ПП_17_Неопр_инт_3

ПП 17. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Интегрирование тригонометрических функций

1) ∫ sin2m+1 x cosn x dx =−∫ sin2m x cosn x d (cos x)

∫ sinm x cos2n+1 x dx = ∫ sinm x cos2n x d (sin x),

хотя бы одно из чисел m или n - нечетное положительное целое число.

				sin2 x +cos2 x =1
Например, ∫	sin3 x	dx = ∫	sin2 x		sin xdx = ∫	1−		cos2 x	d (cos x)
	4		4			4
	cos x		cos x				cos x

2)∫ sinm x cosn xdx ,

m и n – четные неотрицательные числа, m =2k , n =2l ,

k, l N .

cos2 x =

1+cos 2x

;

2

sin2 x =

1−cos 2x ;

2

sin xcos x =

sin 2x

.

2

sin2

2x 1+cos 2x

Например, ∫ sin

2

xcos

4

2

cos

2

x dx = ∫

dx

x dx = ∫(sin xcos x)

4

2

3)∫ cos αx cosβxdx , ∫ sin αx sin βxdx , ∫ sin αx cosβxdx

		cos α cos β =			1	cos (α − β)+ cos (α +		β)	;
					2
		sin α sin β =			1	cos (α	− β)− cos (α + β) ;
					2
		sin α cos β =			1	sin (α	− β)+ sin (α + β) .
					2
Например, ∫ cos 9x cos 5xdx =			1		∫(cos 4x +cos14x)dx
	2
4)	∫ sinm xcosn xdx ,

m +n является целым четным отрицательным числом m +n =−2k , k N ,

1

13

1

dx

1

dx

Например,

∫

sin

x cos−

x dx =

∫

tg

x

=

∫

tg

x 1+tg2 x

)

3

3

3

3

4

2

cos

x

(

cos

x

∫ tgm xdx , ∫ ctgm xdx ,

∫sin2m xcos2n xdx

1

dx

1

dx

d

tg x

)

cos

2

x

Например, ∫

= ∫

=

∫

(

1

2

x

1

sin

2

x

1

+tg

2

2

x

−5sin

−5

x −5tg

cos2 x

cos2 x

Из тригонометрии известно:

1+tg2 x =

1

= sec2 x,

cos2 x

1+ctg2 x =

1

=cosec2 x.

sin2

x

Введем новую переменную, тогда:

dx

=

dt

,

t = tgx,

1

+t2

dt =

dx

,

cos2 x =

1

,

cos2

x

1+t2

x =arctgt,

sin

2 x =

t

2

.

1

+t2

Аналогично:

t =ctgx,

dx dt =−sin2 x ,

x =arcctgt.

5)∫ sinm x cosn xdx ,

m, n Z , хотя бы одно из чисел m или n - отрицательное.

5.1) ∫ sin2 x dx cos3 x

(степень числителя на единицу меньше степени знаменателя) - по частям;

	sin	2			sin	2			dx
5.2) ∫			x	dx = ∫			x				= ∫ tg2 x d (tg x)
	cos		4		cos		2		2	x
			x				x cos

(степень числителя на две единицы меньше степени знаменателя) - сведение к tg x или ctg x ;

2

sin

2

x sin

2

x +cos

2

x

5.3) ∫

sin

x

dx = ∫

(

)

dx

cos

6 x

cos6 x

(степень числителя более, чем на две единицы, меньше степени знаменате-

ля) - сведение к tg x или ctg x

домножением на

(

x +cos2

x

)

sin2

4

sin

2

x 1−cos

2

x

2

2

(

)

sin

5.4) ∫

sin

x

dx = ∫

dx = ∫

x

dx −∫

sin

x

dx

cos

4

cos

4

x

cos

4

cos

2

x

x

x

(степень числителя больше или равна степени знаменателя) - сведение к tg x или ctg x

2

6)∫ R(sin x, cos x)dx ,

где R(sin x, cos x) – рациональная функция.

