Ch_7_Integraly_po_figure

Изменим порядок интегрирования. Если внешним будет интеграл по dy , то его пределами будут линии y 0 и y 1, а для внутреннего интеграла по dx пределами интегрирования будут x 4 y2 и

x 4 y 2 2 . Итак,

3 4 x2 0 2 4 x2

dx				fdy				dx				fdy
2		0							3		0
1			4 y 2 2
dy							fdx.
0				4 y	2

Вычислите 54x2 y2 150x4 y4 dxdy , если

D

D : x 1, y x3 , y x .

№ 2

11

РЕШЕНИЕ:

1 x3

54x2 y2 150x4 y4 dxdy dx dy 54x2y2 150x4y4

D	0 x

39

1				y	3					y	5				x3
dx		54x2					150x4
0				3						5
																x
1																			2
dx 18x11				30x19 18x7									2 30x13
0
	12				x		20		x	9 2						15 2					1
18	x		30					18					30					x
	12
					20			9 2								15 2					0

3 3 4 4 11.

2 2

Вычислите 12ye6 xydxdy ,

D

где D : y ln3,	x	1	,	y ln 4,	x	1	.
	6				3

№ 3

5

РЕШЕНИЕ:

1

ln 4

e

6 xy

3

12ye6 xy dxdy 12

ydy

6y

1

D

ln 3

1

6

ln 4

ln 4

ln 4

2 y

2 d ye6 xy

2 e2 y

ey dy

2

e

ey

13

ln 3

6

ln 3

2

ln 3

e

2 ln 4

2e

ln 4

2 ln 3

2e

ln 3

e

16 8 9 6 5.

Найдите площадь фигуры, ограниченной

линиями x2 y2

12 , x

6

y2

(x 0).

№ 4

РЕШЕНИЕ:

Точка пересечения находится из условий

3π 2

y2

12 x2 ,

y2 ,

x 6

x 6,

x 0

40

при этом y 6 . Площадь S равна

															12 y2
				6																										6																														y	2
S 2 dy																								dx 2 dy																							12 y2
																																																													6
				0													y2													0
																				6
	6																									2						6
2					12 y2														dy											y2dy .
																										6
0																														0
								J1																							J2
				y																			sin t,										dy																			cos tdt,
																		12																															12
																																																												π
J1				y														6								6											12 sin t t																									,
																																																			4
				y 0 t 0
			π																																				π
4																																				4						1 cos 2t
2															2				cos2 tdt											24																								dt
										12
0																																				0															2
												sin 2t													π											π											1
																									4
12				t																							12																								3π 6.
														2																						4											2
																								0
																																																	6
J2							2									6 y2dy															2								y3														2						6							4.
																																																																	6
								6							0															6 3																0					3 6

S J1 J2 3π 6 4 3π 2.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y2 4y x2 0, y2 8y x2 0,

y	x			, x 0.
	3

№ 5

РЕШЕНИЕ:

Перейдем в полярную систему координат

4π 3 3

x ρcosφ,

y ρsin φ.

Уравнение первой линии y2 4y x2 0,

y 2 2 x2 4 – окружность с центром (0;2) и

радиусом 2 имеет в полярной системе координат

41

вид: ρ2 sin2 φ 4ρsin φ ρ2 cos2 φ 0

ρ 0 начало координат,

ρ 4sin φ.

Аналогично вторая линия y2 8y x2 0,

(y 4)2 x2 16 представляет собой окружность ρ 8sin φ . Центр ее расположен в точке (0;4) , а радиус равен 4.

Для луча y					x					в полярной системе координат
	3
найдем ρsin φ								ρ cos						φ
0,							3
	1										π .
tg φ
				φ								.
	3						6

Прямая x 0 ρcosφ φ π . 2

Площадь S равна

π2 8sin φ

S dxdy ρdρdφ

dφ

ρdρ

D

D

π 6

4sin φ

π 2

ρ2

8sin φ

1

π 2

dφ

(64 16)sin2

φdφ

π 6

2

4 sin φ

2

π 6

π 2 (1 cos 2φ)

sin 2φ

π 2

24

dφ 12 φ

π 6

2

2

π 6

π

1

π

12

sin

4π

3

3.

3

2

3

Пластинка D задана ограничивающими ее

№ 6

кривыми x

1

, y 0, y2

16x y 0 ,

9

4

2

μ 16x

y2

− поверхностная плотность.

2

42

Найдите массу пластинки.

РЕШЕНИЕ:
Масса пластинки равна
																													1 4
													9						2																					16 x				9		2
M							16x										y			dxdy dx																							16x		y	dy
													2																															2
			D																										0										0
1 4														9				y		3								16 x
dx 16xy
																			3
0													2												0
1 4																						3
dx 16										16x							x										16			16x x
																						2
0
	5							1 4														5											x	5 2					1
																																							4
		16					16 x3 2 dx																			16			16
																						2
2							0																						5 2									0
			1 5 2
64										2.
					4
Пластинка D задана неравенствами
1		x2				y2 3, x 0, y																								x	,
16																													4
μ			x					− поверхностная плотность.
			y5
Найдите массу пластинки.

№ 7

1

РЕШЕНИЕ:

x2		2		x2		y2
	y		1,				1 - границы пластинки.
16				3 16		3

Сделаем замену переменных:

x 4X ,

y Y.

Якобиан перехода к новой системе координат

43

		x		x			4	0
J	X			Y					4 .
							0	1
		y		y
		X		Y

Масса М равна

M μdxdy

μ X ,Y JdXdY

4X

4dXdY .

5

D

D

D

Y

Перейдем в полярную систему координат

X ρcosφ,

Y ρsinφ.

