ПП_16_Неопр_инт_2

ПП 16. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯИФОРМУЛЫ

1. Интегрирование простейших дробей

Простейшие правильные дроби:

1)

A

; 2)

A

( k – целое положительное число, k >1);

x

−a

(x −a)k

3)

Ax +B

; 4)

Ax +B

, где x2 + px +q – квадратный трехчлен с от-

x

2 + px +q

(x2 + px +q)k

рицательным дискриминантом

p2

−q <0 ,- называют.

4

A

dt

t

= x −a,

1) ∫

dx

=

= A∫

= Aln

t

+C =

x −a

t

dt

=dx

= Aln

x −a

+C.

1−k

A

dt

t

2)

∫

k

dx =

t

= x −a,

= A

∫

= A

+C =

k

(x −a)

dt =dx

t

1−k

=−

A

+C .

(k −1)(x −a)k−1

замену

сделаем

Ax +B

2

A

2x + p

B−Ap / 2

3)

∫

+ px

∫

dx +

∫

dx.

2

2

2

x

+ px

dx = u =x

+q, =

2

x + px +q

x + px +q

+q

du =(2x + p)dx

Ia

Ib

d (x2 + px +q)

Ia =

A

2x + p

dx =

A

=

A

ln

u

+C =

∫ x2 + px +q

∫

x2 + px +q

A

2

2

2

.

=

ln

x2 + px +q

+C,

2

Ap

dx

Ap

dx

Ib = B −

∫

2

2

= B −

∫

2

,

2

p

p

2

p

2

p

2

x

(x +

)

+

+ px +

+ q −

q −

4

2

4

2

q −

p2

>0 .

4

t = x + p / 2,

Сделаем замену переменной

dt =dx,

2

a =

q − p

/ 4.

1

Тогда

Ap

dt

B − Ap / 2

∫

arctg

Ib = B −

t

2

+a

2 =

2

/ 4

2

q − p

В итоге

∫

Ax + B

dx =

A

ln

x

2

+ px + q

+

x2 + px + q

2

	x − p / 2		+C.
	q − p2 / 4
	B − Ap / 2			arctg	x − p / 2	+C.
	q − p2 / 4
					q − p2 / 4

Ax+B

A

2x+p

(

B−Ap/ 2

4)

Ik =

∫

dx =

∫

dx+

∫

)

dx.

2

k

2

k

2

k

(

)

2

(

)

(

)

x

x

x

+px+q

+px+q

+px+q

Ia

Ib

Вычислим интеграл Ia . Заменим u = x2 + px +q du =(2x + p)dx .

Ia =

A

du

=

A

uk−1

+C =−

A

1

+C.

2 ∫ uk

(

k−1

2 (1−k)

2

2

)

(k −1)

x

+ px +q

Вычислим интеграл Ib .

dx

заменим t = x + p / 2,

Ap

∫

Ib = B −

=

=

2

k

2

2

(

x + px +q

)

a = q − p / 4

Ap

dt

Ap

= B −

∫

= B −

I

,

2

2 k

k

2

(

+a

)

2

t

где Ik = ∫ (t2 +dta2 )k .

Получили итерационную формулу. Считаем известными значения интеграла Ik при k =1:

I

=

dt

=

1

arctg

t

+C =

1

arctg

x+p / 2

+C =

1

arctg

x+p / 2

+C ,

1

∫ t2 +a2

a

a

a

a

q−p2 / 4

q−p2 / 4

и при k = 2 :

a2 +t2 −t

2

t2 dt

=∫

dt

1

∫

1

t

1

∫

I2

=

2

dt =

arctg

−

=

(

2

2

2

a2

(

2

2

a3

a

a2

(

2 2

2

t

+a

)

t

+a

)

+a

)

t

u

=t

dv =

t

dt

2

2 2

={интегрируем по частям}

(t

+ a

)

=

=

1

du

= dt

v = −

2

2

2(t

+ a

)

1

t

1

t

1

dt

1

t

t

arctg

arctg

+C,

=

−

−

+

=

+

a

3

a

a

2

+a2 )

2 ∫ t

2

+a

2

2a

3

a

2a2

(t2

+a2 )

2(t2

по которым можно вычислить значения Ik

при любых k .

2

2. Интегрирование правильных рациональных дробей.

