Курсовая Начертательная геометрия

но фронтальной проекции фронтали C212.

(D1F1 A121; D2F2 C212).

2. Определим точку пересечения построенного перпендикуляра DF с плоскостью треугольника АВС. Для этого перпендикуляр DF заключаем во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость . Находим линию пересечения плоскости треугольника АВС и вспомогательной плоскости – прямую MН.

3.Определим точку К, точку пересечения прямой

MН с перпендикуляром DF; это и есть искомая точка

пересечения

перпендикуляра

DF

с

плоскостью

треугольника ABC.

4.Определим натуральную величину отрезка DК

(расстояния от точки D до плоскости треугольника АВС)

способом прямоугольного треугольника. В качестве одного катета треугольника выбираем фронтальную проекцию перпендикуляра D2K2, вторым катетом будет отрезок YDK, равный разности координат Y точек D и K.

5.Видимость проекций перпендикуляра DK

определим, используя конкурирующие точки. Точка пересечения всегда видима и является границей видимости.

31

На фронтальной плоскости проекций рассмотрим конкурирующих точки Р и Н, принадлежащие скрещивающимся прямым DF и CB. Точка P принадлежит

DF, точка H принадлежит CB.

Координата Y точки Н больше координаты Y точки P,

следовательно, точка H расположена от фронтальной плоскости проекций дальше, чем точка Р. На фронтальной плоскости проекций сторона треугольника CB видима, DK

невидима. На горизонтальной плоскости проекций рассмотрим конкурирующие точки 3 и 4, принадлежащие скрещивающимся прямым CB и DK. Точка 4 принадлежит прямой DK, точка 3 принадлежит стороне треугольника

СВ. Координата Z точки 3 больше координаты Z точки 4,

следовательно, точка 3 расположена выше точки 4. На горизонтальной плоскости проекций сторона треугольника

CB видима, прямая DK невидима.

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ

ПЛОСКОСТЕЙ

Задание 1.2. Построить плоскость DEF,

перпендикулярную треугольнику ABC (позиционная

задача)

32

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Алгоритм решения задачи:

1. Строим плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС, используя заданную прямую

DE и построенный в предыдущей задаче перпендикуляр

DF.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии пересечения необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие двум плоскостям.

Точка К принадлежит треугольнику ABC и треугольнику

DEF. Вторую точку N определяем, используя алгоритм нахождения точки пересечения прямой DE с плоскостью

ABC, как в задании 1.1. Линия пересечения плоскостей прямая KN всегда видима.

2. Определим видимость пересекающихся плоскостей. Видимость плоскостей определяется с помощью конкурирующих точек или используя видимость отрезка DF (см. задачу 1.1). Зная видимость стороны DF,

можно определить видимость остальных сторон треугольников.

33

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ

ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ

Задание 2.1. Построить проекции сечения комбинированной поверхности плоскостью

(позиционная задача)

Сечение поверхности плоскостью – это плоская фигура все точки которой одновременно принадлежат поверхности и плоскости.

При построении проекций точек линии сечения используют способ вспомогательных секущих плоскостей:

проводят вспомогательные плоскости-посредники,

которые пересекают поверхность по простым сечениям

(окружность, прямоугольник, треугольник); строят несколько сечений; искомые точки, принадлежащие поверхности и заданной плоскости α, определяющие контур сечения, находятся на проекциях сечений поверхности вспомогательными плоскостями-

посредниками.

Алгоритм решения задачи:

1. Заданная комбинированная фигура состоит из четырехугольной призмы и цилиндра. Призма и цилиндр – горизонтально-проецирующие поверхности. Плоскость является фронтально проецирующей, поэтому

34

фронтальная проекция сечения (12 – 52) поверхностей совпадает с фронтальным следом плоскости α.. Построим горизонтальную и профильную проекции сечения.

2. Горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальными проекциями поверхностей, так как в представленном примере они горизонтально-

проецирующие.

3.Точки пересечения фронтального следа плоскости и очерков поверхностей определяют характерные точки сечения 12; 32; 52.

4.Сечение призмы плоскостью –

пятиугольник. Характерные точки сечения – точки пересечения плоскости α с ребрами призмы (т. 1, 2) и

точка, лежащая в основании призмы (т.3). Промежуточные точки для построения пятиугольника не нужны.

5.Сечение цилиндра плоскостью – эллипс.

Фронтальная проекция эллипса (отрезок 32 – 52)

принадлежит фронтальному следу плоскости.

Горизонтальная проекция точек сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Профильную проекцию эллипса строим в проекционной связи с горизонтальной и фронтальной проекциями.

