praktice algem

1		λ	−1 2			A1						A3				1		10	−6	1
A =	2	−1	λ 5		= A		2		~	A − A			3			=	0	λ −10	5	1	.
	1	10	−6 1			A					1						0	−21	λ +12 3
							3		A		2	− 2A		3

Переставив второй и четвёртый столбцы и проведя еще раз элементарные преобразования, получим:

1		1	−6
A ~	0	1	5
	0	3	λ +12

Если λ = 3, то	1	1	−6
	A ~ 0	1	5
		0	0
	0

10					B1						B1			1		1	−6	10
λ −10			=	B		2		~			B	2		=	0	1	5	λ −10	.
−21															0	0	λ −3	−3λ +9
				B		3			B	3	−3B
													2
10										10)			и	rangA = 2.
−7	~ (1				1			−6
0			0		1			5		−7

Если λ ≠ 3, то λ − 3 ≠ 0 и rang A = 3.

Примеры для самостоятельного решения

1. Вычислить ранг матрицы.

4		3	− 5	2	3
	8	6	− 7	4	2			1	2	−1
1) A =			− 8			; 2)						. Ответ: 1) rangA = 2	; 2) rangA = 3 .
	4	3		2	7		A =	0	− 3	1
					− 5			2	1	0
4 3 1 2
	8	6	−1	4	− 6

					3		1	1	4
						λ	4	10	1
2. Найти значения λ , при которых матрица										имеет наименьший
				A =
						1	7	17	3
						2	2	4	3
ранг. Найти это значение λ и найти ранг при других значениях λ .
		Ответ: λ = 0 , rangA = 2; λ ≠ 0 , rangA = 3 .
4.5. Решение линейных систем
Пример 1. Решить систему уравнений
x + 2x		+ 3x	= 5,
1	2	3
3x1 + 2x2 + 5x3 = 2,
2x	+ x	− 2x	= 7.
1	2	3

Решение. Дана система трёх уравнений с тремя неизвестными. Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера. Вычислим определитель системы.

	=	1			2		3			= 1					2 5					− 2					3 2					+ 3					3 2				= −9 + 32 − 3 = 20 ≠ 0 .
		3		2 5
		2			1		− 2								1		− 2								2		1								2 1
Составим и вычислим определители																								1 ,					2 ,						3 .
	1 =				5		2	3				= −3,					2 =						1			5			3				= 92 ,							=		1	2	5		= −27 .
				2		2			5														3			2	5											3				3	2	2
					7	1		−2															2			7		−2														2	1	7
Тогда x1 =	1 = −		3		;		x2	=			2		=			92	=	23			;			x3 =						3	= −					27
																																			20
	20										20						5

51

Пример 2. Исследовать совместность системы и, если возможно, найти её

x

− 2x + x = 3,

x1 + 2x2 + 2 x3 + 3x4 = 4,

решение: 1)

1

2

3

2)

x1 + x

2 + 4 x3 + 3x4 = 5,

x

1

+ 3x

− x =1,

+ 2 x

+ 5 x

+11x

= 2,

2

3

3x

1

2

3

4

x 1+ x

2 + 2 x3 + 5 x4

=1,

3x1 + 4 x2 − x3 = 5.

−x

1

+

2 x

2

+ x

3

− 7 x

= 7.

4

Решение. 1). Составим расширенную матрицу системы и сведем её к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований.

Вычислим rangA и rang(A| B). Если rang(A | B)= rangA , то система совместна.

1 −2		1 | 3				A1						A1		1
				= A2					~ A2			− A1	=
A| B =	1 3	−1 | 1													0
	3 4	−1 | 5				A				A		−3A			0
							3				3
												1
			1			−2			1		|	3	1
		= 0			5 −2						|	−2	~	0
				0		0			0		|
												0

−2 1 | 3

B1

B1

5 −2 | −2

= B

~

B2

=

2

10 −4 | −4

− 2B

B

3

B

2

3

−2

1

|

3 .