Универсальная тригонометрическая подстановка:

t = tg

x

,

x =2arctg t,

2

dx =

2dt

,

+t2

1

sin x

=

2t

, cos x

=

1−t2

.

1

+t2

1+t2

ПП 17.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Интегрирование тригонометрических функций

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 17 №1

3

Вычислите ∫

sin x

dx .

8

Решение:

cos

x

sin2

∫

sin3 x

dx = ∫

x sin x

dx

=

1

cos−7 x −

cos

8

x

cos

8

x

)

7

t =cos x,

1−t

2

(−dt)

1

−5

(

x

=

=

∫

=

−

cos

+

8

5

t

dt

=−sin x dx

−7

−5

+C.

=−∫t−8dt +∫t−6dt

=

t

+

t

+C =

−7

−5

= 71 cos−7 x − 15 cos−5 x +C.

ПП 17 №2

Вычислите ∫

sin x

dx

sin

2

x +1

Решение:

t =cos x,

sin x

∫

dx =

=

2

sin

x +1

dt

=−sin x dx

1

cos x + 2

=−∫

dt

dt

−

ln

+

1−t2 +1

=−∫ 2 −t2 =

2

2

cos x − 2

1

t + 2

+C.

=−

ln

+C =

2

t − 2

2

=−

1

ln

cos x + 2

+C.

2

cos x − 2

2

3

ПП 17 №3 Вычислите ∫sin6 2x dx
Решение:				3
	6	1−cos 4x
∫	sin 2x dx =	∫			dx =
		2

=18 ∫ 1−3cos 4x +3cos2 4x −cos3 4x dx =

=18 x − 83 ∫ cos 4x dx + 83 ∫ cos2 4x dx −

									I1									I2
−	1 ∫ cos3 4x dx .
	8						I3
I =− 3 sin 4x +C .
1				8				4					1									5			x −			1	sin 4x +
I	=	3					1+cos8x dx = 3										1 x +1		sin8x		+C . 16							8
			∫
2																					2
		8						2						8			2	2	8		+				3		sin8x +
				1
I3	=−						∫	cos2				4x cos 4x dx =											128
				8																					1			3		4x +C.
													t =sin 4x,								+					sin
																							96
									dt				=cos 4x 4dx
		1	∫			(			2	)	dt			1				t3
=−		8					1−t				4		=−				t −	+C =
															32			3
		1										sin 4x
					sin 4x −
=−														+C.
													3
		32

∫sin6 2x dx = I1 +I2 +I3 +18 x =

=18 x −834 sin 4x +163 x +1283 sin8x −

−321 sin 4x + 321 3 sin3 4x +C =

=165 x −18 sin 4x +1283 sin8x + 961 sin3 4x +C.

ПП 17 №4 Вычислите

∫

cos2

xsin4

x dx

1

sin 4x

x −

−

16

Решение:

4

1

∫ cos2 xsin4 x dx =

−

sin3 2x +

48

+C.

4

= ∫(sin x cos x)2 sin2 x dx =

	sin 2x 2			1−cos 2x
=					dx =
	∫			2
		2

=18 ∫(sin2 2x−sin2 2x cos2x)dx =

=1 ∫1−cos4x dx−1 sin3 2x = 8 2 8 6

1

sin 4x

1

3

=

x −

−

sin

2x

+C.

4

48

16

ПП 17 №5

Вычислите ∫ sin x sin 2x sin 3x dx

Решение:

∫sin x sin 2x sin 3x dx =

1

sin αsin β=

cos(α−β)−cos(α+β) ,

2

1

=

=

−

cos 2x −

8

(α−β)+sin(α+β)

sin αcosβ= 1 sin

1

2

−

cos 4x +

1

∫

16

=

2

cos(−x)−cos3x sin 3xdx

=

+

1

cos 6x +C.

=

1

∫sin 3xcos xdx −

1

∫ cos3xsin 3xdx =

24

2

2

= 14 ∫(sin 2x +sin 4x)dx −14 ∫ sin 6xdx =

=−

1 cos 2x −

1

cos 4x +

1

cos6x +C.