35

Задание 2.2. Построить натуральную величину

сечения поверхности плоскостью (метрическая задача)

Натуральную величину сечения строим способом плоско параллельного перемещения. При этом способе все точки сечения перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости проекций, без изменения вида и размеров геометрического объекта.

Геометрический объект – сечение поверхности,

перемещается из положения перпендикулярного фронтальной плоскости проекций в положение параллельное горизонтальной плоскости проекций.

Плоскость преобразуем в горизонтальную плоскость уровня, для этого располагаем фронтальную проекцию сечения параллельно оси OX, не изменяя величину проекции. Координаты Y точек, принадлежащих сечению, не меняются, т. к. точки перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций.

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Задание 3.1. Построить линии пересечения

заданных поверхностей способом вспомогательных

секущих плоскостей (позиционная задача)

36

Заданная фигура состоит из сферы, цилиндра прямого кругового и конуса прямого кругового.

1. Цилиндр – поверхность вращения с прямолинейной образующей. Ось вращения цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1, все его образующие являются горизонтально проецирующими прямыми, поэтому линия пересечения цилиндра со сферой на горизонтальной плоскости проекций совпадает с очерком цилиндра.

Конус – поверхность вращения с прямолинейной образующей, которая пересекает ось вращения в постоянной точке. Ось вращения конуса перпендикулярна профильной плоскости проекций.

Сфера – нелинейчатая поверхность вращения,

образующей является окружность.

2. Линия пересечения цилиндра и сферы – пространственная кривая четвертого порядка.

Характерными точками линии пересечения цилиндра и сферы, являются:

точка пересечения очерков поверхностей на фронтальной плоскости – точка 1 (принадлежит главному меридиану сферы);

37

точка пересечения очерков поверхностей на горизонтальной плоскости – точка 4 (принадлежит экватору сферу);

самая ближняя 3 и самая удаленная 31 по отношению к наблюдателю точки линии пересечения.

3. Линия пересечения цилиндра и сферы на горизонтальной плоскости совпадает с очерком цилиндра,

для построения фронтальной проекции линии пересечения сферы и цилиндра проводим вспомогательные фронтальные секущие плоскости α, β, γ, α1 которые пересекают цилиндр по прямоугольникам, а сферу по окружности.

Прямоугольник и окружность проецируются в натуральную величину на фронтальную плоскость проекций и пересекаются в точках (1, 2, 3, 4 и т.д.), принадлежащих линии пересечения сферы и цилиндра

Профильную проекцию линии пересечения цилиндра

исферы строим в проекционной связи по горизонтальной

ифронтальной проекциям. На фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций линия пересечения видима, на профильной плоскости проекций не видима.

4.Линия пересечения конуса и сферы пространственная кривая четвертого порядка.

38

Характерными точками линии пересечения сферы и конуса являются точки пересечения очерков поверхностей на фронтальной плоскости проекций: точки 5 и 6.

5.Для построения промежуточных точек 7, 8, 9

проводим вспомогательные профильные секущие плоскости μ, υ, τ, которые пересекают сферу и конус по окружностям. Радиусы окружностей – расстояние от оси вращения поверхности до очерка поверхности.

Окружности проецируются в натуральную величину на профильную плоскость проекций. Точки пересечения окружностей – искомые точки линии пересечения поверхностей. Для построения фронтальных проекций точек 7, 8, 9 проводим горизонтальные линии связи до фронтальных проекции секущих плоскостей μп2, υп2, τп2.

Горизонтальную проекцию линии пересечения конуса и сферы строим в проекционной связи по фронтальной и профильной проекциям.

На фронтальной плоскости проекций линия пересечения видима. На профильной и горизонтальной плоскостях проекций линия невидима.

39

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ

ПОВЕРХНОСТИ Задание 4.1. Построить линию пересечения

поверхностей способом вспомогательных концентрических сфер (позиционная задача)

1.В условии задачи заданы поверхности:

самопересекающийся тор с профильно-проецирующей осью вращения и конус круговой усеченный.

2. Обе поверхности являются поверхностями вращения, оси вращения поверхностей пересекаются в точке О и лежат в одной плоскости. Эта плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций и является плоскостью симметрии для заданных поверхностей.

Следовательно, задачу можно решить способом концентрических вспомогательных сфер.

Линия пересечения поверхностей вращения – пространственная кривая четвертого порядка.

3.Точки пересечения очерков поверхностей А и

D принадлежат линии пересечения поверхностей, т. к.

очерки располагаются в одной плоскости и являются характерными точками линии пересечения.

40