Пп 12. Дифференциал. ПРавило лОпиталя.
ФОрмула тейлора
Основные определения и формулы
Дифференциал функции
,
Главная, линейная по часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается .
Главная часть, потому что - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Линейная, потому что дифференциал зависит от в первой степени.
Свойства дифференциалов
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке .
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
, ,
.
Дифференциал сложной функции
, -
инвариантность (неизменность) формы первого дифференциала.
Дифференциалы высших порядков:
, ,
;
В случае сложной функции, если , , - независимая переменная, тогда - форма второго дифференциала не инвариантна.
Основные теоремы анализа
Т еорема Ролля (о нуле производной)
Если: 1) функция - непрерывна на отрезке , 2) на интервале существует производная , 3) значения функции на концах отрезка совпадают, , то существует точка такая, что .
Если функция удовлетворяет условию теоремы Ролля, то в некоторой точке отрезка касательная к графику параллельна оси .
Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)
Если: 1) - непрерывна на отрезке , 2) на интервале существует производная , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что или .
Н а кривой найдется, по крайней мере, одна точка , в которой касательная параллельна хорде .
Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Так как , то , , где , откуда , .
Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях)
Если: 1) непрерывны на , 2) на существуют производные , 3) , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что .
Правило Лопиталя – Бернулли
Раскрытие неопределенностей типа и : .
№п/п |
Неопределенность |
Метод раскрытия |
1 |
; |
|
2 |
|
или получаем неопределенность или . |
3 |
|
, тогда
|
4 |
; ; |
Если ,то применяется предварительное логарифмирование: ; ; . Исходный предел . К этому же результату можно прийти, применяя основное логарифмическое тождество, после чего . |
Многочлен Тейлора
,
Формула Тейлора
Если дифференцируема раз в окрестности точки ,B Bто для любого из указанной окрестности справедлива формула Тейлора порядка n:
где ,
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Для вычисления пределов полезен другой вид остаточного члена – в форме Пеано:
=о
Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена.