matrix

			3	1	4							1	3	1		2 3 1 =
A			1	3	1			2				3	1	4
										1
			7	1	9							7	1	9			3	7 1
					1		3			1	10		1
					= 0		10			1				0.
													2
											20

020 2

2.Метод приведения к треугольному виду.

Используя свойства определителей, добьемся такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

			a11	a12	...	a1n
			0	a22	...	a2n					n
A							,		A		aii	a11 a22	... ann
			... ... ... ...								i 1			.
			0	0	...	ann

ПРИМЕР. Вычислим определитель 5-го порядка

1 0 2 1 3

4			1	3	2	5
		3	2	4	5	7
2			3	19	5	8
5			3	5	1	4

методом приведения к треугольному виду.

Решение:

			1	0	2	1	3	1			2		4 1
			4	1 3		2	5	2
											3		3 1
			3	2	4 5		7	3
													2
			2	3	19 5
							8	4				4	1
			5	3	5	1	4	5			5		5 1

14

	1	0	2	1	3	1	1	0	2	1	3	1
	0	1	5	2	7	2	0	1 5		2	7	2
	0 2		2	8	2	3 5 4 2	0 1		1	4	1	3
	0	3	15	3	2	4	0	3	15	3	2	4
	0	3	15	6	11	5	0	0	0	3	9	5

									1	0		2		1	3			1
									0	1		5		2	7			2
		3		2		2			0 0			4 2			6			3 5 4
	4		3 2						0	0 0 3					19			4
									0	0 0 3					9			5
								1		0		2		1	3
								0	1		5		2		7
				2				0		0	4			2	6		240.
								0		0		0	3		19
								0		0		0		0	10

1.3 Обратная матрица

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожден-

ной, если |A| 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица A–1 называется обратной к квадратной матрице A, если

A A 1 A 1 A E .

Один из методов вычисления обратной матрицы A–1 – метод присоеди-

ненной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица AV , составленная из алгебраических дополнений

Aij соответствующих элементов aij		матрицы A, называется присоединенной к
матрице A:
11		12	1n
	21	22
V				2n
				.
	n1	n2
				nn

15

	Т е о р е м а . Если матрица A невырожденная,		то существует, и притом един-
	ственная, обратная матрица A–1 , равная 1	1	V T , где =|A|, (AV)T – транс-

понированная присоединенная матрица. Доказательство теоремы проводится непосредственной проверкой того факта, что A A 1 A 1 A E .

Второй метод – метод элементарных преобразований строк.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число 0;

3)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой

строки, умноженных на некоторое число; Для нахождения обратной матрицы посредством элементарных преобразо-

ваний строк применяется следующий алгоритм:

1)к квадратной матрице А приписываем справа единичную матрицу того же порядка, отделив от исходной матрицы чертой;

2)к полученной расширенной матрице применяем элементарные преобразования строк, добиваясь, чтобы матрица, стоящая слева от черты, стала единичной;

3)после таких преобразований справа от черты получим обратную матрицу.

																																																	2		1	0
																																																		1	2	1
ПРИМЕР: Найти матрицу, обратную к матрице A																																																					.
																																																		0	1	2
	Решение:
1) метод присоединенной матрицы:
	A				2	1							0																										A11 A33										2	1			A22		2	0
					1 2								1						8 0 0 0 2 2 4 ,																																3,						4,
																																																	1	2					0	2
					0	1							2
	A12									1			1				2,					A13								1		2				1,	A23						2	1			2 ,
										0			2																	0		1											0	1
	A21										1		0				2, A31											1				0				1,	A32				2			0			2.
											1		2															2				1									1			1
					3								2								1										T
	V					2							4								2					V												V	– симметрическая матрица.
	A																								A							, так как A
						1							2								3
																																								3
																									3							2					1											1		2	1
						1														T			1																	4												4
		1															V
																										2						4 2								1				2				1			1 .
											A												4
																										1						2					3															2
																																							1									1		2	3
																																								4												4

