ПП_15_Неопр_инт_1

ПП 15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1.Непосредственное интегрирование.

2.Замена переменной.

3.Интегрирование по частям.

ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯИФОРМУЛЫ Свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1) F ′(x)= f (x) или dF (x)= f (x)dx ;

2)∫ dF (x)= F (x)+C ;

3)∫ Cf (x) dx =C ∫ f (x)dx ;

4)∫ f (x)± g (x) dx = ∫ f (x)dx ±∫ g (x)dx,

где F (x) - произвольная первообразная, а C - постоянная.

Поскольку F (x) имеет производную, она обязана быть непрерывной.

Таблица дифференциалов

№	f (x)				df (x)
1	0			0
2	С= const			0
3		x				dx
4	xα , x > 0, α ≠−1				αxα−1dx
4.1		1			−		dx
							x2
		x
4.2		x				dx
					2 x
5	ax , a >0,a ≠1				a x ln adx
5.1	ex				exdx
6	loga x ,				loga e				dx
	x >0,a >0,a ≠1				x
6.1	ln x					dx
						x
7	sin x				cos xdx
8	cos x			− sin xdx

1

9	tg x , x ≠ π +πn,n Z			dx		= (1 +tg 2 x)dx
				cos2	x
	2
10	ctg x , x ≠πn,n Z	−	dx		= −(1+ctg 2 x)dx
			sin2 x
11	arcsin x , x (−1;1)								dx
								1 − x 2
12	arccos x , x (−1;1)				−				dx
									1 − x2
13	arctg x								dx
							1 + x2
14	arcctg x					−			dx
									1 + x2

Таблица неопределенных интегралов ∫ f (x)dx = F (x)+C

№

∫ f (x)dx

F (x)+C

1

∫0dx

C

2

∫dx

x +C

3

∫x α dx

xα+1

+C

α +1

4

∫

dx

ln

x

+C

x

5

∫a x dx

a x

+C

ln a

5а

∫e x dx

e x +C

6

∫sin xdx

−cos x +C

7

∫cos xdx

sin x +C

8

∫

dx

tgx +C

cos2 x

9

∫

dx

- ctgx +C

sin 2 x

10

dx

1

x

∫a2 + x2

a arctg a +C

11

dx

1

x + a

∫a2 − x2

ln

+C

2a

x −a

12

∫

dx

x

a

2

− x

2

arcsin a +C

13

∫

dx

ln x + x2 −a2 +C

x2 −a 2

2

14

∫

dx

ln x + x2 + a2 +C

a2 + x2

15

dx

x

∫sin x

ln

tg

2

+C

16

∫

dx

ln

tg

x

+

π

+C

cos x

2

4

17

∫tgx dx

−ln

cos x

+C

18

∫ctgx dx

ln

sin x

+C

18

∫shx dx

chx +C

19

∫chx dx

shx +C

20

dx

thx +C

∫ch 2 x

21

dx

−cthx +C

∫sh 2 x

22

∫

a2 − x2 dx

x

a2 − x2

+

a2

arcsin

x

+C

2

2

a

23

∫ a2 + x2 dx

x

a

2

+x

2

+

a2

ln

x +

x

2

+a

2

+C

2

2

24

∫ x2 −a2 dx

x

2

2

a2

2

2

x

−a

−

ln

x +

x

−a

+C

2

2

25

∫ln x dx

x(ln x −1)+C

26

∫arcsin x dx

x arcsin x +

1− x2

+C

27

∫arccos x dx

x arccos x −

1 − x2

+C

28

∫arctg x dx

x arctg x

−

1

ln 1 + x2

)

+C

2

(

29

∫arcctg x dx

x arcctg x +

1

ln 1 + x

2

)

+C

2

(

30

∫

1

dx

1

x

+

1

arctg

x

+C

(x2 +a2 )2

2a2

x2 + a2

2a3

a

31

∫eax sin bx dx

a sin bx −b cos bx

eax +C

a2 +b2

32

∫eax cos bx dx

b sin bx + a cos bx eax

+C

a2 +b2

3

15.1. Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием.

