Нахождение корней уравнения

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения f(x)=0.

Предположим, что на отрезке [а,b] имеется корень . Если выполняется условие f(a)*f(b)<0

(функция меняет знак на противоположный или пересекает ось Х), то внутри отрезка [а,b] существует значение корня с, при котором значение функции равно 0, т.е. f(c)=0, c Є(a,b).

Последовательно сужая отрезок [а,Ь] добиваются уточнения корня до заданного количества десятичных знаков. Нам нужна точность 0.0001

Алгоритм определения корней:

1. Определите таблицу значений функции f(x), x Є[а,b] с шагом 0,1. ( первое грубое приближение).

Для решения уравнения выполните следующие действия:

• отделите корень уравнения (приблизительно найти его графическим или аналитическим способом);

• уточните корни 3 различными методами.

Отделение корня

Проанализируйте полученную таблицу В4:В25 и найдите интервалы значений аргумента, в конечных точках которых значения функции имеют противоположные знаки (знак меняется с «+» на «-» или наоборот, значит значение функции внутри этого интервала обращается в «0», то есть там спрятался корень уравнения), графически мы видим пересечение графиком функции оси Х. Таких интервалов два: отрезок[0,1 ; 0,2] и отрезок [0,8 ; 0,9] – соответственно и корней будет тоже два.

1. Решение уравнения F(x)=0 методом перебора

Если в таблице значений функции имеются значения разных знаков, то далее табулируйте функцию на отрезке, где функция меняет знак с меньшим шагом и повторяйте далее уменьшение шага до тех пор, пока не уточните значение корня до заданной точности, например, 0,0001. Если на отрезке [а,b] функция не меняет знак, то измените левую и правую границы отрезка и постройте таблицу значений на этом отрезке.

Рассмотрим первый отрезок [0,1 ; 0,2], на этом участке функция меняет знак с «+» на «-», то есть на этом отрезке существует корень. Уточним его.

Берем начальную границу интервала А16:В16 (аргумент 0,1 и функцию 0,19098… ) копируем в D5:E5, табулируем с шагом 0,01. Мы видим, что смена знака на отрезке [0,11; 0,12]. Копируем начало отрезка смены знака в ячейкиG5:H5 и снова табулируем еще с более мелким шагом в 0,001. Следующий интервал смены знака [0,119; 0,12], копируем вJ5:K5 табулируем с шагом 0,0001. Мы достигли заданной точности и можем увидеть приближенное значение корня . Корень 0,1193 (на интервале смены знака смотрим значение функции по модулю которое ближе к «0» и берем соответствующее ему значение аргумента. Копируем значение корня в ячейкуE29

Второй корень находим аналогично первому. Копируем его значение в ячейку E31.

2. Решение уравнения Y = F(x) методом подбора параметра

Порядок выполнения работы

Скопируйте содержимое ячеек А16:В16 в диапазон А29:В29.

Выполните команду меню Сервис – Подбор параметра( или данные – работа с данными – анализ «что если» - подбор параметра). В окне диалога заполните следующие поля:

• в поле Значение введите число 0;

• в поле Изменяя значение ячейки укажите абсолютный адрес А29 (активизируйте поле и щелкните по этой ячейке левой кнопкой мыши).

Примечание.После выполнения командыПодбор параметрав ячейкеА29 будет находиться искомое значение корня уравнения ( в примере 0,119279999950255).

4. Отформатируйте ячейку А29, используя красный цвет шрифта, и введите в ячейку А28 поясняющий текст.

5. Выполните работу по определению значения второго корня уравнения Y = F(x). Результат вычисления второго корня поместите в ячейку А31, соответствующее значение функции – в ячейку В31, а пояснения введите в ячейку A30.

3. Решение уравнения Y = F(x) методом поиск решения

Скопируйте содержимое ячеек А16:В16 в диапазон С29:D29.

Выполните команду меню Сервис – Поиск решения( или данные – анализ – поиск решения). В окне диалога заполните следующие поля: установить целевую ячейку $B$32, равной значению «0», изменяя ячейки $A$32. Нажать кнопочку выполнить, установить переключатель на «Сохранить найденное решение», ОК. В ячейке С29 мы видим значение корня 0,119281737937698

Второй корень ищем аналогично и получаем значение в ячейке С31.