МВ (методичка)

Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок

Силой роста называется специальная процентная ставка, характеризующая относительный прирост наращенной суммы. Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем

f (t) = lim ∆S .

∆t→0 S

Здесь f (t) - сила роста, а ∆S = S(t +∆t) −S(t) - прирост наращенной суммы за время ∆t .

Пусть срок сделки составляет n лет. Тогда имеет место равенство

n
S = S(n) = S(0) exp ∫ f (t)dt .
0

За исключением тривиальных случаев, когда сила роста является постоянной, дискретной или линейной по времени функцией, для вычисления наращенной суммы требуется применения методов численного интегрирования.

11

.

1.ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

1.1. Источники и классификация погрешности

Процесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на несколько этапов. Схематично это выглядит так:

Рис.1 Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

1.математическая модель дает приближенное описание задачи; неточно заданы исходные дан-

ные.

2.получение точного результата невозможно, т.к. оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому приходится прибегать к приближенному методу.

3.при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:

1.неустранимой погрешностью;

2.погрешностью метода;

3.вычислительной погрешностью.

Таким образом, полная погрешность результата решения задачи складывается из неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности.

Для иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачи определения равновесной цены некоторого товара.

Пусть спрос задается некоторой функцией D(p) = 11 − 2·p, а предложение функцией S(p) = 1 + 3·p, где p – цена товара. Естественно, эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно, коэффициенты тоже даны с некоторой точностью. Следствие этого – неустранимая погрешность результата решения задачи. И, хотя равновесная цена получается как решение линейного уравнения 11 − 2·p = 1 + 3·p, значение p* = 2 нельзя считать точным.

12

	Пусть теперь спрос задается некоторой функцией	D(p) =	10		, а предложение S(p)=	p2	. Здесь
			p +1			2

равновесная цена p*– это решение нелинейного уравнения, которое находим приближенно. Графическое решение – абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p) на рис.2.

7
6
5
4		D(p)
3
2		S(p)
1
0
0,5	1,5	цена товара	2,5

Рис.2.

Последовательность приближений можно строить методом простой итерации:

	pi =	20		, где i – номер приближения. Если p0	= 1, то p1	= 3,162278; p2 = 2,192045; p3	=
		pi −1	+1

2,503113; p4 = 2,389395; . . . p14 = 2,418709; p15 = 2,418711; p16 = 2,418710; и т.д. (значения округлены до 6 знаков после запятой).

Если процесс закончился вычислением pn, то погрешность метода оценивается как |pn – p*|, кроме того, при выполнении действий над вещественными числами (деление, извлечение корня) возникает вычислительная погрешность. Таким образом, погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую, метода и вычислительную).

Для характеристики погрешности приближенного данного используют такие понятия как абсо-

лютная и относительная погрешность.

1.2.Абсолютная и относительная погрешности.

Пусть x* − приближенное значение x. Абсолютной погрешностью приближения называется ве-

личина А(x*), для которой справедливо неравенство: x − x* ≤ А(x*)

Величина ∆( x*),удовлетворяющая неравенству

	x − x*	≤ ∆(x* ) ,
	x*

называется относительной погрешностью x*.

Абсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x*. Относительная погрешность – величина безразмерная, иногда вычисляется в процентах.

13

Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением:

А(x*) = x* ·∆(x*)

Зная x* и А(x*) можно найти диапазон изменения x: x* − А(x*) ≤ x ≤ x* + А(x*)

Примеры.

1)Абсолютная погрешность при измерении расстояния с помощью линейки равна 1мм. Определить диапазон изменения относительной погрешности при изменении расстояния от 1 до 200мм.

	Пусть x1* = 1мм, x2* = 200мм, тогда	∆(x ) =	A(x1* )	= 1(100%), ∆(x2*) = 1/200 (0,5%). Следователь-
			x*
		1
			1

но, ∆(x*) изменяется от 100% (для x1* = 1мм) до 0.5% (для x2* = 200мм).