Пусть QP((xx)) – правильная рациональная дробь. Для того чтобы ее проинтег-

рировать, необходимо

1)разложить ее знаменатель на множители;

2)написать разложение дроби на простейшие;

3)найти коэффициенты разложения, пользуясь методом неопределенных коэффициентов;

4)проинтегрировать каждую простейшую дробь.

Если

Q(x)=an (x −a1)α1 (x −a2 )α2 … (x −am )αm …

(x2 + p1x +q1)β1 (x2 + p2x+q2 )β2 … (x2 + pk x+qk )βk , (*)
где		x2 + p x +q ,	(i =1, 2,…, k) – многочлены с комплексными корнями
		i i
(	p2i	−q <0 ),
	4	i

a1

– корень кратности α1 , a2 – корень кратности α2 , ….., aj – корень кратности

αj ,

(j =1,

2,…, m),

то

Aα

P(x)

A

A

B

B

1

2

1

1

2

=

+

+…+

+…+

+

+

Q(x)

x −a1

(x

−a )2

(x −a )α1

x −a2

(x −a )2

1

1

2

Bα

C

C

Cα

+…+

2

+…+

1

+

2

+…+

m

+

α

2

(x−a )

2

x−am

(x

−a

)

(x−a

)

m

2

m

m

M x +N

M

x +N

+…+

Mβ x +Nβ

+…+

+

1

1

+

2

2

1

1

x2 + p1x +q1

(x2 + p1x +q1)2

(x2 + p1x +q1)β1

P x +Q

P x +Q

Pβ

n

x +Qβ

n

,

+

1

1

+

2

2

+…+

x2 + pk x +qk

(x2 + pk x +qk )2

(x2 + pk x +qk )βn

где A1, A2 ,…,

Aα , B1, B2 ,…,

Bα , P1,

Q1 , ……. – неопределенные действитель-

1

2

ные коэффициенты, подлежащие определению (некоторые из них могут быть равны нулю).

Интегрирование правильной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.

3

3.Интегрирование неправильных рациональных дробей.

Внеправильной рациональная дробь нужно выделить целую часть и представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби путем деления числителя на знаменатель.

Схема интегрирования рациональной дроби:

1)если дробь неправильная, путем деления числителя на знаменатель получить многочлен и правильную рациональную дробь;

2)проинтегрировать многочлен;

3)найти корни знаменателя правильной рациональной дроби и разложить его на множители;

4)записать разложение правильной дроби на простейшие;

5)проинтегрировать каждую простейшую дробь.

Интегрирование простейших дробей

1) ∫ x −A a dx = Aln x −a +C

2) ∫

A

A

+C

(x −a)k

dx =−(k −1)(x −a)k−1

Ax +B

A

2

B − Ap / 2

x − p / 2

∫ x2 + px +q dx

= 2 ln

x

+ px

+q

+

q − p2 / 4 arctg

q − p2 / 4

+C

Ax +B

dx =−

A

1

+

Ap

I

,

∫

k

k−1

B −

x

2

+ px +q

2

(k −1) x

2

+ px +q

k

(

)

)

2

(

где Ik = ∫ t2 +dta2 k .

(

)

Разложение рациональной дроби на простейшие

P(x)

A

A

+... +

Aα

+...

=

1

+

2

1

Q(x)

x −a1

x

−a2

(x −a )α1

1

C

C

2

... ++

Cα

m

+...+

+

1

+

+

x −am

(x

−a

)2

(x −a

)αm

m

m

M

x + N

+... +

Mβ x + Nβ

+...+

1

1

1

1

x

2

+ p1x +q1

β

(x2 + p1x +q1)

1

Px

+Q

...

Pβ x +Qβ

n

.

+

1

1

+

+

n

x2 + pk x +qk

(x2 + pk x +qk )βn

4

ПП 16. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Интегрирование рациональных функций

№ п/п

Задача

Ответ

Вычислите ∫

dx

.

2x

2

+6x +3

Решение:

∫

dx

=

1

∫

dx

=

1

2x +3− 3

ln

+

2

+6x +3

2

2

3

ПП 16 №1

2x

2 3

2x +3 + 3

x

+3x +2

+C.

=

1

∫

dx

=

1

ln

2x +3− 3

+C.

