Ch_7_Integraly_po_figure

4. Поверхностные интегралы первого рода и их приложения

№ п/п	Задание																																																		Ответ
	Вычислите S																						dσ
																																			, если S – часть
																	1 x z 3
	плоскости x y z 1 в первом октанте.
																																																					3
																																																				8
	РЕШЕНИЕ:
№ 23	S : z 1 x y , D : x y 1, x 0, y 0 .
											z 2									z 2
	dσ							1																					dxdy														3dxdy ,
											x									y
	1 x z 2 y .
																																									1			1 x
								dσ																		3 dxdy																				dy
																																								3		dx
			1 x z											3												3																				y			3
	S																	D			2 y																				0			0 2
					1																						1 x															1
																1																						3						1				1
			3 dx																																																dx
																						2																								2
			0									2 2 y																	0									2				0		1 x				4
											1							x					1
				3																											3				.
																							0
			2						1 x									4									8

Вычислите массу полусферы z R2 x2 y2 ,

если ее плотность равна квадрату расстояния этой поверхности от оси ОZ.

№ 24	РЕШЕНИЕ:
			z 2			z 2
	dσ	1							dS
				x			y

59

												x													2																	y													2
1																																																							dxdy
							R			2	x				2			y			2															R			2		x					2		y				2
																																														R dxdy
		x2 y2 R2 x2																			y2
																															dxdy																															.
				R2 x2 y2
																																											R2 x2 y2
x, y				x						2		y					2		,		m R																x2 y2															dxdy												4
																																																																	R	4
																																									R		2			x					2	y				2
																																	Dxy																															3
{перейдем в цилиндрическую систему
координат}
		2			R						2		ρdρ																					R									3		dρ
R dφ											ρ														2 R																	ρ
											R2 2																													R2 2
0				0																													0
{ по частям}
u 2 ,																									du 2 d ,
							d
																																				2								2
dv																				, v R
					R				2							2
																														R				R
											2 R2 2																										2 R2
2 R																																																				2 d
																														0			0
						2																							R																					2									4
2 R(												(R2 2 )3																				) 2 R (																			R3 )												R4 .
				3																									0																			3											3

Вычислите площадь части поверхности сферы x2 y2 z2 R2 , вырезанной из нее цилиндром x2 y2 Rx .

РЕШЕНИЕ:

Сфера неоднозначно проектируется на

№ 25 плоскость XOY . Разрежем мысленно сферу на две полусферы и вычислим площадь верхней части, а вторую, нижнюю часть, учтем, умножив результат на два.

На рисунке приведены линия пересечения цилиндра с верхней полусферой и ее проекция на плоскость XOY .

2R 2

60

Уравнение верхней полусферы имеет вид z R2 x2 y2 .

					z 2						z 2
dσ			1													dS
					x						y
									x						2							y					2
1																												dxdy
					R		2	x		2	y		2							R	2	x	2	y	2

x2

y2 R2 x2 y2

R

dxdy

dxdy

.

R2 x2 y2

R2 x2 y2

R cos

dxdy

2

ρdρ

S 2

2

dφ

R

2

x

2

y

2

R

2

2

Dxy

0

2

R cos

2

4 dφ

R2 2

0

0

	2
4 (R					R2 R2 cos2 )dφ =
0
			2											2
4R (1					1 cos2 )dφ =4R (1 sin )dφ =
0													0
4R cos																2R 2 .
								2 4R					1
												2
								0

61

Найдите положение центра тяжести однородной

полусферы z R2

x2 y2

( плотность

1).

РЕШЕНИЕ:

Из соображений симметрии xC yC 0.

zC

M xy

, где M xy

– статический момент

№ 26

m

относительно плоскости Oxy , m – масса

поверхности. Так как 1, m S 2 R2 ,

M xy zd .

G

R

R dxdy

dσ

.

C

0,0,

2

R2 x2 y2

M xy zd m R

R2

x2 y2

dxdy

R

2

x

2

y

2

G

Dxy

R dxdy R R2 R3 .

Dxy

M xy

R3

R

z

C

.

m

2 R2

2

R

Центр тяжести C

0,0,

.

2

62

III. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

ДЗ №1. Двойные интегралы Номера указаны по задачнику: Сборник задач по математике для втузов

/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов [и др.]: под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. Ч. 2 288 с.: ил.

№

Задание

Ответ

п/п

9.4

Вычислить повторный интеграл

1

14

3

5

ln

1

dx

2

dy

.

11

x 2 y

2

1

2

9.6

Вычислить

повторный

интеграл

3

π

π

2 cosj

2

2

2

dj r3 dr .

π

0

2

9.8

Для

данного

повторного

интеграла

y x2 , y 2 x2 ,

1

2 x2

x 1.

dx

f x, y dy

написать

уравнения

3

1

x2

кривых, ограничивающих область интег-

рирования, и построить эту область.