2)Прибор измеряет силу тока с точностью 5%. Диапазон измерений: от 1А до 50А. Определить диапазон изменения абсолютной погрешности.

Пусть x1* = 1А, тогда A(x1*) = x1*·∆(x1*) = 0,05А;

x2* = 50А, A(x2*) = x2*·∆(x2*) = 2,5А. Следовательно, A(x*) изменяется от 0,05А до 2,5А.

1.3.Погрешность чисел в позиционной записи.

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой.

В числах 0,00120 и 1,20 значащие цифры подчеркнуты.

Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. Остальные цифры называются сомнительными.

Таким образом, в числе

x* = a110n + a210n – 1 + … +am10n – m + 1 цифра ak считается верной, если А(x*) ≤ 0,5·10n – k + 1. Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до

первой сомнительной.

Пример. Пусть x1* = 38,791; A(x1*) = 0,032; x2* = 0,058194; A(x2*) = 0,00008. Определить количест-

во верных цифр в записи x1* и x2*. Из неравенств

0,5·10-2 < A(x1*) < 0,5·10-1 и 0,5·10-4 < A(x2*) < 0,5·10-3

получим следующие верные цифры: x1* = 38,791 x2* = 0,058194 (верные цифры подчеркнуты). Таким образом, в числе x1* – одна верная цифра после запятой, а в x2 * – 3 верные цифры после

запятой.

1.4.Погрешность сложения и вычитания.

Пусть x* = ∑xi	, тогда A(x* ) = ∑A(xi ) . Если все xi имеют один знак, то min{∆(xi*)} ≤ ∆(x*) ≤
i	i

max{∆(xi*)}.

Резкое увеличение относительной погрешности возможно при вычитании близких чисел.

14

Пример. Найти относительную погрешность, возникающую при вычислении x = 11 − 10 , ес-

ли 11 ≈3,32 = x1* , 10 ≈ 3,16 = x2* (все цифры верные).

Так как в x1* и x2* 2 верные цифры после запятой, то A(x1*) = A(x2*) ≤ 0,5·10-2;

∆(x1* ) ≤ 0,53,3210-2 < 0,151 10-2 ; ∆(x2* ) ≤ 0,53,1610-2 < 0,159 10-2 ;

x* = 0,16; A(x*) = A(x1*) + A(x2*) ≤ 10-2 < 0,5·10-1 (в результате только одна верная цифра после за-

пятой), ∆(x*) = 1/16 = 0,0625 = 0,625·10-1 (это на порядок выше относительной погрешности исходных данных)

1.5.Точность представления вещественных чисел в компьютере.

Вещественные числа в компьютере представлены в форме «с плавающей точкой». Пусть x – вещественное число, тогда оно преобразуется к виду: x = ±М qp, где p ─ порядок, M ─ мантисса, q ─ основание системы счисления.

Пусть q = 16, тогда	a				a	2			a	r
	x* =16 p	1	+				+...+				.
		16		162
								16r

Точность представления зависит от количества разрядов (r) в мантиссе:

│x – x*│ ≤ 16p ·0,5·16-r ≤ 16p - r.·, то A(x*) = 16p - r.

1.6.Особенности выполнении сложения и вычитания вещественных чисел в компьютере.

При сложении (вычитании) двух чисел в форме «с плавающей точкой» сначала происходит выравнивание порядка (до большего), а затем мантиссы складываются (вычитаются).

При выравнивании порядка возможна ситуация, когда слагаемое с меньшим порядком становится машинным нулем.

Пример. Рассмотрим сложение двух вещественных чисел в устройстве, имеющем 5 разрядов для мантиссы. Пусть x1* = 0,0001 = 0,1·10-3; x2* = 1000 = 0,1·103.

Тогда в предполагаемом устройстве:

x1* + x2* = 103·(0,1·10-6 + 0,1) = 0,1·103 , так как значение 0,1·10-6 выйдет за пределы разрядной сетки.