2

2

2x +3+ 3

3

3 2 3

x +

−

4

2

Вычислите ∫

2x −1

dx .

3x

2

Решение:

+6x −1

2

t

=3x +6x −1,

2x −1

dt

=(6x +6)dx

∫

dx =

=

2

3x

+6x −1

1

(6x +6)−

2x

≡

3

3

1

dt

dx

1

2

=

3

∫

t

−3∫

1 =

ln

3x

+6x −1

+

2

+2x

−

3

3 x

3

x +1+

2

ПП 16 №2

=

1

ln

t

−

dx

=

+

3

ln

3

+

2

3

∫ (x +1)2 − 4

4

x +1−

3

3

2

+C.

1 ln

3

x +1+

=

t

+

ln

3

+C =

3

2 2

x +1−

2

3

=

1

ln

3x2 +6x −1

+

3

ln

x +1 +

2

+C.

3

3

4

x +1−

2

3

5

Разложите дробь

(x2 +x −6)3

(x +3)2 (x2 −4x +4)3 (x3 +2x2 +2x +4)2

на простейшие с неопределенными коэффи-

циентами, не вычисляя их.

Решение:

(

3

x2

+ x −6

)

=

A1

+

A2

+

(x +3)2 (x2 −4x +4)3 (x3 +2x2 +2x +4)2

x −2

(x −2)2

x

2

+ x −6

=(x +3)(x −

2),

+

A3

+

B1

+

(x −

3

x +2

2)

ПП 16 №3

x2 −4x +4 =(x −2)2

,

B

C x

+D

+

2

+

1

1

2

2

2

2

3

x

+2

(x +2)

x

+2x +2x +4 =(x +2)(x +2)

=

(x +3)3 (x −2)3

=

+

C2 x +D2

.

2

2

6

2

2

(

x

2

)

2

+2

+2)

(x +3) (x −2) (x +2) (x

x+3

=(x −2)3 (x +2)2 (x2 +2)2 =

=

A1

+

A2

+

A3

+

B1

+

x −

2

(x −2)2

(x

−2)3

x +2

+

B2

+

C1 x +D1

+

C2 x +D2

.

2

2

(

)

(x +2)

x

+2

x

2

+2

Вычислите ∫

dx

4

2

+3

Решение:

x

−4x

x

∫

dx

1

ln

x −2

(x +1)(x −2)2

−

9

x +1

ПП 16 №4 Разложим рациональную дробь на простей-

2

1

шие:

x

=

A

+

B

+

C

.

− 3 x −2 +C.

(x +1)(x −2)2

x +1

x

−2

(x −2)2

Приведем правую часть к общему знамена-

телю:

6

		x		=
	2
(x +1)(x −2)
=		A(x −2)2 +B(x +1)(x −2)+C(x +1)
			(x +1)(x −2)2

x = A(x −2)2 +B(x +1)(x −2)+C(x +1) x = A(x2 −4x +4)+B(x2 −x −2)+C(x +1).

При всех степенях x коэффициенты в левой и правой частях равенства должны совпадать:

2			0 = A +B,
x	:
		=−4A−B +C,
x1 : 1
x0	: 0		=4A−2B +C.

A =− 19 , B = 19 , C = 23 .

x

∫ (x +1)(x −2)2 dx =

=−

1

∫

1

dx +

1

∫

dx

+

2

∫

dx

=

9

x +1

x −2

(x −2)

2

9

3

=−

1

ln

x

+1

+

1

ln

x −2

−−

2

1

+C =

(x −2)

9

9

3

1

x −2

2

1

+C.

=

ln

−

x +1

x −2

9

3

Вычислите ∫

x4dx

2

+1

Решение:

x

Дробь неправильная, выделяем целую часть

путем деления столбиком числителя на зна-

менатель:

x3

−x +

_ x4

x2 +1

3

ПП 16 №5

x2 −1.

+arctg x +

x4 + x2

_ −x2

+C.

−x2 −1 1

x2x+4 1 = x2 −1+ x2 1+1

7

∫	x		4 dx	=	∫(	x2 −1 dx +	∫		dx		=
		2							2
	x		+1			)		x		+1

=x3 − x +arctg x +C. 3

Вычислите ∫

x +2

dx

x

2

Решение:

+5x −6

∫

x +2

dx =

x2

+5x −6

2

x +5x −6 =0,

=

x

=−6, 1

=

1,2

2

x

+5x −6 =(x +6)(x −1)

x +2

= ∫

dx .