9.10

Для

данного

повторного

интеграла

y

,

x

1

2 x2

y 2 x2 , x 0, x 1.

4

dx

f x, y dy

написать

уравнения

0

x

кривых, ограничивающих область интег-

рирования, и построить эту область.

9.12

Для области G записать двойной интеграл

4

x

dx f x, y dy

f x, y dxdy в виде повторных,

взятых

2

2

G

5

4

в различных порядках, если

ограничен-

dx f x, y dy

5

область G − параллелограмм,

4

2

ный

прямыми

y x ,

y x 3,

y 2 ,

7

4

dx f x, y dy

y 4 .

5

x 3

4

y 3

dy f x, y dx.

2

y

63

9.14

Для области G записать двойной интеграл

a

ax

f x, y dxdy в виде повторных,

взятых

dx f x, y dy

0

o

G

2a

2ax x2

в различных порядках, если область G -

dx

f x, y dy

6

область,

ограниченная кривыми

y

2

ax ,

a

0

2

2

x

y

2ax , y

0 ,

a 0,

y 0 .

a

a a2 y2

dy

f x, y dx

0

y2

a

9.18

Изменить порядок интегрирования

в по-

0

x 1

f x, y dy

1 1 y2

dx

вторном интеграле dy

f x, y dx .

1

7

x 1

1

y2 1

1

1 x

dx

f x, y dy.

0

1 x

9.24 Изменить порядок интегрирования в по-

3

10 y

dy

f x, y dx

8

вторном интеграле

10 x

7

3

9

1

9 / y

dx f x, y dy dx f x, y dy .

3

9 / x

7

9 / x

9.30

Вычислить интеграл

x

2

y

2

dxdy ,

4

a4

9

G

3

где область интегрирования G ограничена

кривыми y x ,

x y 2a , x 0.

9.28

Вычислить интеграл

xy dxdy ,

где об-

1

4

10

G

ласть интегрирования

G ограничена кри-

выми x y 2 ,

x2 y2 2y

x 0 .

9.30

Вычислить интеграл x 2y dxdy , где

9

20

11

G

G

область

интегрирования

ограничена

кривыми y x2 ,

y

.

x

9.31

Вычислить интеграл

4 y dxdy , где

68

15

12

G

G

область

интегрирования

ограничена

кривыми x2 4y , y 1, x 0

x 0 .

9.34Вычислить интеграл ex y dxdy , где об-

	13			G
		ласть интегрирования G ограничена кри-
		выми y ex ,	x 0,	y 2 .

64

9.42 Перейти к полярным координатам и рас-

π / 2

2a sin j

dj

f r cosj, r sinj rdr

ставить

пределы

интегрирования

по

но-

π / 4

a cosj / sin2 j

14

вым переменным в интеграле

a

a

a2 x2

dx

f x, y dy .

0

ax

9.47 Перейдя к полярным координатам , вы-

128

π

3

15

числить

интеграл

x2

y2 9 dxdy ,

G

где область G - кольцо между окружно-

стями x2 y2 9,

x2 y2

25.

9.49 Перейдя к полярным координатам, вычис-

45 πa4

интеграл x2 y2 dxdy ,

16

лить

где

об-

64

G

G

ласть

ограничена

кривыми

x2 y2 ax , x2 y2 2ax ,

y 0

y

0 .

9.52

Перейти к новым переменным

u

и

v

и

1

a

a

u a v

uv

расставить пределы интегрирования в ин-

dv

f

,

u du

a

a

теграле

f x, y dxdy ,

где область

G

0

0

a

17

G

x 0 ,

y 0 ,

определена

неравенствами

x y a . Положить u x y ,

ay uv .

9.55

Перейти к новым переменным

u

и

v

и

q

b

1

u

dv

2

v

v

расставить пределы интегрирования в ин-

du

f

,

uv

теграле

f x, y dxdy ,

где область

G

p

a

18

G

кривыми

xy p ,

xy q ,

ограничена

y ax ,

y bx 0 p q, 0 a b . По-

ложить u xy , y vx .

9.57

Вычислить

двойной

интеграл

e 1

e x y 2

dxdy , где область

G задана не-

2

19

G

x 0 ,

y 0 , x y 1 (про-

равенствами

извести

,

замену переменных x u 1 v

y uv ).

9.59

Найти площадь

фигуры,

ограниченной

64 a2

20

кривыми

y2 4ax 4a2

и

x y 2a

3

a 0 .

65

9.62

Найти

площадь

фигуры,

ограниченной

1

b2 a2

21

кривыми

x

2

y

2

2ax ,

x

2

y

2

2bx ,

4

π 2

y x ,

y 0 0 a b .

9.65

Найти площадь фигуры, ограниченной

a2

петлей кривой x y 4 ax2 y , лежащей в

22

210

первой четверти a 0 .