1.7.Умножение и деление приближенных чисел.

При умножении и делении приближенных чисел их относительные погрешности складываются.

Пусть r			x* x*...x*			, тогда	∆(r		n	n
	*	= y* y*...y*							) = ∑∆(xi	) + ∑∆( yi ) .
			1	2	n				*	*
		1		2	n				i=1	i=1

Абсолютная погрешность вычисляется по определению: A(r*) = │r*│·∆(r*).

Пример. Сторона квадрата примерно равна 1м. С какой точностью нужно ее измерять, чтобы погрешность площади не превосходила 1см2.

15

Обозначим длину стороны квадрата a* = 1м, тогда S* = 1м2, ∆(S*) = 2∆(a*). Потребуем: A(S*) ≤ 1см2, получим: ∆(a*) ≤ 0,5·10-4, следовательно A(a*) ≤ 0,5·10-2см — требуемая точность.

1.8.Погрешность вычисления значения функции.

Пусть y* = f(x*), тогда A(y*) = │f′(x*)│·A(x*)

Для функции нескольких переменных y* = f(x1*,x2*,…,xn*) справедливо соотношение:

A(y* ) ≤ ∑n ∂f A(x* )

i=1 ∂xi

Пример. Корни уравнения x2 − 2x + lg2 = 0 нужно вычислить с 4 верными знаками. Сколько верных знаков должно быть в значении lg2 ?

(lg2 = 0,30102999566398119521373889472449…)

Пусть c* приближенное значение для lg2, тогда x =1− 1−c* <1 , ( x =1+ 1 −c* >1).
		1	2
Найдем A(x ) =		A(c*) . Потребуем выполнения неравенства A(x1*) < 0,5·10-4 (т.к. x1* по усло-
1	2	1−c *
вию должен иметь 4		верных знака). Тогда необходимо A(c* ) <10-4	1−c* . Это справедливо, если
значение с* имеет 4 верных знака, так как в этом случае A(c*) < 0,5·10-4.

2.ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти все или некоторые корни уравнения f(x) = 0. Эта задача распадается на несколько задач. Во-первых, надо исследовать количество, характер и расположение корней. Во-вторых, найти приближенные значения корней с требуемой точностью.

2.1.Отделение корней.

Когда ищутся только действительные корни уравнения, то полезно составить таблицу значений f(x). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами существует по меньшей мере один корень уравнения. По таблице можно построить график функции y = f(x) и графически найти точки его пересечения с осью абсцисс. Этот способ более нагляден и дает неплохие приближенные значения корней. Во многих технических задачах такая точность уже достаточна.

Пример. Рассмотрим уравнение x2ex− π = 0

f'(x) = x(x+2)ex ; f'(x) = 0 при x = 0, x = −2. Функция f(x) непрерывна. Можно проверить, что f(x) меняет знак на промежутке (0, + ∞) . Следовательно, существует единственный корень на (0, + ∞) . Проверим: f(1) < 0 , f(2) > 0, значит, корень лежит на [1, 2]

Иногда удается заменить уравнение эквивалентным ему уравнением p(x) = t(x), в котором функции у = р(х) и z = t(х) имеют несложные графики. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения.

16

	Пример. Рассмотрим уравнение x2 − sinx − 1 = 0. Заменим уравнение эквивалентным ему урав-
нением		x2	− 1	= sinx. Изобразим примерно графики левой и правой частей на	(-π,	π).
		4
		3
		2
		1
		0
-2	-1	0	1	2
		-1
		-2		Рис3.
	Видно, что уравнение имеет два корня: на (−1, 0) и на (1, 2 ). Приближенные значения корней
уточняют различными итерационными методами. Рассмотрим наиболее эффективные из них.
2.2.Метод дихотомии (деление пополам).

