matrix
.pdfПосле установления совместности, схема отыскания решения выглядит следующим образом: пусть rang(A) rang A B r и r min m,n . Тогда лю-
бой отличный от нуля минор, составленный из элементов матрицы A порядка r , можно выбрать в качестве базисного, при этом неизвестные xi , имеющие своими коэффициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные неизвестных свободными. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Без ограничения общности
можно считать, что базисный минор располагается в первых |
r строках и r |
|||||
столбцах матрицы A системы: |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1r |
|
|
|
|
|
||||
|
a21 |
a22 |
... |
a2r |
0 |
|
|
... ... ... ... |
. |
|
|||
|
ar1 |
ar 2 |
... |
arr |
|
|
Тогда x1, x2 , ..., xr – базисные неизвестные, а xr 1, ..., xn |
– свободные не- |
|||||
известные. |
|
|
|
|
|
1)Выделяем базисные и свободные неизвестные.
2)Отбросив последние m r уравнений системы (1), записываем укороченную систему:
a11x1 ... |
a1r xr a1,r 1xr 1 a1n xn b1, |
||
|
|
a2r xr a2,r 1xr 1 a2n xn b2 , |
|
a21x1 |
|||
|
|
|
|
..................... |
|||
|
|
|
|
|
|
arr xr ar,r 1xr 1 arn xn bn. |
|
ar1x1 |
3) Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:
a11x1 a12 x2 ... |
a1r xr b1 a1,r 1xr 1 ... |
a1n xn , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a2r xr b2 a2,r 1xr 1 |
a2n xn , |
||||
a21x1 a22 x2 |
|||||||||||
........................................................................... |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x a |
r 2 |
x |
2 |
... |
a |
x b a |
x |
... |
a |
x . |
|
r1 1 |
|
|
|
rr r n |
r,r 1 r 1 |
|
|
rn n |
(3)
(4)
4) Решаем систему (4).
З а м е ч а н и е. Система (4) является следствием исходной системы (1) и ее решение может быть найдено по формулам Крамера, матричным способом или методом Гаусса, который будет изложен ниже. При этом базисные неизвестные
x1, x2 , ..., xr выражаются через свободные неизвестные. Если свободные неизвестные принимают значения
24
xr 1 c1, |
xr 2 c2 , ..., |
xn cn r , |
то базисные неизвестные являются линейными функциями c1, c2 , ..., cn r
xi xi (c1, c2 , ..., |
cn r ) , i 1, 2,..., r . |
Общее решение неоднородной системы A X B можно записать в виде матрицы–столбца:
|
|
|
|
|
x |
|
c , |
c |
, |
..., |
c |
n r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x2 |
c1 , |
c2 , |
..., |
cn r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X c , |
|
|
|
|
.................................... |
|
|||||||||
c |
|
, ..., |
c |
x |
|
c , |
c |
, |
..., |
c |
|
|
|
||
1 |
|
2 |
|
n r |
|
r |
1 |
2 |
c1 |
|
|
|
n r |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn r |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.
2.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений являются следующие:
1)перемена местами двух любых уравнений системы;
2)умножение любого уравнения системы на произвольное число k 0 ;
3)прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k 0 .
Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы A B . Заметим, что эле-
ментарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.
Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, при этом матрица, соответствующая базисному минору (см. систему (4)), преобразуется к треугольному виду элементарными преобразованиями строк:
|
|
|
... |
a |
a |
||
|
11 |
12 |
|
|
0 |
a22 ... |
... ... ... |
||
|
|
|
|
0 |
0 ... |
|
a1r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
a1,r 1c1 |
a1,r 2c2 |
... a1,ncn r |
|||||||
a2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
a2,r 1c1 |
a2,r 2c2 |
... a2,ncn r . |
|||||||
... |
.................................................... |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
c |
a |
|
c |
|
|
|
b |
r |
r ,r 2 |
2 |
... a c |
|
|||||
rr |
r |
|
,r 1 1 |
|
|
r,n n r |
Наиболее удобен метод Гаусса – Ньютона, в котором матрицу, соответствующую базисному минору, приводят не к треугольному, а к единичному виду. При этом сразу получается решение системы уравнений:
25
1 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b1 |
a1,r 1c1 |
a1,r 2c2 |
... a1,ncn r |
||||||||||
|
0 |
1 ... |
0 |
b a |
c |
a |
c |
... a |
c |
|
|
||
|
|
... ... |
... |
2 |
2,r 1 1 |
2,r 2 2 |
2,n |
|
n r . |
||||
... |
.................................................... |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
br ar,r 1c1 |
ar,r 2c2 |
... ar,ncn r |
||||||||||
|
|
|
Заметим, что в полученной слева матрице некоторые диагональные элементы могут быть не единицами, а нулями. В этом случае, если справа выражение не равно нулю, то система несовместна.
x1 x2 x3 6
ПРИМЕР: Решите систему 2x1 x2 x3 3 .
x1 x2 x3 0
Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы:
|
|
|
|
|
1 1 1 |
6 |
|
2 2 1 |
|
1 |
|
|
1 1 |
6 |
|
|
|
1 |
|
1 1 1 |
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||
A |
|
B |
|
2 |
|
1 1 |
3 |
|
|
|
|
0 |
3 |
1 |
9 |
|
|
3 |
|
|
|
0 3 1 |
|
|
9 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 1 |
0 |
|
|
|
3 1 |
|
|
0 |
|
0 2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 3 |
|
1 1 |
0 |
3 |
|
|
|
1 |
|
1 1 0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 3 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
2 |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
0 0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. Однородные системы
Однородная система имеет вид:
a11x1 a12 x2 ... |
a1n xn 0, |
|
|||
|
a22 x2 |
a2n xn 0, |
|
||
a21x1 |
|
||||
............................................ |
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|
a x |
a |
x ... |
a |
x 0, |
|
m1 1 |
m2 |
2 |
mn |
n |
|
что в матричном виде записывается как O .