16

24

8

ПП 17 №6

Вычислите ∫

dx

cos x +sin x +1

Решение:

∫

dx

=

cos x +sin x +1

x

x

2dt

ln

1+tg

+C

t = tg

, dx =

,

2

2

1 +t

2

2

1

−t

cos x =

,

=

=

2

1 +t

2t

sin x =

1

+t2

5

2dt

= ∫

1 +t2

=

−t

2

2t

1 +t

2

1

+

+

2

2

2

+t

1

+t

1 +t

1

= ∫

2dt

x

=ln

1 +t

+C =ln

1 + tg

+C.

2 +2t

2

ПП 17 №7

Вычислите ∫

dx

3cos x +2

Решение:

∫

dx

=

3cos x +2

x

t = tg

,

2

2

1

−t

= cos x =

, =

1 +t

2

x

2dt

tg

+ 5

dx =

1

2

ln

+

1 +t

2

5

x

tg

− 5

2dt

2dt

2

= ∫

1 +t2

= ∫

=

+C.

3

1

−t

2

+2

1 +t

2

5 −t

2

1

+t2

1

+t2

=2

1

ln

t + 5

+C =

2 5

t − 5

1

tg

x

+ 5

=

ln

2

+C.

5

tg

x

− 5

2

ПП 17 №8

Вычислите ∫

dx

cos

4

x

Решение:

∫

dx

∫

(

2

x

)

dx

tgx +

4

=

2

=

cos

1 + tg

cos

x

x

+

1

tg3 x +

t = tgx

3

=

1

+t2

dt =

=

dx

)

∫

(

+C.

dt =

2

cos

x

=t +

t3

+C = tgx +

1

tg3 x +C.

3

3

6

ПП 17 №9

2

Вычислите ∫

sin x

dx

6

Решение:

cos

x

2

x

1

dx

∫

sin

dx

= ∫ tg2 x

=

1

3

x +

6

2

2

cos

x

cos

x

cos

x

3

tg

t = tgx

1

+

5

x

+

2

x

2

x

d (tgx)=

tg

= tg

1

+ tg

dx

=

∫

(

)

5

2

dt =

cos

+C.

∫

(

)

∫

(

x

t2

+t2

dt

t2 +t4

)

dt =

=

1

=

t3

t5

+C =

1

3

x +

1

5

x +C.

=

+

tg

tg

3

5

3

5

2.Интегрирование иррациональных функций

2.1.Интегралы вида

			m1 / n1		m2 / n2		mk / nk
		ax +b		ax +b		ax +b			dx ,
∫	R x,			,		,…,
		cx +d		cx +d		cx +d

	где R – рациональная функция указанных переменных, m1, n1, m2 , n2 ,…,							mk , nk
	– целые числа, вычисляются с помощью подстановки					ax +b	=ts , где s	– об-
						cx +d
	щий знаменатель дробей m1 ,	m2		mk
			,…,		.
	n	n		n
	1	2		k

2.2. Интегралы вида

∫ R(x, ax2 +bx + x )dx ,

где R(u,v) – рациональная функция, выделением полного квадрата под знаком

корня сводятся к одному из следующих типов и упрощаются с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:

							u =m tht,
1) ∫ R(u, m				)du – подстановка	u = msin t,
	2	−u	2		du = m cos tdt,	или	m dt
							du = ch2t	,
					m2 −u2 = m cos t		m2 −u2	=	m	;
									cht
∫ R(m sin t, m cos t)m cos tdt ;

7

2)∫ R(u, m2 +u2 )du – подстановка

∫ R m tgt, cosm t cosm dt2 t ;

u =m tgt,
du = m dt		,	или
cos2 t			m
m2 +u2	=
			cost

u =m sht, du =m chtdt,

m2 +u2 =m cht;

u =

m

,

cos t

u =m cht,

3) ∫ R(u,

u2 −m2 )du – подстановка

m sin t

du =

dt,

или

du =m shtdt,

cos2t

u2 −m2

= m tgt

u2 −m2 =m sht,

m

m sin t

∫

R

, m tgt

2

dt .

t

cos t

cos

Все интегралы принимают вид ∫ R(sin t, cost)dt

или ∫ R(sht, cht)dt .