Пусть мы нашли такие точки a и b, что на отрезке [a, b] лежит единственный корень уравнения. Найдем середину отрезка c = (a+b)/2 и вычислим f(c). Из двух половин отрезка выберем ту, на концах которой функция имеет разные знаки, тогда корень лежит на этой половине. Затем новый отрезок опять делим пополам и т.д.

Если требуется найти корень с точностью ε, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2ε,. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x); при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за k итераций длина отрезка уменьшится в 2k раза (уточнение трех цифр требует 10 итераций).

Погрешность метода на шаге k оценивается следующим образом: ξ − xk < (b −k a) 2

где ξ- точное решение уравнения, xk — значение одного из концов отрезка на шаге к. Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна.

2.3.Метод простой итерации.

Заменим уравнение f(x) = 0 эквивалентным ему уравнением х = φ(х), где φ(х) ─ дифференцируемая функция. Это можно сделать многими способами, например, положив φ(х) ≡ x + ψ(x)f(x), где ψ(x)

— произвольная непрерывная знакопостоянная функция. Выберем некоторое нулевое приближение х0 и вычислим дальнейшие приближения по формулам

xn+1 = φ(xn), где n = 0, 1, 2, . . .

(1)

Очевидно, если хп стремится к некоторому пределу ξ, то этот предел есть корень исходного уравнения.

Исследуем условия сходимости. Если φ(х) имеет непрерывную производную, то:

хn + 1 − ξ = φ(хn) − φ(ξ) = (хп − ξ)φ'(θ),

где точка θ лежит между точками хn и ξ. Поэтому, если всюду |φ'(х)| ≤ q < 1, то значения Іхп − ξІ убывают не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем q < 1, и последовательность хп сходится при любом нулевом приближении. Если |φ'(ξ)| > 1, то, в силу непрерывности, |φ'(х)|

17

больше единицы и в некоторой окрестности корня; в этом случае итерации не могут сходиться. Если |φ'(ξ)| < 1, но вдали от корня |φ'(х)| > 1, то итерации сходятся, если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню; при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть. Очевидно, что чем меньше q, тем быстрей сходимость.

Погрешность метода можно оценить соотношением:

│хk − ξ│ ≤ qk│х0 − ξ│

где ξ ─ точное решение уравнения, xk ─ значение итерации на шаге k. Тогда количество итераций, необходимых для достижения точности ε, можно определить из неравенства:

qk│х0	− ξ│ < ε. Получим k >log			ε		.
		q
				ξ − x
				0

Пример. Дано уравнение x3 − x − 1 = 0. Отметим, что f(1) < 0, f(2) > 0 , следовательно, ξ лежит в [1, 2]. Преобразуем уравнение к виду x = φ(x).

1). φ(x) = x3 − 1,			φ′(x) = 3x2 , φ′(x) > 2 при x из [1, 2], следовательно, метод расходится.
2). ϕ(x) =	3	x +1 ,	′	1	, при x из [1, 2] max(φ′(x)) = φ′(1) < 0,21 < 1, q = 0,21. Тогда
			ϕ (x)=	(x +1)2
			33
при ε = 0,5·10-4		количество итераций k ≥ 6,34, следовательно, k = 7.

2.4.Метод Ньютона (касательных).

Пусть на [a, b] существует единственный корень уравнения f(x) = 0, f(x) – функция непрерывная вместе с первой производной на [a, b]. Заменим f(x) линейной функцией f(xn) + f′(xn)(x − xn) ─ выражением для касательной в точке xn,, принадлежащей отрезку [a, b]. Тогда точка пересечения графика этой функции с осью OX (решение уравнения f(xn) + f′(xn)(x − xn) = 0) ─ очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона.

Отсюда,

	xn+1 = xn −	f (xn )	(2)
		f ' (xn )

Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже.

x2 x1	x0
a	b

Рис.4.