(x +6)(x −1)

Разложим рациональную дробь на простей-

шие:

7 (x +6)4 (x −1)3

ПП 16 №6

x +2

=

A

+

B

,

ln

+

(x +

6)(x −1)

x +6

x −1

+C.

x +2 = A(x −1)+ B(x +6),

коэффициенты

AиB могут быть найдены

подстановкой в данное равенство значений

x =1 и x =−6 :

3

= 7B,

4

3

A =

,

B =

.

7

7

−4 =−7 A

x +2

4

dx

3

dx

∫

dx =

∫

+

∫

=

x

2

+5x −

6

x +

6

x −1

7

7

=74 ln x +6 + 73 ln x −1 +C =

=ln 7 (x +6)4 (x −1)3 +C.

Вычислите ∫

x4 +3x3 +3x2 −5

dx.

x2

+

3

+3x

2

+3x +1

2

Решение:

x

1

+

+

Под интегралом неправильная рациональ-

x +1

ПП 16 №7 ная дробь.

2

Выделим целую часть:

+

+

2

(x +1)

+C.

8

_ x4 +3x3 +3x2 −5

x3 +3x2 +3x +1

x4 +3x3 +3x2 + x

x

−x −5.

x +5

∫

x

−

dx =

3

2

x

+3x

+3x +1

знаменатель рациональной дроби имеет

три

корень x =−1 кратности

=

x2

−∫

x +5

dx =

3

2

(x +1)

x +5

x +1

4

≡

+

=

3

3

3

(x +1)

(x +1)

(x +1)

1

4

=

+

2

3

(x +1)

(x +1)

x2

dx

dx

=

−∫

−4∫

=

2

2

3

(x +1)

(x +1)

=

x2

+

1

−

4

1

+C =

2

x

+1

−2

(x

+1)2

=

x2

+

1

+

2

+C.

2

x

+1

(x +1)2

Вычислите ∫

dx

3

+8

Решение:

x

∫

dx

=

∫

dx

3

+8

(x +2)

2

−2x +4

x

x

1

=

A

+

(

Bx +C

,

)

1

ln

(x +2)2

+

24

x2 −2x +4

x

3

+8

x

+2

x

2

−2x

+4

ПП 16 №8

1

x −1

1 = A(x2 −2x +4)+(Bx +C)(x +2)

+

arctg

+

4

3

3

x2 : 0 = A + B,

+C.

x1 : 0 = −2A +2B +C,

0

: 1 = 4A +2C.

x

A =121 , B =−121 , C = 13

9

∫

dx

=

1

∫

dx

−

(

2

)

12

x +2

(x +2) x −2x +

4

I1

;

1

x −4

−

∫

dx

12

x

2

−2x +4

1

I2

I =

ln

x +2

+C.

1

12

= x

2

I2

t

−2x +4,

=

=

dt =(2x −2)dx

(2x −2)dx

=−

1

∫

−

1

∫

1−4

dx =

12 2

x

2

−2x +4

12

x

2

−2x

+

4

1

2

1

dx

=−

ln(x

−2x

+

4)+

∫

=

24

4

2

+3

(x −1)

=−

1

ln(x2 −2x +4)+

1

arctg

x −1

+C .

24

4

3

3

Вычислите ∫

dx

(

2

)(

2

)

x

−

4x +4

x −4x +5

Решение:

dx

∫

=

(

x2 −4x +4

)(

)

x2 −4x +5

x2

−4x +5−

x2 −4x +4

)

= ∫

(

dx =

(

2

)(

2

x −4x +

4

x

−4x +

)

5

= ∫

dx

−∫

dx

;

−

1

−

x

2

−4x +

4

2

−4x

+

5

ПП 16 №9

x

x −2

I1

I2

−arctg(x −2)+

I1 =∫

dx

=∫

dx

1

=−

+C, +C.

x2 −4x +4

(x−2)2

x−2

I2

=−

dx

=−

dx

=

∫ x2 −4x +5

∫ (x −2)2 +1

=−arctg(x −2)+C,

∫

dx

=

(

x2 −4x +4

)(

x2 −4x +5

)

=− x −1 2 −arctg(x −2)+C.

10