табличный интеграл)=. С помощью обратной подстановки получаем ==.
Аналогичные преобразования для интеграла : ==приводят к результату ===. Таким образом, общее решение =+С.
ПРОВЕРКА (+С)== ─ очевидное совпадение.
Ответ: =++С.
3. =. Если присмотреться к числителю дроби, то без труда можно увидеть элементы производной выражения в знаменателе. Поэтому логично было бы использовать приём «замена функции»:=. Тогда дифференциал==и интеграл принимает вид, т.е. снова табличный интеграл=. После обратной замены получаем =.
ПРОВЕРКА: == == - снова имеем полное совпадение выражения производной результата и подынтегральной функции решённого интеграла.
Ответ =+С.
4. =. Подынтегральная функция данной задачи при сравнении с той же функцией Примера 7 наводит на мысль использовать метод «по частям»: =.
ПРОВЕРКА ==
==─ интеграл взят верно.
Ответ =.
5. =. Сравнение этого интеграла с интегралом Примера 8 снова вызывает ассоциации с тем же методом «по частям»: = =, т.е.=. Тогда вводим
=. Снова применим метод «по частям», но уже к вторичному интегралу:. Продолжим интегрирование:== =. Но последний интеграл совпадает с исходным интегралом, отсюда получаем следующее равенство:=. Тогда 5=
, =, а искомый интеграл ─ =+С.
Согласно тексту задания в данном пункте необходимо построить вместе графики подынтегральной и первообразной функции и, чтобы визуально убедиться в выполнении основного свойства неопределённого интеграла:. Выбор интервала значений аргументав общем случае – любой, хотя определённый интерес, например, может представлять анализ поведения этих функций вблизи точек экстремума первообразной функции, т.е. вблизи корней уравнения=0. Из текста решения данного интеграла следует, что подынтегральная функция, а первообразная функция (решение интеграла)=+С. Решаем уравнение=0. Нетрудно убедиться, что это уравнение имеет бесконечное множество решений:. Призначения обеих функций быстро уменьшаются из-за множителя, а принаоборот устремляются к. Поэтому имеет смысл выбрать, например, интервал. Найдём корни, принадлежащие этому интервалу:. Поскольку─ целое число, то эта величина в данном интервале может принять только четыре разных значения: 0,1,2 и 3, что соответствует четырём корням:. Построить совмещённый график вы можете двумя способами:вручную или средствами Excel. Но в любом случае необходимо иметь таблицу, содержащую исходные данные и поэтому состоящую из трёх колонок. Первая ─ набор значений аргумента , две остальных ─ значения подынтегральной функциии первообразной функциидля соответствующих значений. Алгоритм создания этой таблицы приведён в Приложении 2. Там же показано, как можно построить необходимый график на базе этой таблицы средствамиExcel. В последнем случае построенный в Excel график можно распечатать на принтере и вклеить в отчёт (рис.1).
Рис.1. Графики подынтегральной и первообразнойфункций, соответственно, построенные средствамиExcel.
Эти графики построены с использованием табл.4.
Таблица 4
Значения подынтегральной и первообразной функций
0 |
-7,00 |
-0,65 |
0,16 |
-1,15 |
-1,30 |
0,31 |
1,61 |
-1,20 |
0,47 |
0,86 |
-0,98 |
0,63 |
-0,18 |
-0,94 |
0,79 |
-0,30 |
-0,98 |
0,94 |
-0,05 |
-1,01 |
1,10 |
0,07 |
-1,01 |
1,26 |
0,04 |
-1,00 |
1,41 |
-0,01 |
-1,00 |
1,57 |
-0,01 |
-1,00 |
Исходные данные: , подынтегральная функцияи первообразная функция.
.
Рис.2. Графики подынтегральной и первообразнойфункций, соответственно, построенные вручную.
Хорошо видно, что на обоих рисунках нулям подынтегральной функции в точности соответствуют точки экстремумовпервообразной функции , т.е. имеет место наглядное подтверждение свойства.
Естественно, что вы должны оформить любой из этих рисунков на ваш выбор.
ПРОВЕРКА: =
===ч.т.д.
Ответ: =.+С.
6. =. Согласно рекомендациям на с.13─14 проводим замену функции на функцию==. Тогда искомый интеграл получит вид =
==. Поэтому в соответствии со свойством 4 с.8 («интеграл суммы функций» равен «сумме интегралов») с использованием табличного интегралаполучаем =─+=(+-). После обратной подстановкиполучаем: =(+) + С. Кстати сказать, с аналогичным интегралом можно познакомиться в Примере 14.
ПРОВЕРКА ((─+)+С)= +(+
))=(─+─
──+─)=(1─). Используя основное тригонометрическое тождество, переписываем полученное выражение: (1─3+3). Дальнейшие преобразования в скобках дают конечный результат: , подтверждающий правильность решённого интеграла.
Ответ: =(+)+С.
7. =. Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами и, преобразуем подынтегральную функцию и получаем: ===
+С, где =, а=.
Сначала с помощью формулы решаем первый
интеграл ==,
где
==;
==(снова замена аргумента)=;
==(удвоение аргумента)==++;
===
==(уже знакомым приёмом=)==
.
После обратной замены =.
Возвращаемся к первому интегралу: =++.
Второй интеграл решаем с помощью аналогичной замены: ===.==. После обратной замены=.
Собрав вместе результаты расчётов, получаем конечный результат:
=+С.
