ПП 17. Комплексные числа.

Многочлены в комплексной области.

КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные определения и формулы

1.Комплексные числа

1.1. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Мнимая единица

.

Алгебраической формой комплексного числа называется выражение вида:

.

Действительное число называется действительной частью комплексного числа , действительное число называется мнимой частью .

Комплексное число , если и .

.

1.2. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексная плоскость:

Геометрическая интерпретация комплексного числа : точка

на комплексной плоскости или вектор .

Модуль комплексного числа:

Геометрический смысл модуля комплексного числа:

- расстояние от точки до начала координат;

- расстояние от точки до точки ;

- уравнение окружности с центром в точке и радиусом R;

- геометрическое место точек, равноудаленных от точек и .

Угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OX называется аргументом комплексного числа z:

_,

где – главное значение аргумента, .

Для числа аргумент не определён.

При этом аргумент комплексного числа определяется следующим образом:

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

,

т.к. , .

1.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа:

,

.

Получается из формулы Эйлера:

(будет доказана позже, при изучении теории рядов).

Свойства :

1⁰. - периодическая функция;

2⁰. - значения функции лежат на окружности ;

3⁰.

1.4. Действия над комплексными числами

, .

, если и .

, , , .

С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) изображающих их векторов.

В алгебраической форме:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

В тригонометрической форме:

1) ;

2) .

Действия возведения в степень и извлечения корня удобнее производить над комплексными числами, записанными в тригонометрической или показательной форме:

(формула Муавра)

,

где .

Корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений:

,

,

,

………………………

.

Числа имеют одинаковый модуль, значения корня будут изображаться точками на одной окружности.

В показательной форме:

1. ; 3) ;

2. ; 4), .

Формулы Эйлера

, ,

, ,так как .

Действия сложения и вычитания производятся только в алгебраической форме, действия умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, а тригонометрическая форма используется как переходная от алгебраической к показательной и наоборот.

1.5. Комплексное сопряжение

Комплексные числа и называются сопряженными.

В показательной форме: , .

Свойства операции сопряжения:

1°. ;

2°. тогда и только тогда, когда - действительное число;

3°. ,

4°. ,

5°. ,

6°. .

1.6. Свойства операций сложения и умножения:

1°. ,

2°. ,

3° ,

4°. ,

5°. .

2. Многочлены в комплексной области.

Корни многочлена

Многочлен: , При многочлен называется приведённым.

Рациональная дробь:

.

При дробь называется правильной,

при дробь называется неправильной.

Неправильную дробь всегда можно разложить на сумму многочлена и правильной дроби:

.

Корнем многочлена называют число , удовлетворяющее уравнению

Теорема Безу. Остаток, получаемый при делении на (z-a), равен

Следствие. Для того чтобы многочлен делился на выражение без остатка, необходимо и достаточно, чтобы число было корнем этого многочлена: .

Если , - корень кратности .

Основная теорема алгебры многочленов

Любой многочлен при имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).

Следствия:

1). Каждый многочлен имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

2). Всякий многочлен n-й степени разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при : . Для случая кратных (повторяющихся) корней формула принимает вид: , здесь – корни кратности , , .

Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами появляются сопряженными парами:

если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень кратности к, то он имеет и комплексно-сопряженный корень той же кратности.

Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:

, где .

Линейные множители соответствуют действительным корням кратности ; квадратичные множители

с действительными коэффициентами p, q и отрицательным дискриминантом соответствуют паре комплексно-сопряженных корней кратности .