2.3. Интегралы вида

dx

∫

, где p =1, 2 ,

(mx +n)p

ax2 +bx +c

сводятся к рассмотренным выше подстановкой mx + n =

1

.

t

ПП17. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.Интегрирование иррациональных функций

№ п/п

Задача

Ответ

−3 x+1

dx

Вычислите ∫ e

Решение:

1 / 3

=

t

(x +1)

,

3

−3 x+1

x+1

3

∫

−

dx

=

−3e

e

==

x

=t

−1,

2

dx =3t2 dt

(x

3

+1)

+

ПП 17 №10

−t

−t

3t

2

2

dt =

3

= ∫ e

dt =3∫ t

e

+2

x +1 +2

2

−t

+C.

u =t

dv = e

dt

=

=

−t

du = 2t dt v =−e

=3(−t2 e−t + 2∫ te−t dt)=

8

u

=t

−t

dv = e dt

=

=

−t

du

= dt v =−e

=−3t2 e−t +6(−te−t + ∫ e−t dt)=

=−3t2e−t −6te−t

(

)

+6

−e−t

+C

=

=−3e−

3

x+1

2

+2 3 x +1

+C.

3 (x +1)

+2

Вычислите ∫

dx

(x2 +

9)

3

Решение:

x =3 tgt,

3

dx =

dt,

2

dx

∫

3

2

cos t

2

=

=

3/ 2

(

(

3/ 2

2

(

)

=

))

(

x

)

x

+9

9 1+tg t

=

+9

3/ 2

9

27

=

2

=

3

x

3

cos t

cos

dt

1

x

ПП 17 №11 =∫

cos2 t

∫ cos tdt =

+

=

9 x2 +9

27

9

+C.

cos3 t

=19sint +C =19sin arctg 3x +C =

=19 tg arctg 3x cos arctg 3x +C =

=		1			x							1				+C =
		9	3					2						x
								1+tg				arctg
														3
=	x							1			+C =					x	+C.
		27						1+	x2				9		x2 +9
								9

9

	Вычислите ∫																											2x +1																			dx
																										2
	Решение:																							2x −3x −2
																																																2
																																							t =2x −3x−2,
										2x +1																															dt =(4x−3)dx
	∫																						dx =																																								=
							2
													−3x−2																																			1
							2x																																																				5
																																2x +1≡																			(4x−3)+
																																																2
																	4x−3																																				dx						2
	=		1				∫																							dx +								5					∫																	.
			2												2																																				2
													2x −3x−2																					2														2x					−3x−2
																	I1																																		I2
	I													= 1			dt								= 1		t1 / 2					= 2x2 −3x −2 +C .
		1
							2				∫						t			2 1/ 2																																							1
	I2 =							5												dx														=			5																dx									=
								2 ∫							2																						2 ∫																	3
																	2x		−3x −2																												2 x2 −										x	−1
																																																							2
															выделяемполныйквадрат
															изподкоренноговыражения
ПП 17 №12							5																					dx
													∫
	=																																																	=
			2				2																			2								3						2
																										3
																	x −													−
																																									−1
																										4								4
																																																						3
							5																	dx																				t				= x −								,
													∫
	=																																									=												4				=
																										2
			2				2
																																		25														dt = dx
																	x			−				3						−
																																		16
																								4
	=						5						∫							dt												=
			2				2																			2
																	t		2							5
																				−
																										4
					5																										25								+C
	=												ln				t + t2 −																															=
			2				2																							16										2
							5															3				+ x2 −																3
	=												ln				x −																											x −1								+C2 .
			2				2
																				4																				2
	∫										2x +1															dx =
							2x2 −3x −2

2x2 −3x−2 +

+		5	ln	x−	3	+
		2			4
2

+ x2 −23 x−1 +C.

10