Авторы приносят извинения, но ввиду того, что проверочные преобразования данной задачи оказались чрезвычайно громоздкими, мы не приводим подробно проверку! Желающие могут попробовать сделать это самостоятельно.
Ответ =+С.
8. = . В этом интеграле подынтегральная функция (см. с. 23) последовательно преобразуется к форме, содержащей только степени функции и её дифференциал:. Воспользовавшись формулой=+и введя замену, получаем интеграл=.Этот интеграл легко решается:
=+С=+С.
После обратной подстановки получаем =+С.
N.B.! Этот алгоритм, естественно, не единственный: можно было бы сделать замену илии др.
ПРОВЕРКА
=
─+
=
=
==
=─ правильность решения подтверждена.
Ответ: +С.
9. . Как было предложено в Примере 18, вводим замену =. Тогда==, а интеграл==+++
+С. Обратная подстановка даёт окончательное решение
+С.
ПРОВЕРКА
==, что свидетельствует о правильности решения.
Ответ: =+С.
10. . Интеграл этого типа был рассмотрен ранее (см. с.29). Согласно приведённым там рекомендациям воспользуемся формулой . Тогда=. Разбив этот интеграл на сумму двух «почти что табличных» интегралов и дважды воспользовавшись приёмом «замены аргумента» (см.Пример 1), получим решение+С.
ПРОВЕРКА
== ===желаемый результат!
Ответ +С.
11. Этот интеграл по рекомендациям с. 31 сводится к интегралу,для которого =9, =-8 и =-7. Получаем интеграл . Поскольку дискриминант знаменателя=32, то для решения данного интеграла подходит метод «неопределённых коэффициентов» (см. с. 17 и 18). Для этого вычислим корни трёхчлена знаменателя:=и=и перепишем наш интеграл в виде. После рутинных преобразований (см. Пример 20) получаем значения коэффициентов:=и=, а интеграл принимает свой промежуточный вид:+С. После обратной подстановки окончательное решение+С.
ПРОВЕРКА
=
=
=
== ─ очевидное свидетельство правильности взятия этого интеграла.
Ответ: =+С.
12. I=. Если из-под радикала знаменателя вынести (см. с.34), то интеграл примет видI=. Согласно рекомендациям на тех же страницах необходимо ввести замену= . После этого получаем интеграл I=. Вспомнив, что, получимI==и, согласно дополнительной таблице интегралов,I=. Если вспомнить, что, тоI=+С.
ПРОВЕРКА: =
=
===- мы убедились, что решение было верным.
Ответ: =+С.
13. I= . Такой тип интеграла уже рассматривался на странице 35. По рецепту, предложенному там, вводим новую переменную =(6 ─ наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 – показателей радикалов знаменателя)===. Тогда интеграл примет видI==. Выделяем целую часть и остаток:I=. А это уже табличные интегралы:I=+С. После обратной подстановки и соответствующих преобразований решение интеграла получит следующий вид:I=+С.
ПРОВЕРКА:
Сначала приведём решение к виду, более удобному для дифференцирования: =+─+С. Тогда=+=+
===─ полное совпадение с подынтегральной функцией.
Ответ: =+С.
14. I=. При взгляде на подынтегральную функцию возникает естественное желание сделать замену аргумента на какую-либо переменную, например===. Исходный интеграл преобразуется в=. Об интеграле этого типа речь шла на с. 23. Согласно предлагаемому на этой странице алгоритму подынтегральная функция сначала расщепляется на произведение , затем преобразуется в, откуда со всей очевидностью напрашивается замена:===. Интеграл принимает вполне табличный вид===+С. После первой обратной замены=+С, а после второй и окончательной замены получаем=+С.
ПРОВЕРКА
=
+=
=+==. Прекрасный результат!!!
Ответ: =+С.
Библиографический список
Натансон И.П. Краткий курс высшей математики./ И.П.Натансон, СПб.: Лань, 2001.
2. Высшая математика в упражнениях и задачах/. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова.– М.:ООО Издательский дом ОНИКС 21век: ООО «Издательство "Мир и образование"», 2003. Ч.1.
3. Соболь Б.В Практикум по высшей математике / Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков., В.М. Поршкеян/ Ростов н/Д: Феникс, 2004.
4. Справочное пособие по математике./ И.И. Ляшко., А.К.Боярчук., Я.Г.Гай. , Г.П. Головач. – М.: Едиториал УРСС, 2003. Т1.
5. Л.А. Кузнецов. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты. /– СПб.: Лань, 2005
Таблица 5
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 25 вариантов заданий расчётно-графической работы
Интегралы, отмеченные слева значком , сопроводить совмещённым графиком функцийи.
Номер задания |
Интегралы |
1 |
1. 2.3. 4.5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. |
2 |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. |
3 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
4 |
1. 2. 3.4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
5 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
6 |
1. 2. 3.4. 5. 6. 7.8. 9.10.11.12.13.14. |
7 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
8 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
9 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11. 12.13.14. |
10 |
1. 2. 3.4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
11 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
12 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11. 12.13. 14. |
13 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
14 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
15 |
1. 2. 3.4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
16 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
17 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
18 |
1. 2. 3.4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
19 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13. 14. |
20 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
21 |
1. 2. 3.4. 5.6. 7.8. 9.10.11.12. 13.14. |
22 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
23 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8. 9.10.11.12. 13.14. |
24 |
1. 2. 3. 4. 5.6. 7.8.9.10.11.12. 13.14. |
25 |
1.2.3. 4.5. 6.7. 8. 9. 10. 11. 12.13. 14. |