МВ (методичка)

y( 0,1) ≈ y1 = y0 + hf(x0 ,y0 ) = 2 + 0,1( 03+21) =1,4

y( 0,2 ) ≈ y2 = y1 + hf(x1,y1 ) =1,4 +0,1(− 0,13 1,4+1) ≈1,0182

y( 0,3 ) ≈ y3 = y2 + hf(x2,y2 ) =1,0182 + 0,1(−3 1,0182) ≈ 0,7636 0,2 +1

Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера c пересчетом в точках 0,1; 0,2;

0,3.

y(0,1) ≈ y1 = y0 + h [f(x0, y0) + f(x1, y0 + hf(x0, y0)]/2 = = 2 +0,05(−6 − 03,11+,41) ≈1,5091

y(0,2) ≈ y2 = y1 + h[f(x1, y1) + f(x2, y1 + hf(x1, y1)]/2 =

	+0.05(- 3 1,5091 −			3(1,5091+ −3 1,5091)
= 1,5091					1,1	) ≈1,1661
					0,2 +1
	0,1+1
y(0,3) ≈ y3 = y2 + h[f(x2, y2) + f(x3, y2 + hf(x2, y2)]/2 =
		3 1,1661			3(1,1661+ −3 1,1661)
= 1,1661	+0.05(−		−		1,2		) ≈ 0,9194
					0,3 +1
	0,2 +1

Вычислим приближенные значения решения по методу Коши в точках 0,1; 0,2; 0,3.

y(0,1) ≈ y

= y

0

+ hf (x

+

h

, y

0

+

h

f (x , y

0

)) =

1

0

2

2

0

3(2 +0,05(−

3 2

))

= 2 +0,1(−

0 +1

) ≈1,5143

0,05 +1

y(0,2) ≈ y

2

= y

+ hf (x +

h

, y

+

h

f (x , y )) =

1

1

2

1

2

1

1

3(1,5143 +0,05(−

3 1,5143

))

=1,5143 +0,1(−

0,1+1

) ≈1,1731

0,15 +1

y(0,3) ≈ y

= y

2

+ hf (x

+

h

, y

2

+

h

f (x , y

2

)) =

3

2

2

2

2

3(1,1731+0,05(−

3 1,1731

))

=1,1731+0,1(−

0,2 +1

) ≈ 0.9267

0,25 +1

Чтобы сравнить результаты, занесем их в таблицу:

Точное

Метод

Метод

Метод

x

Эйлера с

решение

Эйлера

Коши

пересчетом

41

0,0	2,000	2,000	2,000	2,000
0,1	1,503	1,400	1,509	1,514
0,2	1,157	1,018	1,166	1,173
0,3	0,910	0,764	0,919	0,927

Видно, что теоретическая точность методов согласуется с полученными результатами.

6.4.Разностные методы решения задачи Коши.

Пусть известны значения ym - k, ym – k + 1, . . . , ym в равноотстоящих узлах xm - i , i = 0, 1, . . ., k так, что xm – i + 1 = xm - i + h. Для функции f(x, y(x)) по значениям fm - i= f(xm - i, ym - i), i = 0, 1, . . . ,k можно по-

строить интерполяционный многочлен Лагранжа Lk (x)

Заменив в интегральном представлении уравнения

y(xm+l ) = y(xm ) + xm∫+1f (x, y(x))dx

k

=∑ fm−ili (x) степени k .

i=0

(1)

(8)

xm

подынтегральную функцию f(x, y(x)) интерполяционным многочленом Lk (x), получим формулу метода Адамса.

k
ym+l = ym + h∑βi fm−i		(9)
i=	0

Для k = 0, 1, 2, 3 соответствующие экстраполяционные формулы Адамса имеют вид ym + 1 = ym + hfm , O(h2)

ym +1	= ym +		h		[3 fm − fm −1 ] , O(h3)			(10)
		2
ym +1	= ym +			h		[23 fm −16 fm −1 +5 fm − 2 ] , O(h4)
		12
ym +1	= ym +			h			[55 fm −59 fm −1 +37 fm − 2 −9 fm −3 ] , O(h5)
		24

здесь справа от каждой формулы указан порядок ее погрешности на одном шаге. Все эти методы

– явные, т.е. для вычисления ym + 1 используются уже известные значения fm - i , i = 0, 1, . . . ,k .

Если в список ym - k, ym – k + 1, . . . , ym добавить ym + 1 и по k + 2 значениям fm - i , i = −1, 0, 1, . . . ,k построить интерполяционный многочлен степени k + 1 и заменить f(x, y(x)) в (8) на Lk + 1(x), то получится формула неявного метода Адамса:

k
ym +1 = ym + h∑βi fm −i	(11)

i=−1

Вправой части (11) имеется слагаемое содержащее неизвестное ym + 1. Поэтому соотношение (11) является уравнением относительно ym + 1.