ρ cos φ

π 2

dρ

cos φ

3

M 16

ρdρdφ 16 dφ

ρ

5

sin

5

ρ

3

sin

5

D

φ

π 4

1

φ

π 2

cos φ

ρ 2

3

16 dφ

sin

5

2

π 4

φ

1

1

π 2

cos φ

16 (sin φ) 4

π 2

8

1

dφ

sin

5

φ

3 4

3

π 4

π 4

4 1 4 4. 3

2. Тройные интегралы и их приложения

№ п/п	Задание			Ответ
№ 8	Вычислите x2 sh(xy)dxdydz , где
		V		sh 2 2
	V : x 2, y	x	, y 0 , z 0 , z 1.
	2

44

РЕШЕНИЕ: Область интегрирования представляет собой треугольную призму, однозначно проектирующуюся на плоскость OXY .

1

x2 sh(xy)dxdydz dxdyx2 sh(xy) dz

V		D		0
2	x 2	1	2	x 2

dxx2 dy sh(xy) dz dxx2 dy sh(xy) z 10

0			0							0				0				0
2				x 2						2					ch(xy)									x
																							2
dxx2 dy sh(xy) dxx2
																x							0
0			0							0
2										2							2
dxx(ch x y)							0x 2				dxx ch					x				1
0										0					2
2				x	2			x	2				2
x ch						dx
0			2				2						0
		2
	x		t,
2										2
dt xdx,							ch tdt 2 sh 2 2.
x 0,t 0,										0
x 2,t 2
Вычислите x2 zdxdydz ,
						V
где V			y 3x,										y 0,	x 2,
			:							z 0.
			z xy,

№ 9

144

РЕШЕНИЕ:

Область интегрирования однозначно проектируется на плоскость OXY , сверху ее

45

ограничивает поверхность z xy , снизу z 0 .

																		xy		2	3x			xy
x2 zdxdydz dxdyx2 zdz																				dxx2 dy zdz
V							D										0			0	0			0
2 2			3x	z		2			xy						1	2			3x			1	2		y	3			3x
dxx2			dy													dxx2				x2 y2dy			dxx4
				2											2
0		0	0						0							0	0				2		0	3					0
	1	2				9						x	8		2			9
		dxx7 27																	28 9 24		144.
												8					16
6		0			2										0

Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

x 17 2y, x 2 2y, z 0, z y 1 . 2

РЕШЕНИЕ:

Область интегрирования однозначно
проектируется в область D плоскости OXY .
Объем V равен:
																																													1		y												1														1	y
																																																															17				2 y
																																										2																2														2
V			dxdydz dxdy																																													dz dy																						dx						dz
№ 10			V																									D														0																0					2									0
																																																																		2 y										1
	1			17																																						1										17
														2 y											1																													2 y
	2																											y														2																					1
dy																				dx z					02								dy																									dx							y
																																																															2
	0							2																																		0						2
												2 y																																									2 y
	1																																											1
	2					1																																				2							1
																										17						2 y
dy																y x																							dy																			y 15 2														y
								2																		2
																														2 y
	0																																									0							2
									1
								2									1
15 2																							y y															y				dy
																	2
								0
														1						y	3 2						y		5 2											1 2
15				2
														2 3 2											5 2
																																								0
15										1										5y3 2 2 3y5 2																														1 2
						2
								15
																																								5 2										0
												1					3 2														1																											5			3		1.
		2		5																	2 3																											2
																																																										2 2
							2																								2

46

Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

x2 y2 2x 0, z 25 y2 , z 0 .

4

РЕШЕНИЕ:

Тело однозначно проектируется на плоскость OXY . Поверхность x2 y2 2x 0 представляет собой круговой цилиндр, образующая которого параллельна оси Oz , а направляющей является окружность единичного радиуса с центром в точке (-1; 0):

x2 y2 2x 0, (x 1)2 y2 1 ρ 2cosφ .

№ 11		25			2				6π
	Поверхность	z		y		представляет собой
		4
	параболический цилиндр, образующая которого
	параллельна оси Ox , а направляющей является
							25
	парабола с вершиной в точке 0;							и осью
							4
	симметрии, параллельной оси Oz . Ниже
	изображено сечение тела плоскостью x 1:

Объем V равен:

47

25 y2

V dxdydz dxdy																																4				dz
				V																D													0
перейдем																	в			цилиндрическую
															координат
систему
x ρ cos φ
y ρ sin φ
											2 cos φ														25				ρ2 sin 2 φ
	π																							4
2 dφ																				ρdρ															dz
	π 2														0																0
	π										2 cos φ																	25
	2																																		2				2
						dφ														ρdρ												ρ				sin					φ
																												4
	π 2														0
			π																	2											4									2 cos φ
	2														25					ρ									ρ			sin 2
						dφ																														φ
	π 2														4					2								4												0
	π											25																					16
	2																										2											4					2
					dφ												4 cos													φ					cos					φ sin						φ
												8																					4
	π 2
				π																				π
25 cos2 φdφ																				8 cos4												φ sin 2 φdφ ;
	2																							2
									J1																								J 2
							π 1					cos 2φ																			25						sin 2φ							π
J1 25																						dφ												φ
															2																2								2
							π																																						π
																																												2
					2
	25					π								25			π;
	2				2							4
								π										sin			2			2φ
J2 8 cos2 φ																														dφ
								π													4
					2
				π	1 cos 2φ 1 cos 4φ dφ
2
				π								2																2
			2

π

1 1 cos 4φ cos2φ cos 2φcos 4φ dφ; 2 π

	2
		π		π
	1dφ				;
				2
		π
		2

48