16

2) метод элементарных преобразований строк:
					2 1 0												1		0 0														1		1	2		0		1				0 0
																												1													2
A		E					1 2 1										0 1 0															1			2 1				0 1 0 2 1
																							1
																												2
							0 1 2										0		0 1													0			1 2				0 0 1
					1
			1						0			1							0 0														1		1	2		0					1				0 0
					2								2															2																2
			0		3				1				1						1 0																1			2						1			2			0		3 2
																							2										0																3
																												3
					2								2																									3						3
			0 1 2									0							0 1														0		1			2					0				0 1
			1		1		2		0						1					0				0													1	1			2			0				1					0	0
																		2														3																	2
			0		1				2						1				2		3			0		3											0			1				2					1			2		0
									3									3														4												3					3				3
									4						1					2																	0			0				1				1					1	3
			0 0																					1
									3						3							3																											4				2	4
																									1
																		1	1				0							0					0
						2													2						2																				1
				2						0									1 0						1					1					1
					3				3																	2									2						1			2			2
																			0			1			1			1
																0																	3
																									4					2					4
										3									1			1								3							1				1
		1 0 0								4									2					4				1					4				2						4
			0 1					0		1								1			1					,					12					1
													2																										12 .
																									2							1					1				3
		0			0 1					1									1			3
																														4							2						4
									4										2					4

Для обратной матрицы выполняются следующие равенства:

A 1 1 A 1 ,

AB 1 B 1 A 1,

A 1 T AT 1 .

1.4.Матричные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Равенство, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, C,… называется матричным уравнением относительно матрицы X.

Рассмотрим пример, линейного относительно Х уравнения вида AXB C . Если матрицы A, B, C являются квадратными матрицами одинакового порядка и A 0, B 0, то умножая обе части уравнения, слева на A–1 и справа на B–1

17

A 1 A X B B 1 A 1 C B 1 ,

и учитывая, что A 1 A E и B B 1 E ,				получаем решение: X A 1 C B 1 .
ПРИМЕР: Решите матричное уравнение A·X = B, где
1	2	3	5
		;	.
3	4	5	9

Решение:

1 2

Вычислим 2 0 , значит матрица A – невырожденная.

3 4

Построим матрицу A–1 , обратную матрице A:

			1			T		1	4		3 T			1	4		2
1						V												.
										2	1					3	1
							2						2

Записываем решение матричного уравнения:
1					1 4			2 3	5		1 4 3 ( 2 ) 5			4 5 ( 2 ) 9
							3						( 3 ) 3 1 5	( 3 ) 5 1 9
					2			1 5	9		2
	1 2		2				1	1
			6					.
	2
		4					2	3

З а м е ч а н и е. Решение нелинейных матричных уравнений в общем случае сопряжено со значительными трудностями. Например, решение простейшего

квадратного уравнения X	2	AX O,	1		2		,	x11		x12		сводится к
			A	0	1			X x	21	x
										22

решению системы

x2 x x				x			2x			0
	11	12 21			11				21		0
x11x12 x12x22 x12 2x22
x x		x	22	x	x			21	0		.
	21 11			21
x x		x2		x		22	0
	21 12		22

0		0		и
Решая эту систему, наряду с очевидными корнями X O	0	0

	1			2	, получаем ещё бесконечно много решений вида
X A		0
				1
1	a		,	a R .
X	0
0

18

1.5.Ранг матрицы

Пусть в матрице A размерности (m n) выбраны k строк и k столбцов, причем k min (m,n). Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель Mk этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров Mk этой матрицы: r = rang A=r(A).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисным минором матрицы A называется любой минор порядка r, отличный от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы одинаковой размерности называются эквивалентными и обозначаются A B, если r(A) = r(B).

Ранг матрицы A можно вычислить двумя способами.

1 . М е то д о к а й м л я ющ и х м и н о р о в .

Пусть в матрице A элемент aij 0, тогда M1 0 и r A 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки, получаем ми-

нор 2-го порядка, например, M2	ai, j	ai, j 1	.
	ai 1, j	ai 1, j 1

Если M2 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то r A 1 ; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, от-

личный от нуля, то r A 2 .

Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr 0 , а все Mr 1 0 . Тогда ранг матрицы будет равен r.

2 . М е то д э л е м е н та р н ы х п р е о б р а з о ва н и й .

Напомним, что элементарные преобразования матрицы – это:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число 0;

3)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствую щих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Те орема . Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.

За м е ч а н и е : ранг матрицы также не изменится при:

1)транспонировании матрицы;

19

2) отбрасывании нулевой строки или нулевого столбца.

Вычисление ранга матрицы A с помощью элементарных преобразований (и отбрасывания нулевых строк(столбцов)) сводится к приведению матрицы к

форме, когда все элементы матрицы кроме a11 , a22 ,…, arr , r min n,m равны нулю. Тогда ранг матрицы A равен числу отличных от нуля диагональных элементов.

