ПП_15_Неопр_инт_1

РЕШЕНИЕ:

t = ln(arccos x)

ln(arccos x)dx

∫

=

1

1

1 − x

2

arccos x

−

2

=

dt =

arccos x

1 − x

dx

2

1

= −∫t dt = −

t

+C = −

ln2 (arccos x )+C

2

2

Найдите ∫

ln (tg

x)

dx .

sin 2x

РЕШЕНИЕ:

(tg x),

t = ln

1

ПП 15.№25.

ln (tg

x)

1

1

1 dx

2

tg x

+C

∫

4

ln

dx =

dt

=

dx =

=

=

sin 2x

tg

x

cos2 x

sin x cos x

=

2dx

dx

=

1

dt

sin 2x

sin 2x

2

=

1

∫t dt

=

t2

+C =

1

ln2tg x +C .

2

4

4

Найдите ∫

cos x dx

esin x

−1 .

РЕШЕНИЕ:

t =sin x,

∫

cossinxx

dx

=

= ∫

dtt

=

e

−1

dt =cos x dx

e

−1

домножим и разделим числитель

=

и

знаменатель

на

et

и

на

2

=

e

−1

u =

t

sin x

ПП 15.№26.

2arctg

e

−1 +C

et dt

= 2

=

et

= u2 +1,

=

∫2et

et

−1

et

du =

dt

2

e

t

−1

= 2∫

1

et

dt = 2∫

du

=

t

et

−1

u

2

.

e

2

+1

= 2arctg u +C = 2arctg

esin x −1 +C

e3x

−2

1−e

x

+

4

1−e

x

3

−

ПП 15.№27.

Найдите

∫

dx .

3

(

)

1−ex

− 2

1−ex

5 +C

РЕШЕНИЕ:

5

(

)

11

x

x

t =1−e e =

1−t,

3x

e

x

x

∫

dx = dt =−e

dx e

dx

=−dt,

=

1

−e

x

2

e2 x =(1−t)

=∫

(1

−t)2 (−dt)

=−∫

1−2t +t2

dt =

t

t

=−

∫

−1/ 2

−2t

1/ 2

+t

3/ 2

t

dt =

1/ 2

t

3/ 2

t

5/ 2

t

=−

−

2

+

+C.

3/ 2

5 / 2

1/ 2

=−2 1−ex +

4

1−ex

3

− 2

1−ex

5

+C.

3

(

)

5

(

)

Найдите ∫

dx

.

1+x2

(3−arctg x)7

(

)

РЕШЕНИЕ:

3−arctg x =t,

1

−6

(3

−arctg x)

+C

ПП 15.№28.

dx

dx

∫

=

dt =−

=

6

2

)

7

1+ x

2

1+ x

(3−arctg x)

,

(

dx

=−dt

2

1+ x

t−6

1

= −∫t−7 dt = −

+ C =

(3 − arctg x)−6

+ C.

6

−6

Найдите ∫

dx

.

3 +e

x

РЕШЕНИЕ:

x

x

+e

dx

dx

t =3

,

∫

∫

e

x

=

= dt

=e

dx,

=

3 +e

x

e

x

3 +e

x

x

1

x

− 3

3 +e

ПП 15.№29.

e

=t −3

ln

+C

3

3 +ex

+ 3

t = y,

dt

2

2 y dy

∫

∫

=

=

t = y

,

=

=

(

2

(t

−3)

t

y

−3

y

)

dt =2 ydy

=2∫

dy

=

2

ln

y −

3

+C =

y

2

−

3

2

3

y +

3

12

=

1

ln

t − 3

+C =

3

t + 3

=

1

ln

3 +ex

− 3

+C.

3

3 +ex

+ 3

Найдите ∫

ln3 x

dx .

x

1−ln

4

x

РЕШЕНИЕ:

∫

ln3 x

dx =

x

1−ln

4

x

4

t =

1−ln

x ,

1

ПП 15.№30.

