дз 6

ДОМАШНЯЯ РАБОТА 6

Срок сдачи: 4 декабря, 13.00

1.Выполнить деление с остатком многочлена f(x) = x3 3x2 x 1 на g(x) = 3x2 2x+1.

2.Найдите наибольший общий делитель многочленов x6 + 2x4 4x3 3x2 + 8x 5 и x5 + x2 x + 1.

3.Наименьшим общим кратным многочленов f(x) и g(x) (НОК(f,g)) назовем многочлен h(x) со следующими свойствами:

1) f(x)jh(x) и g(x)jh(x);

2) для любого многочлена r(x), если f(x)jr(x) и g(x)jr(x), то h(x)jr(x).

Докажите, что многочлен НОД(f,g)НОК(f,g) ассоциирован с f(x)g(x).

4.Пусть f(x) = x4 x3 4x2 + 4x + 1, g(x) = x2 x 1. Найдите многочлены u(x) и v(x)

такие, что u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1.

5.Определите кратность корня = 2 многочлена f(x) = x5 5x4 + 7x3 2x2 + 4x 8.

6.Найдите условия для коэффициентов a, b, c, при которых многочлен x5 +10ax3 +5bx+c имеет корень кратности 3, отличный от нуля.

7.Разложите многочлен x4 + 4 на неприводимые множители над полями

а) C, b) R, c) Z5.

8. Разложите рациональную дробь на простейшие:

x2

(x 1)(x + 2)(x + 3) :

9. Разложите рациональную дробь на простейшие:

5x2 + 6x 23

(x 1)3(x + 1)2(x 2) :

10.Постройте многочлен наименьшей степени над R, который имеет корень 1 кратности 2 и корни 2, 3, 1 + i кратности 1.

11.Придумайте два трехзначных числа, на которых алгоритм Евклида делает наибольшее число итераций.

12. Пусть n – натуральное число. Пусть многочлен f(x) имеет вид a0 + a1xn + a2x2n +

: : : + akxkn. Докажите, что если f(x) делится на x 1, то он делится на xn 1.

1