∫

f (ax )dx = t = ax, x =

t

, dx =

1

dt =

1

∫

f (t )dt =

1

F (t )

+C =

1

F

(ax)+C ,

a

a

a

a

a

t

= x +b,

=∫ f (t )dt = F (t )+C

= F (x +b)+C ,

∫ f (x +b)dx = x =t −b,

dx = dt

t = ax +b,

dt

1

1

t

b

∫ f (ax +b)dx = x

=

−

,

= ∫ f (t )

=

F (t )+C =

F (ax +b)+C

a

a

a

a

a

1

dt

dx =

a

ПП15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.1.Непосредственное интегрирование

№ п/п

Задание

Ответ

∫

x

dx .

Найдите

1

ПП 15.№1.

РЕШЕНИЕ:

x1/ 2

+C

x−1/ 2dx = x1/ 2

1/ 2

∫

1 dx =

∫

+C .

x

1/ 2

Найдите ∫

x

2 dx

.

x

2

+4

РЕШЕНИЕ:

ПП 15.№2.

∫

x2dx

= ∫

x2 +4 −4

dx

=

x −2arctg

x

+C .

x2 +4

x2 +4

= ∫ dx −4∫

dx

= x −4

1

arctg

x

+C

=

2

x

2

+

4

2

2

= x −2arctg

x

+C.

2

Найдите ∫2x 32 x 53x dx .

РЕШЕНИЕ:

3 x

(2250)

x

ПП 15.№3.

∫2

x

2x

3x

dx

2

x

dx =

+C

3

5

= ∫(2 3

5 )

dx = ∫(2250)

ln 2250

=

(2250)x

+C.

ln 2250

4

Найдите ∫(x5 + x7 +8 x )dx .

РЕШЕНИЕ:

x6

x8

16x3/ 2

ПП 15.№4. ∫(x5 + x7 +8

x )dx =

x6

+

x8

+

8x3/ 2

+C =

+

+

+C

6

8

3

3/ 2

6

8

=x6 + x8 +16x3 / 2 +C.

6 8 3

Найдите ∫ sin2 xdxcos2 x . РЕШЕНИЕ:

Вычислим интеграл двумя способами и дифференцированием полученной первообразной убедимся, что ответ может быть представлен в различном виде.

1) ∫

dx

=

∫

sin2 x +cos2 x

dx

=

sin

2

x cos

2

x

sin

2

x cos

2

x

= ∫

dx

+

∫

dx

= tg x −ctg x +C;

2

x

2

x

cos

sin

∫

dx

= 4∫

dx

=

sin

2

x cos

2

x

sin

2

2x

2)

tg x −ctg x +C

d (2x)

ПП 15.№5. = 2∫

=−2ctg2x +C.

или

2

(2x)

sin

−2 ctg 2x +C .

Вычислим:

(tg x −ctg x +C)′ =

1

+

1

=

1)

cos2

x

sin2 x

1

;

=

cos2 x sin2 x

2)

2

4

′

−

(−2 ctg 2x +C)

=−2

2

=

2

=

sin

sin

2x

2x

=

1

.

cos2 x sin2 x

В правильности ответа всегда можно

убедиться.

5

Найдите ∫

dx

sin x +cos x

РЕШЕНИЕ:

π

dx

1

dx

= x +

1

x

π

ПП 15.№6.

t

,

+

+C

=

=

4

=

ln

tg

∫sin x +cos x

2 ∫

π

dt = dx

2

2

8

sin

x +

4

=

1

ln

tg

t

+C =

1

ln

tg

x

+

π

+C .

2

2

2

8

2

Найдите ∫

1+ x2 + 1−x2

dx .

1−x

4

РЕШЕНИЕ:

∫

1+ x2

+ 1−x2

dx =

arcsin x +

1−x4

ПП 15.№7.

+ln(x + 1+ x2 )+

= ∫

1+ x2

+ 1−x

2

dx

=

1−x

2

1+ x

2

+C

= ∫

dx

+∫

dx

=

1−x

2

1

+ x

2

=arcsin x +ln(x + 1+ x2 )+C.