−4 ln

3

x

)

−

1−ln4 x +C

1

(

2

= dt

=

dx,

=

2

1−ln

4

x

x

3

ln

x

1

dx =−

dt

4

x

1−ln

x

2

dt

1

1

=−∫

4

=−

t

+C =−

1−ln

x +C.

2

2

2

=−

1

1−ln4 x +C.

2

Найдите ∫ ctg(ax +b)dx .

РЕШЕНИЕ:

t =ax

+b,

∫

ctg(ax +b)dx

=

dt

=

ПП 15.№31.

=a dx dx =

1 ln

sin(ax +b)

+C

dt

a

a

1

1

cos t

sin t = y,

=

∫ ctgt dt =

∫

=

dt =

a

a

sin t

dy

dy =cos t dt

=

1

∫

=

1 ln

y

+C = 1 ln

sin(ax +b)

+C.

a

y

a

a

−

1

ctg (ax +b)−

Найдите ∫ ctg2 (ax +b)dx .

ПП 15.№32.

a

РЕШЕНИЕ:

1

(ax +b)+C

−

a

13

t = ax +b,

2

∫

ctg

(ax +b)dx =

dt

=

= adx dx =

dt

a

=

1

∫ ctg

2

t dt =

1

∫

1−sin2 t

dt =

a

a

sin

2

t

dt

=

1

∫

−

1

∫ dt =−

1 ctg t −

1 t +C =

a

2

t

a

sin

a

a

=− 1 ctg(ax +b)−

1

(ax +b)+C.

a

a

Найдите ∫

sin x cos x

dx .

a

2

sin

2

x

+b

2

cos

2

x

РЕШЕНИЕ: ∫

sin x cos x

dx =

a

2

sin

2

x

2

cos

2

x

+b

2

2

2

2

t =

sin

x

cos

x,

a

+b

2

2

a

2sin x cos x +b

2cos x(−sin x)

1

ПП 15.№33.

a2 sin2 x +b2 cos2 x +C

=

dt =

2

2

2

2

dx,

=

a2 −b2

2

sin

x

cos

x

a

+b

sin x cos x

dx

dt

=

2

2

2

2

2

2

a

sin

x +b

cos

x

(a −b )

=

1

∫ dt =

1

t

+C =

a

2

2

a

2

−b

2

−b

=

1

a2 sin2 x +b2 cos2 x +C.

a

2 −b2

Найдите ∫ x cos x2 2sin x2 dx .

РЕШЕНИЕ:

ПП 15.№34.

∫ x cos x2 2sin x2 dx =

1

2sin x2 +C

t = 2

sin x2

,

2ln 2

=

=

ln 2 cos x2

dt = 2sin x2

2x dx

=

1

∫dt =

1

t + C =

1

2sin x2 + C.

2 ln

2

2 ln

2

2 ln

2

Найдите ∫

sh x ch x

dx .

4

x

1+sh

1

arctg(sh x2 )+C

ПП 15.№35.

РЕШЕНИЕ:

2

2

sh x ch x

t =sh x,

∫

dx =

=

4

x

1 +sh

dt = 2sh x ch x dx

14

=12 ∫ 1 +dtt2 = 12 arctg t +C =

=12 arctg(sh x2 )+C.

Найдите ∫

ln(x + 1+ x2 )

dx

1+ x

2

РЕШЕНИЕ:

∫

ln(x + 1+ x2 )

dx

=

1+ x2

2

)

t =ln

x +

1

+ x

,

3/ 2

2

2

(

ПП 15.№36.

(

x + 1+ x

)

+C

3

ln

1

1+

2x

2

2

1+ x

dt =

dx

=

=

=

2

x +

1+ x

(

2

)

1+ x

+ x

dx

=

dx =

(

2

)

2

2

x + 1+ x

1+ x

1+ x

t3/ 2

∫

2

(

2 3/ 2

=

tdt =

+C =

ln

x + 1+ x

+C.

3/ 2

3

)

Найдите ∫

x +arccos3/ 2 x

dx

1−x

2

РЕШЕНИЕ:

x

dx

∫

x +arccos3 / 2 x

dx =∫

+∫

arccos3/ 2

x

dx ;

1−x2

1−x2

1−x2

I1

I2

2

2

5/ 2

ПП 15.№37.