5

−2

|

−2

Таким образом, rang(A | B)= rangA = 2.

Следовательно, система совместна. Так как ранг матрицы меньше числа неизвестных rangA = 2 < 3 (число неизвестных), то система имеет множество решений. Продолжим преобразование матрицы (A| B):

						+		2				1	0	1				|	11
1	−2 1 |	3	C		C1				C2
														52					52
(A| B) ~ (0	5 −2 |	−2)= C1			~	1		5			=												.
			2				C2					0	1	−				|	−
						5										5					5

1 11

Запишем систему: x1 + 5 x3 = 5 ,

x2 − 52 x3 = − 52.

11 1

Получим общее решение системы: x1 = 5 − 5 x3,

x2 = − 52 + 52 x3.

Придавая параметру x3 различные значения, будем получать частные решения. Например, если x3 =1 , то частное решение: x1 = 2 , x2 = 0 , x3 =1 ; если x3 = 0 , то

x1 = 115 , x2 = − 52 , x3 = 0 . Это частное решение называют базисным.

	1		2		2		3 | 4				A1					A1			1 2				2	3 |		4
		1	1		4		3 | 5									− A1				0	−1		2	0 |		1
2).											A2			A2
	(A| B)=	3	2		5	11 | 2			=		A			~ A − 3A					=	0	−4	−1 2 | −10						=
												3			3		1
	1		1		2		5 | 1				A4			A4 − A1						0	−1		0	2 | −3
		−1 2			1	− 7 | 7					A				A + A					0	4		3	−4 | 11
												5			5		1
		B1					B1		1 2					2		3	|		4			1 2			2 3			|	4
		B					B			0		−1 2				0	|		1				0 −1 2 0					|	1
		2					2
	= B				~ B − 4B			=		0		0 −9 2					|		−14 ~			0 0			−9 2			| −14 .
			3			3	2
		B				B	− B			0		0 −2 2					|		−4				0 0		−2 2			| −4
		4				4	2
		B				B	+ B			0		0		2 −2 |					1				0 0		0 0			| −3
		5				5	3

52

Следовательно, rangA = 4, rang(A | B)= 5 и система несовместна. Это утверждение

следует и из последнего уравнения системы: 0 x1 + 0 x2

+ 0 x3 + 0 x4

= −3

уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить систему в зависимости от параметра λ :

3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 = 3,

2x + 3x + 6x +8x = 5,

1

2

3

4

x − 6x

−9x − 20x

= −11,

1

2

3

4

4x + x + 4x + λx = 2.

1

2

3

4

Решение. Составим матрицу

(A| B).

3 2

5

4

|

3

A1

A1 − A2

1 −1 −1 −4

| −2

B1

B1

2 3

6

8

|

5

A

A

2 3

6

8

|

5

=

B

B − 2B

=

(A | B) =

=

2

~

2

=

2

~

2

1

1 −6 −9

−20 | −11

A

A

1 −6 −9 −20

| −11

B

B − B

4 1

4

λ |

3

3

4 1

4

λ

|

3

3

1

2

A4

A4

2

B4

B4 − 4B1

1 −1 −1

−4

| −2

C1

C1

1

−1 −1 −4 | −2

1 −1

−1 −4 | −2

0 5

8

16

| 9

0

5

8 16 | 9

=

= C2 ~

C2

= 0

0

0

0 | 0

~

0 5

8 16 | 9

0 −5 −8 −16

| −9

C3

C3 + C2

0 0

0

λ | 1

0

0

0 5

8

λ +16

| 10

0

λ | 1

C4

C4 −C2

1). Если

λ = 0 , то rangA = 2, rang(A | B)= 3 и система несовместна.

2). Если

λ ≠ 0 ,

то

rangA = rang(A | B)= 3 .