18

Пусть f"(x) > 0 справа от корня на отрезке [a, b]. Если х0 выбрано также справа от корня на этом отрезке, то итерации сходятся, причем монотонно. То же будет, если f′′(x) < 0, слева от корня и на этом же отрезке выбрано нулевое приближение. Таким образом, итерации сходятся к корню с той стороны, с которой f(х) f′′(х) ≥ 0.

Теорема 1. (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона). Пусть выполняются следующие условия:

1.Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a, b]; 2.Отрезку [a, b] принадлежит только один простой корень (f(a) f(b) < 0) 3.Производные f′(х), f′′(х) сохраняют знак на [a, b] и f′(х) не обращается в 0; 4.Начальное приближение х0 удовлетворяет неравенству f(х0)·f′′(х0) ≥ 0.

Тогда последовательность{xn} монотонно сходится к корню уравнения f(x) = 0.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простой итерации (1), где

φ(x) = x −		f (x)	.
		f ' (x)
Для исследования сходимости метода вычислим
φ′(x) = 1−	( f '(x))2 − f (x) f "(x)			, тогда φ′(ξ) = 0, следовательно, в некоторой окрестности ξ спра-
			( f '(x))2

ведливо неравенство:│φ′(x)│ < 1 и метод сходится, если начальное приближение достаточно близко к корню.

Скорость сходимости метода определяется соотношением между |xn+1 − ξ| и |xn − ξ|. Так, для метода простой итерации это есть скорость геометрической прогрессии:

|xn+1 − ξ| ≤ q·|xn − ξ|.≤ . . . ≤ qn+1·|x0 − ξ|

Вообще, скорость сходимости имеет порядок p, если существуют такие постоянные С > 0, p ≥ 1 , что выполняется неравенство:

|xk+1 − ξ| ≤ C·|xk − ξ|p,

при всех k, начиная с некоторого k0. При p = 1 сходимость называется линейной, при p = 2 квадратичной.

Покажем, что скорость сходимости метода Ньютона квадратичная. Представим φ(xn) в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности корня:

xn+1 = ϕ(xn ) = ξ + ϕ′(ξ)(xn − ξ) + ϕ"2(!θ) ( xn − ξ)2

Так как φ′(ξ) = 0, xn +1 −ξ = ϕ"2(!θ) (xn −ξ)2 , то |xk+1 − ξ|.≤ C·|xk − ξ|2,

где C = max ϕ′′(ξ) т. е. сходимость квадратичная.

x [a,b] 2!

При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образом:

19

пусть f′(х) ≥ m на [a, b] , это справедливо, т.к. f′(х) ≠ 0 и она непрерывна на [a, b].

Из │f(xn) − f(ξ)│ = │f′(θ)│·│xn − ξ│ следует, что xn −ξ ≤ f (mxn ) .

Пример. Рассмотрим вычисление а как задачу решения уравнения x2 – a = 0 в области x > 0.

Напишем для вычисления корня этого уравнения итерационную последовательность по методу

Ньютона. Найдем с его помощью 2 . f(x) = x2 – a , f′(х) = 2x > 0; f′′(х) = 2 > 0;

Рекуррентная формула метода Ньютона для нашего уравнения принимает вид

	xn2 −a	1		a
xn+1 = xn − 2x		= 2
			xn + x			.
	n				n

Согласно теореме1 она определяет монотонно убывающую последовательность, сходящуюся к

а , если f(x0) = x02 – a >0.

Для вычисления 2 выберем x0 = 2. Тогда получим: x1 = 1,5;

x2 = 1,41666;

x3 =1,414216; и т.д.

Третья итерация определяет 2 с точностью 0,000002.

2.5.Метод хорд (секущих).

В методе Ньютона требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Можно заменить касательную хордой, один из концов которой неподвижен. Это прямая, проходящая через точки (x0, f(x0)), (xn, f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1 .

Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид:

	xn+1	= xn −	(xn − x0 ) f (xn )	(3)
			f (xn ) − f (x0 )

Геометрическая интерпретация метода хорд представлена ниже.

a		b
x2	x1	x0

20