Для k = 0,1,2,3 интерполяционные формулы Адамса имеют вид

42

	ym + 1 = ym + hfm , O(h2)
	ym +1	= ym +			h	[ fm + fm +1 ] , O(h3)
			2
	ym +1	= ym +		h		[5 fm +1 +8 fm − fm −1 ] , O(h4)		(12)
			12
	ym +1	= ym +		h			[9 fm +1 +19 fm −5 fm −1 + fm − 2 ] , O(h5)
			24

Начальными данными для экстраполяционных методов Адамса являются значения y0, y1, . . . yk. Их следует вычислить предварительно как можно точнее. Эти расчеты называются разгоном.

Обычно его проводят по методу Рунге – Кутты 4 – го порядка. Пример. Дана задача Коши :

y′ = − x3+y1 , y(0)=2.

Найти приближенные значения решения в точках 0,2; 0,3 по экстраполяционному методу Адамса (10) и интерполяционному методу Адамса (12). Значение в точке 0,1 вычислить по методу Эйлера с пересчетом.

По экстраполяционному методу Адамса (10) имеем:

y(0,2) y

2

= y

+

h

[3 f

1

− f

0

] =

1

2

h

9y1

3y0

= y +

[−

− (−

)] =

1

2

x1 +1

x0

+1

=1,509 + 0,05(−

9 1,509

+

3 2

) 1,192

1,1

1

y(0,3) y3 = y2

+

h

[3 f2

− f1 ] =

h

9 y2

2

3y1

= y2

+

[−

− (−

)] =

x2 +

1

x1 +1

2

=1,192 + 0,05(−

9 1,192

+

3 1,509

) 0,951

1,2

1,1

По интерполяционному методу Адамса (12) имеем:

ym+1

= ym

+

h

[5 f m+1 + 8 fm − f m−1 ] =

12

h

3ym+1

3ym

3ym−1

= ym

+

[5(−

) + 8(−

) − (−

)]

12

xm+1 +

1

xm +

1

xm−1 +

1

Разрешим это уравнение относительно ym + 1. Получим:

		ym (1−	2h	) + ym −1				h
	ym +1 =		xm +1			4(xm −1 +1)
			1+		1,25h
					xm +1 +1

43

y

(1−

2h

)

+ y

h

x +

1

0 4(x +1)

1

y(0,2) y2 =

1

0

=

1+

1,25h

x2 +1

1,5091(1−

0,2

) + 2

0,1

1,1

4(0 +1)

=

1,1635

0,125

1+

1,2

y

(1−

2h

) + y

h

x

+1)

2

+1

1 4(x

=

y(0,3) y3 =

2

1

1+

1,25h

x

+1

3

1,1635(1−

0,2

)

+1,5091

0,1

4(0,1+1)

=

1,2

0,9158

1+

0,125

1,3

7.ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Метод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII – начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных. В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями:

1.число точек, в которых проводятся измерения, обычно бывает достаточно большим;

2.значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения.

С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых

идобиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразным.

В методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы, содержащей сравнительно небольшое число слагаемых:

m

Φm(x) =∑aiϕi(x), m < n (возможно, m << n)

i=1

Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1, ..., хn , которые обозначим следующим образом: f1, ..., fn .

Пусть в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 , φ2 ,. . . , φm

,m ≤ n.

44

m

Построим обобщенный многочленΦm(x) =∑aiφi(x), коэффициенты которого подберем так, чтобы

	i=1
n	m
значение F = ∑( fk −∑aiφi(xk ))2 было минимальным. Функцию Фm(х) с набором коэффициентов,
k =1	i =1

удовлетворяющих этому требованию, называют наилучшим приближением по методу наименьших квадратов. В этом случае коэффициенты многочлена Фm(х) ─ точка экстремума квадратичной формы F(a1, a2, … , am). Здесь F – функция многих переменных, принимающая неотрицательные значения. Известно, что квадратичная форма (F) достигает своего неотрицательного минимума. Если (a01, a02, … ,a0m) ─ точка экстремума, то выполняются необходимые условия экстремума:

∂F (a1,a2, … ,am ) = 0

∂a1

. . . . .

∂∂F (a1,a2, … ,am ) = 0 am

После дифференцирования получим систему уравнений:

n	m
∑2( fk −∑aiϕi (xk ))(−ϕ1		(xk )) = 0
k =1	i =1
. . . . .
n	m
∑2( fk −∑aiϕi (xk ))(−ϕm		(xk )) = 0 .
k =1	i =1

Сократим коэффициент равный двум и перенесем вправо свободные члены. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

m	m	m
a1 ∑ϕ1 (xk )ϕ1 (xk ) +... + am ∑ϕ1 (xk )ϕm (xk ) = ∑ϕ1 (xk ) fk
k =1	k =1	k =1
. . . .
m	m	m
a1∑ϕm(xk )ϕ1(xk ) +...+am∑ϕm(xk )ϕm(xk ) =∑ϕm(xk ) fk
k=1	k=1	k=1

Известно, что определитель этой системы не равен нулю. Поэтому система имеет единственное решение при любой функции f.

Для компактной записи полученной системы удобно использовать скалярное произведение. Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1, ..., хn :

n

(ϕj (x),ϕi (x))= ∑ϕj (xk ),ϕi (xk ) .

k =1

Тогда i – е уравнение полученной системы, называемой нормальной, можно записать следующим образом:

m

∑a j (ϕj , ϕi ) = ( f , ϕi ) , i = 1, . . ., m.

j=1

45

Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f.

Примером линейно независимой системы функций φ1, ... ,φm может служить система: φ1(x) = 1,

φ2(x) = x, ... , φm(x) = xm - 1.

Пример. Сеточная функция задана таблицей.

i	xi	yi
1	0	0
2	0,5	0,25
3	1	1

Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x, которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратов.

В рассматриваемом случае имеем: n = 2, m = 1, φ1(x) = 1, φ2(x) = x.

Здесь (φ1, φ1) = 3; (φ2, φ2 ) = 1,25; (φ1, φ2 ) = (φ2, φ1 ) = 1,5.

Таким образом, для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений: 3a1 + 1,5a2 = 1,25

1,5a1 + 1,25a2 = 1,125

В результате ее решения получим: a1 = −121 ; a2 = 1;

тогда Ф(x) = x −121 .

Погрешности в узлах сетки: δ1 −0,08(3); δ2 = −0,1(6);δ3 = 0,08(3); здесь δi = yi − Ф(xi). Проиллюстрируем полученный результат графически.

1
0,75
0,5
0,25
0
0	0,5	1
	сеточная функция	МНКприближение
	Рис.12.

ЛИТЕРАТУРА.

1.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. − М.: БИНОМ, 2006.

2.Вержбицкий В. М. Численные методы. − М.: ОНИКС 21 век, 2005.

46

3.Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численные методам. − М.: Логос,

2004.

4.Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах. − М.: Высшая школа,

2004.

5.Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. − М.: Высшая школа,2000.

47

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...........................................................................................................................................................................	3
0.Математические модели в экономике.........................................................................................................................	3
0.1. Статические балансовые модели..........................................................................................................................	3
0.2. Некоторые модели экономической динамики ....................................................................................................	5
0.3. Методы вычислений в финансовых расчетах. ..................................................................................................	10
1.ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ. ............................................................	12
1.1. Источники и классификация погрешности.......................................................................................................	12
1.2.Абсолютная и относительная погрешности.......................................................................................................	13
1.3.Погрешность чисел в позиционной записи. .....................................................................................................	14
1.4.Погрешность сложения и вычитания..................................................................................................................	14
1.5.Точность представления вещественных чисел в компьютере..........................................................................	15
1.6.Особенности выполнении сложения и вычитания вещественных чисел в компьютере................................	15
1.7.Умножение и деление приближенных чисел. ....................................................................................................	15
1.8.Погрешность вычисления значения функции....................................................................................................	16
2.ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ......................................................	16
2.1.Отделение корней. ................................................................................................................................................	16
2.2.Метод дихотомии (деление пополам).................................................................................................................	17
2.3.Метод простой итерации......................................................................................................................................	17
2.4.Метод Ньютона (касательных)............................................................................................................................	18
2.5.Метод хорд (секущих)..........................................................................................................................................	20
3.ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ...............................	21
3.1. Постановка задачи. ..............................................................................................................................................	21
3.2.Метод Гаусса.........................................................................................................................................................	22
3.3. Метод простой итерации.....................................................................................................................................	24
3.4. Метод Якоби. .......................................................................................................................................................	26
3.5. Метод Зейделя......................................................................................................................................................	27
4.ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА. .......................................................................................	28
4.1. Постановка задачи...............................................................................................................................................	28
4.2.Погрешность интерполяции. ...............................................................................................................................	30
5.ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. .......................................................................................................................	31
5.1. Постановка задачи. ..............................................................................................................................................	31
5.2.Формулы прямоугольников.................................................................................................................................	32
5.3.Формула трапеций. ...............................................................................................................................................	33
5.4.Формула Симпсона...............................................................................................................................................	33
5.5.Составные формулы. ............................................................................................................................................	34
5.6.Алгебраическая степень точности формул численного интегрирования........................................................	35
5.7.Метод неопределенных коэффициентов для построения квадратурных формул. .........................................	36
5.9.Метод Рунге оценки погрешности квадратурных формул. ..............................................................................	36
6.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ. .............................................................................................................................................................	37
6.1.Постановка задачи. ...............................................................................................................................................	37
6.2.Методы, основанные на разложении решения задачи Коши в ряд Тейлора...................................................	37
6.3.Методы Рунге – Кутты.........................................................................................................................................	39
6.4.Разностные методы решения задачи Коши. .......................................................................................................	42
7.ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ......	44
ЛИТЕРАТУРА. ..............................................................................................................................................................	46

48