Число

неизвестных

равно

4,

следовательно, система имеет множество решений, число свободных

неизвестных равно 1 (n − rangA ). Продолжим преобразования:

1

(A| B) ~ 0

0

Запишем систему:

																								D +					1	D				1 0								3		−		4		| −			1
−1 −1 −4 | −2																				D1					1				5		2											5			5					5
5 8 16 | 9																			=	D		~				1		D					=	0 1								8 16						|		9				=
																										5																5 5								5
0				0						λ | 1											2								2
																				D
																					3					1		D						0 0								0			1 |					1
																										λ			3																					λ
												E + 4 E											1 0 3 0									| − 1 +							4
			E1										1		5				3						5									5					5λ
																																										.
															16										8									9			16
	=		E2							~		E2		−					E3		=		0 1						0			|			−
															5										5									5			5λ
				E
				3										E3									0	0	0				1			|			1
																																				λ
x			+ 3 x								= − 1 +				4				,																x			1		=		4 − λ − 3 x ,
		1						3
				5									5		5λ																												5λ					5	3
			+ 8 x								= 9		− 16 ,							Общее решение:																						9λ −16 −							8 x ,
x		2							3																										x			2		=
				5								5		5λ																														5λ					5	3
x			=		1	.																													x					=		1		,
																																						4
	4				λ																																					λ

где x3 − свободное неизвестное.

Примеры для самостоятельного решения

1.	2x − 4x			+ 9x	= 28,	.	Ответ: x = 2 , x		= 3, x		= 4 .
	Решить систему	1	2	3	= −1,			2		3
		7x	+ 3x	− 6x			1
		1	2	3	= 5.
	7x		+ 9x	− 9x
		1	2	3
2.	Исследовать совместность системы и, если возможно, найти её решение.

53

	2x1 + 7x2 + 3x3 + x4				= 5,		x1 + 3x2 + 2x3			+ 3x4 =10,
1)	x1	+ 3x2	+ 5x3	− 2x4	= 3,	2)	2x1	+ 6x2	+ 5x3 +8x4		= 21,
	x	+ 5x	− 9x	+8x	=1,		x + 2x + 3x			+ 4x = 8, .
	1	2	3	4			1	2	3	4
	5x1 +18x2 + 4x3 + 5x4 =12.						2x1	+ 4x2	+ 5x3 + 7x4		=18.

Ответ: 1). Система совместна, общее решение имеет вид: x1 = 6 − 26x3 +17x4 ;

x2 = −1+ 7x3 − 5x4 ; 2). Система имеет единственное решение: x1									= 11, x2			= 0 ,
							x3		= −5, x4			= 3.
3. Решить систему в зависимости от значений параметра λ .
5x1	−3x2	+ 2x3	+ 4x4	= 3,
4x	− 2x	+ 3x	+ 7x	=1,
1	2	3	4
8x	− 6x	− x −5x = 9,
1	2	3	4		= λ.
7x	− 3x	+ 7x	+17x
1	2	3	4
		Ответ: при λ ≠ 0 система несовместна;
					x = −		3	−	5 x −		13 x ,		.
при λ = 0 система совместна, общее решение имеет вид:						1	2		2	3	2	4
							7		7 x −		19 x .
					x = −			−
						2	2		2	3	2	4
4.6. Решение однородных систем
Пример 1. Найти общее решение системы
5x1 + 6x2 − 2x3 + 7x4 + 4x5 = 0,
2x +3x − x + 4x + 2x = 0,
1	2	3	4		5
7x1 +9x2 −3x3 +5x4 + 6x5 = 0,
5x +9x −3x + x + 6x = 0.
1	2	3	4		5

Решение. Запишем и преобразуем матрицу системы:

	5			6 −2 7				4				A1		A1 − 2A2					1		0			0 −1 0
	2			3 −1 4				2		=		A			A					2	3			−1 4 2				=
A =				9 −3 5								2	~		2			=
	7							6				A			A				7		9 −3 5 6
				9 −3 1				6				3			3					5	9			−3 1 6
	5											A4			A4
B1						B1				1		0 0		−1 0					C1						C1
B					B − 2B			=			0	3 −1 6 2							C				~		C
=		2	~ 2			1											==				2				2	=
B					B − 7B					0 9 −3 12 6									C					C − 3C
		3			3	1					0	9 −3			6 6						3				3	2
B4					B4 − 5B1														C4					C4 − 3C2
1		0 0				−1		0				1 0 0 −1					0			1 0					0 −1		0
					−1									−1
=	0			3		6		2	~			0	3		6		2		~	0			3		−1	6	2		rangA = 3 .
0		0 0				−6		0 0 0 0 −6									0
																									0	1 0
	0		0		0	−12		0					0	0	0		0			0 0
												0