9.69

Найти

площадь

части

плоскости

4

a2

x y z a ,

вырезаемой

цилиндром

23

3

y2 ax и плоскостью x a .

9.82

Найти объем тела, ограниченного поверх-

16

ab2

ностями

24

3

x2

z2

1,

x2

y2

1 a 0 .

b2

a2

a2

b2

9.84

Найти объем тела, ограниченного поверх-

16

25

ностями

15

y x2 , z y , z y 2 .

9.87

Найти объем тела, ограниченного поверх-

1

πabc 1

ностями

e

x2

y2

2

2

26

2

2

x

y

a

b

z ce

,

1

a2

b2

a 0, b 0, c 0 .

9.93

Найти статические моменты относительно

M x

4

a3 , M y

5

πa3

осей Ox и Oy однородной фигуры, огра-

27

3

8

ниченной

кардиоидой

r a 1 cosj ,

0 j π , и полярной осью.

9.94

Найти координаты центра масс однород-

2

a ,

a

x

y

28

ной

фигуры,

ограниченной

кривыми

5

2

y2 ax ,

y x .

9.98

Найти момент инерции однородного тре-

Ix

1

, Iy

7

29

угольника,

ограниченного

прямыми

12

12

x y 1,

x 2 y 2 ,

y 0 , относительно

осей Ox и Oy .

9.100

Найти момент инерции однородной фигу-

Ix

21

πa4 ,

ры,

ограниченной

кардиоидой

32

,

30

r a 1 cosj

относительно

осей

Ox и

I

y

49

πa

4

32

Oy и относительно полюса.

35

I0

πa4

16

66

ДЗ № 2. Тройной интеграл

№

Задание Ответ

п/п

9.109

Расставьте пределы интегрирования в трой- a

a

a

x

c 1 a2 b2

b

x2

y2

2

2

ном интеграле

dx

b

dy

f x, y, z dz

f x, y, z dxdydz ,

a

a2 x2

x2

y2

a

c 1

a

2

2

b

1

T

T

где область

- внутренность эллипсоида

x2

y2

z2

1.

a2

b2

c2

9.112

Вычислите интеграл

1

6

2

1

x

x2 y2

dx dy

z dz .

0

0

0

9.114

Вычислите интеграл

a4

2 a x

a

ax

3

12

dx y dy

dz .

0

0

a x

9.115

Вычислите интеграл

a4

x y z dxdydz , где область T - тет-

4

8

T

раэдр,

ограниченный

плоскостями

x y z a , x 0, y 0 , z 0 .

9.116

Вычислите интеграл

1

5

xyz dxdydz , где область T ограничена

96

T

y x2 ,

x y2 ,

z xy ,

поверхностями

z 0 .

9.119

Вычислите интеграл z dxdydz , где об-

πa4

4

T

T

6

ласть

ограничена

поверхностями

x2 y2 z2 ,

z a , перейдя к цилиндриче-

ским координатам.

9.123

Вычислите интеграл

16

π

2

4 x2

2

x2 y2 dz , перейдя к ци-

3

7

dx

dy

2

x2 y2

4 x2

2

линдрическим координатам.

8

9.125

Вычислите интеграл xyz2 dxdydz ,

1

105

T

67

где область T

ограничена

частью сферы

x2 y2 z2

1 и координатными плоско-

стями x 0, y 0, z 0 , перейдя к сфери-

ческим координатам.

9.129

Вычислите интеграл

7

8

πR2

2

x

2

y

2

R

2

x

2

R

R

21

dx

9

dy

z dz , перейдя к сфе-

R

0

R2 x2

рическим координатам.

9.131

При каком значении a объем тела, ограни-

3

32V

ченного

поверхностями

x2 y2 az ,

10

3π

x2 y2 ax ,

z 0 , равен данному числу V ?

9.134 Найдите объем тела, ограниченного сферой

19 πa3

x2 y2 z2

4a2

и параболоидом

11

6

x2 y2 3az (внутри параболоида).

9.139

Найдите массу и среднюю плотность сфе-

M

31

pγ0a3 ,

рического

слоя

между

поверхностями

5

x2 y2 z2

a2

и

x2 y2 z2 4a2 , если

γср

93

γ0 .

140

12плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от точки до начала координат, а наибольшее значение плотности

	γ0 .
	9.144 Найдите координаты центра масс однород-							2
	ного тела, ограниченного поверхностями					0, 0,
								3	H
	13	H	x2 y2 , z H .
	z
		2
		R
	9.153 Найдите момент инерции однородного кру-					1	γπHR4
	гового конуса плотности γ с радиусом ос-
				10
	14
	нования R и высотой H относительно его
	оси.

ДЗ № 3. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода

№		Задание		Ответ
п/п
		Вычислите криволинейный интеграл 1 рода
		(x y)dl, где L − контур треугольника
1	11.48				2 1
		L
		АВО с вершинами в точках О 0, 0 , А 1, 0 ,

68