1

+

2

Найдите ∫

2x

dx

2

2

)

x

(

1+ x

РЕШЕНИЕ:

1

+arctg x +C

ПП 15.№8.

∫

1+2x2

dx = ∫

1+x2 +x2

dx =

−

x

x2

1+x2

)

x

2

1+x2

)

(

(

= ∫

dx

+

∫

dx

=−

1

+arctg x +C.

2

1+x

2

x

x

Найдите ∫

dx

2x

2

+3

РЕШЕНИЕ:

1

2x

ПП 15.№9.

∫

dx

=

1

∫

dx

=

arctg

+C

2

6

3

2x2 +3

x2 +3/ 2

=

1

1

arctg

x

+C

=

1

arctg

2x

+C.

2

3/ 2

3/ 2

6

3

6

Найдите ∫

22x−1

−32x+3

dx

6

2 x

РЕШЕНИЕ:

22x−1 −32x+3

1

−2 x

−2 x

∫

dx =

3

−27 2

dx =

2 x

∫

6

2

1

−2 x

ПП 15.

−

3

−

1

1

x

x

4ln 3

1

№10.

=

∫

dx −27 ∫

dx =

27

−2 x

+C

2

9

1

4

1

−

2ln 2

2

1 1

x

1

x

=

−27

+C =

1

1

2 9

4

ln

ln

1

9

27

4

−2 x

−2 x

+C.

=−

3

−

2

4ln 3

2ln 2

15.2. Замена переменной в неопределенном интеграле (подстановка, подведение под знак дифференциала)

Замена переменной – один из самых эффективных приемов интегрирования. Этот прием основывается на следующей теореме.

Если

1)функция u =ϕ(x) определена и дифференцируема на некотором множестве {x}, а {u} – множество всех значений этой функции,

2)для функции f (u) существует на множестве {u} первообразная функции

F (u):

∫f (u)du = F (u)+C ,

то на множестве {x} для функции f ϕ(x) ϕ′(x) существует первообразная функция, равная F (ϕ(x)):

∫		( )
	f ϕ(x)	ϕ′(x)dx = F ϕ(x) +C	.

Множества {x} и {u} представляют собой отрезки, интервалы, полупрямые или прямые.

ПП15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

15.2.Замена переменной

№ п/п	Задание			Ответ
ПП 15.№11.	Найдите ∫ cos	x	dx .	7 sin	x	+C
	7			7

7

РЕШЕНИЕ:

x

dx

x

t =

dt =

∫

cos

dx =

7

7

=

7

dx =7 dt

=7∫cost dt =7 sin t +C =7 sin

x

+C.

7

Найдите ∫sin (8x −2)dx .

1 cos (8x −2)+C

ПП 15.№12.

РЕШЕНИЕ:

−

∫sin (8x −2)dx = −

1

cos (8x −2)

+C .

8

8

Найдите ∫

x4

dx .

3

+ x

5

РЕШЕНИЕ:

5

dt

=3 + x

2

t

,

5

ПП 15.№13.

x

4

4

5

3 + x

+C

∫

dx

=

=

∫

=

5

5

3 +x

dt = 5x dx,

t

4

dt

x dx =

5

=

1

∫t−1 / 2 dt =

1

t1 / 2

+ C =

2

3 + x5 + C.

5

5

5

1/ 2

Найдите ∫

3 ln2 x

dx .

РЕШЕНИЕ:

x

3

3

2

t =ln x,

5/ 3

ПП 15.№14.

ln

x

ln

x

+C

∫

dx

=

dx

=

∫

t

2 / 3

dt =

5

x

=

dt

x

t5 / 3

=

+C =

3 ln5 / 3

x +C.

5 / 3

5

Найдите ∫(2x +3)2 (1− x)8 dx .

РЕШЕНИЕ:

t =1 − x, x =1−t,

25

(1 − x)9 +

−

2

8

dx =

dx = −dt,

9

∫(2x +3)

(1 − x)

=

+2 1

− x

10

−

ПП 15.№15.