−

1−x

−

(arccos x)

+C

t =

1−x

2

,

5

1

I1

= dt =

(−2x)dx

2

2 1−x

x dx

=−dt

2

1−x

=−∫dt =−t +C =− 1−x2 +C,

15

t = arccos x,

I2

1

=

=

dt

=−

dx

2

1−x

=−∫ t

3 / 2

t5 / 2

2

5 / 2

dt

=−

+C =−

(arccos x)

+C.

5 / 2

5

3

Найдите ∫

x

dx .

(x −1)100

РЕШЕНИЕ:

3

t

= x −1,

x

∫

dx =

x

=t +

1,

=

100

1

−96

(

x −1

(x −1)

−

−

)

dx

=dt

96

(t +1)3 dt

t3

+3t2 +3t

+1

−

3

(x −1)−97 −

ПП 15.№38.

= ∫

= ∫

dt

=

97

t

100

t

100

−

3

(x −1)−98 −

= ∫(t−97 +3t−98 +3t−99 +t−100 ) dt =

1

98

−99

−96

−97

−98

−99

−

(x −1)

+C

=

t

+3

t

+3

t

+

t

+C =

99

−96

−97

−98

−99

=−

1

(x −1)−96 −

3

(x −1)−97 −

96

97

−

3

(x −1)−98 −

1

(x −1)−99 +C.

98

99

Найдите ∫

1−cos x

dx .

sin x

РЕШЕНИЕ:

∫ 1−sincosx x dx = ∫

dx

−∫ cossin xx dx ;

sin x

x

I1

I2

I =ln

tg

+C ,

1

2

1

−2ln

cos

x

+C

ПП 15.№39.

t =sin x,

dt

2

I2

=

∫

=

=−

t

dt

=cos x dx

=−ln

t

+C2 =−ln

sin x

+C2 .

∫

1−cos x

dx

=ln

tg

x

−ln

sin x

+C

=

sin x

2

x

+C.

=−2 ln

cos

2

16

Найдите ∫

sin x

dx .

1+cos x

РЕШЕНИЕ:

sin x

∫

t

=1 +cos x,

ПП 15.№40.

dx =

=

−ln(1+cos x)+C

1 +cos x

dt

=−sin x dx

=−∫

dt

=−ln

t

+C =

t

+C =−ln(1+cos x)+C.

=−ln

1 +cos x

Найдите ∫

cosec2 x

dx .

a −b ctg x

РЕШЕНИЕ:

∫

cosec2 x

dx =

a −b ctg x

t

= a −b ctg x,

1

ln

a −b ctg x

+C

ПП 15.№41.

b

b

=

2

=

dt =

2 dx =b cosec x dx

sin

x

=b1 ∫ dtt = b1 ln t +C =

=b1 ln a −b ctg x +C.

Найдите ∫(x +1)15 dx .

РЕШЕНИЕ:

1

15

15

16

t = x +1,

ПП 15.№42.

∫

(x +1)

dx =

=

∫

t

dt =

(x +1) +C

16

dt =dx

=t16 +C = 1 (x +1)16 +C. 16 16

Найдите ∫

x arccos x

dx .

1−x

2

РЕШЕНИЕ:

arccos x = t x = cos t,

x arccos x

∫

dx

dx

=

dt = −

=

ПП 15.№43

1 − x

2

−x −

2

arccos x +C

2

1 − x

1−x

=−∫ t cos t dt =−[t sin t +cos t]+C =

=−arccos x sin (arccos x)− x +C =

=−x − 1− x2 arccos x +C.

17

15.3. Интегрирование по частям

Пусть u =u(x) и v =v(x) – две дифференцируемые функции x .

Формула интегрирования по частям:

∫ u dv =u v −∫ v du .

Эта формула используется в тех случаях, когда новый интеграл проще исходного.

∫ xk eax dx,

1) Винтегралах ∫ xk sin ax dx,

∫ xk cos ax dx

∫ xk ln x dx,

∫ xk arcsin x dx,

2) Винтегралах ∫ xk arccos x dx,

∫ xk arctgx dx,

∫ xk arcctgx dx

u = xk ,

u =ln x,

u =arcsin x,

u =arccos x,

=

u arctgx,

u =arcctgx.

Формулу интегрирования по частям можно применять несколько раз подряд.

3) Возвратное интегрирование

Возвратное интегрирование, когда в результате применения формулы интегрирования по частям получается уравнение для искомого интеграла, применяется для вычисления интегралов вида:

		e	ax		cosbx dx
∫					u =e	ax	,	∫	cos(ln x) dx ,	∫	sin(ln x) dx .
	∫ e			ax	sin bx dx

18

ПП15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.3.Интегрирование по частям

№ п/п

Задание

Ответ

Найдите ∫ x cos x dx .

РЕШЕНИЕ:

u

= x

dv

ПП 15.№44.

∫

=cos x dx

=

xsin x +cos x +C

x cos x dx =

du

= dx v =sin x

= x sin x −∫ sin x dx = x sin x +cos x +C.

Найдите ∫ x2 sin x dx .

РЕШЕНИЕ:

u = x

2

2

∫

x

dv =sin x dx

=

2

sin x dx =

−x

cos x +

ПП 15.№45.

du = 2x dx

v =−cos x

+2x sin x +

=−x2 cos x−∫(−cos x)2x dx =

= −x2 cos x + 2∫x cos x dx =

+2 cos x +C

= −x2 cos x + 2(xsin x +cos x)+C =

=−x2 cos x +2xsin x +2cos x +C.

Найдите ∫ x 2x dx .

РЕШЕНИЕ:

= x

x

1

x

u

dv = 2 dx

x 2

−

∫

x

2

x

dx

=

x

2

=

ln 2

ПП 15.№46.

du

=dx

v =

1

ln 2

1

1

−

2x +C

=

x 2

x

−

∫ 2

x

dx =

(ln 2)2

ln 2

ln 2

=

1

x 2x

−

1

2x

+C.

ln 2

(ln 2)2

Найдите ∫ln x dx .

РЕШЕНИЕ:

u = ln x dv = dx

ПП 15.№47.

dx

=

xln x − x +C

∫ln x dx =

du =

v = x

x

= x ln x − ∫

x

dx = x ln x − x + C .

x

19

Найдите ∫ arctg x dx .

РЕШЕНИЕ:

u

=arctg x

dv = dx

∫ arctg x dx

dx

=

=

x arctg x −

2

du =

+ x

v = x

1

ПП 15.№48.

1

(

)

2

2

x

+ x

= x arctg x −

∫

dx =

=

− ln 1

+ x

+C

2

1

+ x

2

dt =

2x dx

=x arctg x − 12 ∫ dtt = x arctg x − 12 ln t +C =

=x arctg x − 12 ln(1+ x2 )+C.

Найдите ∫

cos2 x

dx .

sin

3

x

РЕШЕНИЕ:

cos2 x

dx

=

cos x

∫sin3 x

−

−

ПП 15.№49.

d (sin x)

2sin2 x

u = cos x, dv =

cos x

dx

=

1

x

−

ln

tg

+C

sin

3

x

sin

3

x

=

2

2

=

d

(sin x)

sin−2

du = −sin xdx, v = ∫dv

= ∫

=

x

3

x

−2

sin

cos x

sin xdx

cos x

1

x

= −

−∫

= −

−

ln

tg

+C .

2sin2 x

2sin2 x

2sin2 x

2

2

Найдите ∫sin xln(tg x)dx .

РЕШЕНИЕ:

=ln(tg x)

u

dv = sin x dx

1

dx

=

∫sin xln(tg x)dx =

du =

v = −cos x

−cos xln(tg x)+

tg x

cos

2

x

dx

1

ПП 15.№50. = −cos x ln (tg x)−∫(−cos x)

=

+ln

tg

x

+C

tg x

cos2 x

= −cos x ln (tg x)+∫

dx

2

=

sin x

x

=−cos xln(tg x)+ln

tg

+C .

2

20