Число неизвестных равно 5. Число свободных неизвестных 5 − 3 = 2.

x1 − x4 = 0,

Выпишем систему, эквивалентную исходной: 3x2 − x3 + 6x4 + 2x5 = 0, .

x4 = 0.

Очевидно, x1 = x4 = 0 , за свободные неизвестные удобно взять x2 , x5 .

54

x1	= ,
Общее решение: x3	= 3x2 + 2x5 ,
	= .
x4

	0			0
	1			0

Запишем ответ в матричной форме: X =										3 x				+ 2	x		, где X
													2			5
										0				0
										0				1
							0			0
								1			0
Пусть x		= C , x		= C		, тогда X = C		3	+ C		2	.
	2	1	5		2	1				2
							0			0
								0			1
Пример 2. Решить систему:
						3x1 +5x2 + 2x3 = 0,
										+ 5x3 = 0,
						4x1 + 7x2
						1x1 +1x2 − 4x3 = 0,
						2x + 9x + 6x = 0.
							1		2			3

Решение. Запишем и преобразуем матрицу системы:

x1

x2

=x3 .x4x5

					3 5				2			A3			1		1	−4			1		1	−4			1 1 −4
					4 7				5		A1	−3A3	=		0		2	14 ~			0		1	7
			A =							~																~	0 1 7 .
					1 1				−4		A	− 4A			0		3	21			0		1	7
						2 9			6		2	3			0		7	14			0		1	2
											A	− 2A															0 1 2
											4	3
Получим				rangA = 3 .					Следовательно,							система						имеет			единственное нулевое
решение x1				= x2 = x3 = 0 .
								Примеры для самостоятельного решения
Найти, если возможно, общее решение систем:
x1 + x2 + x3 + x4 = ,											3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = ,
																+ 3x4 + 4x5 = , .
1) x1	+ x2	− x3 + x4 = ,							;	2) 5x1 + 7x2				+ x3
x1 − x2 + x3 + x4 = ,											4x1 + 5x2 + 2x3 + x4 + 5x5 = ,
− x + x			2	+ x	3	+ x	4	= .			7x +10x			2	+ x	3	+ 6x		4	+ 5x		5	= .
	1											1
					Ответ: 1)						x1 = x2 = x3			= x4		= 0 . 2) x1 = −3x3 − 5x5 ,											x2 = 2x3 + 3x5, x4 = 0 .

55

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике/Д.Т. Письменный. Ч.1. М.: Айрис-пресс, 2003. 288 с.

2.Краснов М.Л. Вся высшая математика/М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. Ч.1. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 352 с.

3.Высшая математика/Под ред. Г.Н. Яковлева. М.: Высшая школа, 2004. 584 с.

4.Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии/Д.В. Клетеник: уч.пособие для втузов. 17-е изд. СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. 200 с.

5.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова: Ч. 1. М.: Изд-во «Оникс 21 век», 2005. 416 с.

6.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/ под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1996. 464 с.

7.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Т.1. С-Птб. Изд-во «Политехника», 2003. 476 с.

56

Учебное издание

Надежда Юрьевна Одинцова Валентина Васильевна Трещева

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Редактор

Н.П. Кубыщенко

Подисано в печать 22.11.2004			Формат 60 84 1/16
Бумага типографская		Офсетная печать		Усл. печ. л. 3.95
Уч.-изд. л. 4.0	Тираж 150		Заказ	Цена ″С″

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, Мира, 19

Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, Мира, 19

57