)

2x +3 = −2t +

5

(

−

4

(1 − x)11 + C

2

8

11

= −∫(5 −

2t )

dt

=

t

25

20

4

=−∫(25t8 −20t9 +4t10 )dt =−

t9 +

t10

−

t11

=

9

10

11

8

= −259 (1− x)9 +2(1− x)10 −

4

(1− x)11 +C .

11

Найдите ∫

xdx

.

x2 +1

РЕШЕНИЕ:

ПП 15.№16.

xdx

=

12 d (x2 +1)

= t

= x2

+1

=

12 ln (1+ x2 )+C

∫x2 +1

∫

x2 +1

{

}

=

1

∫

dt

=

1

ln

t

+C =

1

ln

(1+ x2 )+C

t

2

2

2

Найдите ∫

dx

.

1+cos x

РЕШЕНИЕ:

x = 2t,

x

dx

1

dx

x

dt

+C

ПП 15.№17.

∫

∫

∫

tg

=

= t =

,

=

=

2

1+cos x

2

2

x

2

cos

2

t

cos

2

dx

= 2dt

= tg t +C = tg

x

+C

2

Найдите ∫

5dxx −2 .

ПП 15.№18.

РЕШЕНИЕ:

2

5x −2 +C

∫

dx

= ∫

(5x −2)−1/ 2 dx =

1

∫(5x −2)−1/ 2 d(5x −2)=

5

5x −2

5

{t = 5x −2}=

1

∫t−1 / 2 dt

=

1

t1 / 2

+C

=

2

5x −2 +C .

5

5 1 / 2

5

Найдите ∫

sin x cos x dx .

РЕШЕНИЕ:

sin xd sin x = {t =sin x}

32

3

∫

sin x cos x dx =∫

ПП 15.№19.

(sin x)2 +C

1

3

+C = 2 (sin x)2

+C .

= ∫t 2 dt = 2 t 2

3

3

3

Найдите ∫tg x dx .

sin x

u =cos x

du

ПП 15.№20. ∫tg x dx = ∫

dx =

= −∫

=

−ln

cosx

+C

cos x

du = −sin x dx

u

= −ln

u

+C = −ln

cosx

+C .

9

Найдите ∫x

x −1 dx .

РЕШЕНИЕ:

t =

x −1,

x =t2 +1,

=∫(t2

+1) t 2t dt =

∫x x −1 dx =

ПП 15.№21.

dx =

2t dt

= 2∫(t4 +t2 )dt =

2

t5

+

2

t3 +C =

5

3

=

2

(x −1)5 +

2

(x −1)3 +C .

5

3

2		(x −1)5 +
5	2
+		(x −1)3 + C
	3

Найдите ∫1 −sin

x .

x

РЕШЕНИЕ:

∫1−sinx

x = ∫ 1x dx −∫sin x x dx .

1)

2)

ПП 15.№22.

1)

∫ 1

dx = ∫x−1/ 2dx = x1/ 2 +C ;

2 x +2cos

x +C

x

1/ 2

sin

x

x

= t,

2)

∫

dx =

dx

=

∫sin t 2dt =

x

dt

=

2 x

= −2 cos t + C = −2 cos

x + C .

∫

1 −sin

x

dx = 2

x + 2cos

x +C .

x

Найдите ∫

e x +e2 x

dx

1 −ex

РЕШЕНИЕ:

(1+ex )ex

ПП 15.№23.

∫

ex +e2 x

dx = ∫

dx =

t =ex ,

=

−e

x

−2 ln

e

x

−1

+C

dt =exdx

1−ex

1−ex

1+t

2

= ∫

dt

= −∫ 1+

dt = −{t +2ln

t −1

}+C =

1−t

t

−

1

= −ex −2 ln

ex −1

+C .

ln(arccos x)dx

−12 ln2 (arccos x)+C

ПП 15.№24.

Найдите

1 − x2

arccos x .

10