matematika_for_all

КОНКУРСНАЯ ВСТУПИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

В ЛЕТНЮЮ ИНТЕЛЛЕКТ-ШКОЛУ «КОРИФЕЙ ПЛЮС»

Правила выполнения и оформления работ¹. После номера каждой задачи в скобках указаны классы, для учащихся которых она предназначена. Можно выполнять задачи и для классов старше своего, но задачи для классов младше своего — не нужно, их решения учитываться не будут. Выполняя работу, можно пользоваться литературой (в решениях в таком случае должны быть приведены соответствующие ссылки), но нельзя прибегать к помощи учителей, родителей, товарищей и т.д., в том числе решать задачи коллективно. Перед решением каждой задачи должны быть записаны её номер и условие. Решения следует писать разборчиво, чётко, подробно. Все обозначения, встречающиеся на чертежах, должны быть пояснены (введены) в тексте решения.

Все утверждения, использованные в решении, должны быть обоснованы. Если задача имеет несколько ответов, надо найти все и доказать, что других ответов нет.

Работы выполняются на пронумерованных двойных тетрадных листах в клетку.. На титульном листе работы указываются фамилия. имя, отчество, школа, класс (в 2010/11 учебном году) и контактный телефон её автора. Ниже помещается таблица результатов работы. В ней должно быть две строки и столько колонок, сколько задач решено в работе. Если в задаче несколько пунктов: а), б), …, то каждому отводится своя колонка. В верхнюю строку должны быть вписаны номера заданий, а нижняя оставлена пустой: в нее проверяющие будут вписывать оценки. Решений задач на титульном листе быть не должно. Желаем Удачи!

ЗАДАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Направление «Олимпиадная математика» 6-9 классы

Не забывайте обосновывать ответы: ответ без обоснования ценится много ниже!

1. (6) Два муравья из одного муравейника одновременно отправились в гости к стрекозе. Один всю дорогу прополз, а второй первую половину пути ехал на гусенице, что было в два раза медленнее, чем ползти, а вторую половину пути скакал на кузнечике, что было в 100 раз быстрее, чем ползти. Кто из них раньше пришёл в гости?

2. (6-7) Найдите все двузначные числа, обладающие следующим свойством: число делится без остатка на каждую цифру в своей десятичной записи. Докажите, что других чисел с таким свойством нет.

3. (6-7)В коробке лежат 97 конфет. Две подруги, Ролза и Клара,делят их между собой по следующему принципу: по очереди (первая Роза) они берут себе из коробки целое число конфет, равное любому делителю числа оставшихся к этому моменту конфет в коробке,но отличное от него. Если в коробке осталась одна конфета, то её просто забирают, и на этом делёж заканчивается. Всегда ли Роза сможет набрать конфет больше, чем Клара?

4. (6-7)Расстояние от станции метро «Проспект Космонавтов»(конечная станция) до центра города не менее 9 км. На расстоянии не менее 1 км и не более 3 км от этой станции находится станция метро «Машиностроителей». На расстоянии не менее 5 км и не более 7 км от станции «Проспект Космонавтов»расположен вокзал. Точно посередине между станцией метро «Машиностроителей » и вокзалом зарыт клад, причём это место находится не дальше 4 км от центра города. Считая, что все указанные пункты находятся на одной прямой («Проспект Космонавтов» - «Машиностроителей» - вокзал - центр), определите, на каком расстоянии от центра города находится клад. Ответ обосновать.

5. (6-7) У Васи есть пять палочек длины 1, 2, 3, 4, 5 сантиметров. Он выбирает три из них и составляет треугольник. Сколько различных треугольников он может составить?

6. (6-9) Несколько пчёл село на восковой кубик, причём на всех гранях пчёл оказалось разное количество. Какое наименьшее количество пчёл могло сесть на кубик? (Пчёлы считаются очками. Пчёлы могли сесть на ребро и на вершины).

7. (6-9) Купил Роман раков: вчера мелких по цене 51 рубль, а сегодня крупных – по цене 99рудлей за штуку. Всего на раков он истратил ровно 2520 рублей. Из этих денег переплата из-за отсутствия сдачи составила некоторую сумму в рублях, про которую известно, что она больше 16, но меньше 20 рублей. Сколько Роман купил мелких и сколько крупных раков?

8. (6-9) В одном городе жили два брата-близнеца, Пётр и Василий. Пётр не говорил правду по понедельникам, вторникам и средам, а Василий — по вторникам, четвергам и субботам. Как-то я повстречал их и спросил одного: «Как тебя зовут?» — «Пётр» — ответил он. — «Какой сегодня день недели?» — «Вчера было воскресенье», — прозвучал ответ. — «А завтра будет пятница», — добавил его брат. — «Ты уверен, что говоришь правду?» — спросил я тогда второго. — «Я всегда говорю правду по средам». Кто из братьев был Пётр, и в какой день недели происходил разговор?

9. (6-9) Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, …, 2007, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 8?

10. (7-9) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Точки M и N – середины равных сторон BC и AD соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам ABи CD пересекаются в точке P. Докажите, что серединный перпендикуляр к MN также проходит через точку P.

11. (8-9) Докажите, что для положительных x и y выполняется .

12. (8-9) Докажите, что любой многоугольник можно разрезать на 3 многоугольника, из которых складывается прямоугольный треугольник.

13. (8-9) Целая часть числа [x] — это наибольшее целое число, не превосходящее x. Известно, что [a] = 2000, а [b] = 2. Сколько различных значений может принимать [a · b]?

Направление «Конкурсная математика» 9-10 классы

1. (9,10) Сравните: и

2. (10) Вычислите , если .

3. (9,10) Решите уравнение

4. (9,10) Решите неравенство

5. (9,10) От дома до дачи Миша на машине доезжает за 45 минут, а на велосипеде – за три часа. В субботу Миша часть пути проделал на машине, а оставшуюся часть проехал на велосипеде, затратив на весь путь один час. Какую часть пути от дома до дачи Миша проехал на машине?

6. (10) Решите уравнение .

7. (9,10) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Найдите ее диаметр, если известно АВ=5, ВD=13, АС=СD=15.

8. (9,10) При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня, модули которых равны?

9. (10) При каких значениях параметра а касательные, проведенные к графику функции через точку М(0;-4), перпендикулярны?

1 Убедительная просьба к учителям: выдавать ученикам задания только с приложением этих правил! Не сделав этого, Вы сильно подведёте ребят: неправильно оформленная работа может быть не допущена до участия в конкурсе.