Однородная система всегда совместна, так как r(A) r A B , поскольку
нулевой столбец не меняет ранг матрицы; всегда существует нулевое решение
(0, 0, ..., 0) .
Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А был меньше числа столбцов r(A) n .
26
Следствие. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы 0 .
Если r n , то заведомо 0 и тогда возникают свободные неизвестные c1, c2 , ..., cn r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
Теорема. Если X1 и X2 нетривиальные решения системы (5), то их линейная комбинация X c1 X1 c2 X2 также является решением системы (5).
Доказательство. A c1 X1 c2 X2 c1 AX1 c2 AX2 O O O .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решения однородной системы линейных уравнений, которые получаются из её общего решения
|
|
|
|
|
|
|
c1 , |
c2 , |
..., |
cn r |
|
||
|
|
|
|
|
x1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
x2 |
c1 , |
c2 , |
..., |
cn r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X c , |
|
|
|
|
.................................... |
|
|||||||
c |
|
, ..., |
c |
x |
|
c , |
c , |
..., |
c |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n r |
|
r |
1 |
2 |
|
|
n r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n r |
|
|
|
|
если последовательно полагать значения параметров равными 1, 0, ,0 ,
0,1, ,0 ,…, 0, 0, ,1 образуют фундаментальную систему решений од-
нородной системы.
Теорема. Общее решение X при r n может быть записано в матричном виде следующим образом:
X c1 X1 c2 X2 ... cn r Xn r , где решения
X1, X2 , ...Xn r принадлежат фундаментальной системе решений.
Запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе, называется разложением общего решения по фундаментальной системе решений.
x1 4x2 2x3 0,
ПРИМЕР: Решите систему 2x1 3x2 x3 5x4 0,
3x1 7x2 x3 5x4 0.
Рассмотрим матрицу системы:
27
|
|
1 |
|
4 |
2 0 |
2 |
|
|
1 |
|
|
4 |
2 0 |
|
||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
1 5 |
|
2 1 |
0 5 |
5 |
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
~ |
3 |
|
|
|
~ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
7 |
1 5 |
|
|
3 1 |
|
0 5 |
5 |
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 2 |
4 |
|||||
~ |
3 |
|
2 |
|
0 |
1 1 |
1 |
~ 4 |
2 |
|
|
0 |
1 1 |
1 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, r A 2 . Выберем x1 |
и x2 в качестве базисных неизвестных и |
|||||||||||||||||||||||
запишем преобразованную систему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x |
|
4x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
x4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полагая x3 c1 , |
|
x4 |
c2 , где c1 |
и |
c2 |
произвольные числа, |
получаем общее |
|||||||||||||||||
решение однородной системы в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X c |
1 |
c 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однородная система O , |
которая получается из дан- |
|||||||||||||||||||||||
ной неоднородной системы A X B , |
называется приведенной системой, со- |
|||||||||||||||||||||||
ответствующей данной неоднородной системе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следующая теорема устанавливает связь между общими решениями произвольной неоднородной системы и ее приведенной системы.
Теорема. Общее решение неоднородной системы ставлено в виде суммы общего решения приведенной частного решения неоднородной системы.
Общее решение X в матричном виде:
X X0 c1 X1 c2 X2 ... cn r Xn r
может быть предсистемы и произвольного
, |
(6) |
Здесь матрица–столбец X0 есть частное решение неоднородной системы, а
X1, X2 , ...X n r составляют фундаментальную систему решений приведенной системы.
x1 4x2 2x3 1,
ПРИМЕР: Решите систему 2x1 3x2 x3 5x4 7,
3x1 7x2 x3 5x4 8.
Рассмотрим расширенную матрицу системы:
28
|
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
1 |
|
|
1 |
4 |
2 0 |
1 |
|
|||||
(A |
|
B) |
|
2 |
3 |
1 |
5 |
7 |
|
2 2 1 |
0 5 |
5 |
5 |
5 |
|
~ |
|||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
7 |
1 |
5 |
8 |
|
|
3 1 |
0 |
5 |
5 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
1 0 |
2 |
4 |
5 |
|||||
~ |
3 |
|
2 |
|
|
0 1 |
1 |
1 |
1 |
~ 4 |
2 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, r(A) r(A B) 2 , поэтому система совместна и не определена.
Выберем x1 и x2 в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему:
x1 5 2x3 4x4 ,x2 1 x3 x4 .
Полагая x3 c1 , x4 c2 , где c1 и c2 произвольные числа, получаем общее решение системы
x1 |
5 2c1 |
|||
x |
|
|
|
1 c |
X |
2 |
|
|
1 |
x |
|
|
c |
|
|
3 |
|
|
1 |
x4 |
|
|
c2 |
4c2 |
5 |
2 |
|
4 |
|||||||
c |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
c |
|
c |
|
|
|
||
|
|
0 |
1 1 |
2 0 . |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение получено при условии c1 c2 0
29