	2		3	5	3
ПРИМЕР: Вычислите ранг матрицы		3	4	3			методом элементар-
					1
		5	6	1	3

ных преобразований.
Решение:	2		3	5	3					2 1 5				3
		3	4	3	1	~	2				3	1	3	1	~
								1
		5	6	1							5	1	1
					3									3

							1				2		3		4
											1 2					5 3						1			2 5 3
			~					2			1 3					3 1	1			~	2 1		0		1 2 2				~
					1													2
															1 3						3	1	0		3 6 6
											1 5						3
	1 2 5								3 1									1			2 5 3				1 2 5				3
~		0			1 2					2			2	~ 3 2					0		1 2 2			~							~
																										0 1	2		2
		0			1 2					2			3						0		0 0 0
																						1 2		3		4
					2				1 0						0 0		3			2 2 1 0					0 0		1		0
~				2	1
			3 5 1						0 1					2		~		4									~		1	,
				4	3											2				2 2 0 1					0 0		0
					1

rang (A) = 2.

2.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1.Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений вида

20

такое множество чисел

a11x1 a12 x2 a1n xn b1,

a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,

(1)

am1x1 am2 x2 amn xn bm .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением системы линейных уравнений (1) называетсяx1 , x2 ,..., xn , при подстановке которых в каждое из урав-

нений системы получается верное равенство.

Система (1) может быть записана в матричном виде A X B , где

a11		a12		...	a1n
a		a		...	a		- основная матрица системы,
A	21		22	...	2n
...		...			...
		am2		...
am1					amn

	x1
	x
X		2
	...		- матрица-столбец неизвестных,
	xn
b1
b
B	2	- матрица-столбец свободных членов.

...

bm

Матрицы A и B объединяют в расширенную матрицу системы:

			a11		a12	...	a1n			b1
A		B	a		a	...	a			b
				21	22			2n		2
			... ...			... ...				...
					a	...	a			b
			a
			m1		m2		mn			m

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль матрицей, B O , и называется одно-

родной, если B O .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две системы называются эквивалентными, если их множества решений совпадают.

21

2.2.Решение систем n линейных уравнений

сn неизвестными методом Крамера

Рассмотрим систему вида

a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a21 x1	a22 x2	a2n xn b2 ,		(2)
.
a x a x a x b .
n1 1	n2 2	nn	n n
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Определитель матрицы			A называется главным опреде-

лителем системы линейных уравнений и обозначается символом .

Теорема. Если главный определитель системы (2) не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

	x	1	, x	2		2	, ... , x	n		n	,
	1
Здесь i
	- определители, получаемые из главного определителя системы за-

меной i -го столбца на столбец свободных членов.

ПРИМЕР: Решите систему:

2x1 3x2 2x3 9,

x1 2x2 3x3 14,

3x1 4x2 x3 16.

По формулам Крамера:

	2	3			2								9	3	2
	1	2			3	6 0,				1			14	2	3	12,
	3	4			1								16	4	1
				2	9		2					2	3	9
	2			1	14		3		18,	3		1	2	14	12.
				3	16		1					3	4	16

Посчитаем значения неизвестных:

x	1	2	, x	2	3	, x	3	2 .
1			2			3

З а м е ч а н и е. Формулы Крамера могут быть получены при решении системы

(2) матричным способом. Если 0, существует обратная матрица A 1 , и ре-

22

шение системы (1) можно записать в виде X A 1 B ; i -я строка этого матричного равенства выглядит как

n

A 1

1

n

1

i

xi

bj

Ajibj

A1ib1 A2ib2 Anibn

,

j 1

ij

j 1

так как выражение в скобках – разложение определителя i по i -му столбцу.

2.3.Схема отыскания решения системы m линейных уравнений

сn неизвестными

Отыскание решения системы линейных уравнений вида (1):

a11x1 a12 x2 a1n xn b1,

a21x1 a22 x2 a2n xn b2 ,

am1x1 am2 x2 amn xn bm .

начинается с исследования совместности этой системы. Необходимые и достаточные условия совместности определяются теоремой:

Теорема. (Кронекера Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений

(1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы:

Если

Eсли

rang(A) rang A B .

rang(A) rang A B то система заведомо не имеет решений.

rang(A) rang A B , то возможны два случая:

1)rang A n (числу неизвестных) решение единственное

иможет быть получено по формулам Крамера;

2)rang A n решений бесконечно много.

ПРИМЕР: Решите систему											2x 3y 5,
											2x 3y 2.
A		2	3		5	,		2	3		0, 1			5	3		0	rang A 1,
		B
		2	3		2			2	3					2	3

rang A B 2 ,

по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.

23