Высшая математика Часть 2

Написать уравнение прямой, проходящей

7x −3y −1 = 0 ,

7

1.154

через точку M0 (1,2) и удаленной от точки

19x −3y −13 = 0

A(−2,−5)

вдвое дальше, чем от точки B(1,8).

Написать уравнение прямой, проходящей на

3x − y −1 = 0 ,

8

1.155

расстоянии 10 от точки A(5,4)

3x − y − 21 = 0

перпендикулярно прямой 2x + 6 y −3 = 0 .

Из точки M (5,4) выходит луч света под

y − 2x + 6 = 0 ,

9

1.157

углом ϕ = arctg 2 к оси Ох и отражается от

y + 2x −6 = 0

нее. Написать уравнения падающего и

отраженного лучей.

В уравнении прямой 4x + λy − 20 = 0

10

1.159

подобрать λ так, чтобы угол между этой

20, -4/5.

прямой и прямой 2x −3y + 6 = 0 равнялся 45°.

Написать уравнение прямой, параллельной

двум заданным прямым L1 и L2 и проходящей

11

1.163 а

посередине между ними, если

3x − 2 y −7 = 0 .

L :

3x − 2 y −1 = 0 ,

1

x −1

y +5

L :

=

.

2

2

3

АВ: 3x + 4 y +1 = 0 ,

Точка A(5, −4) является вершиной

ВС: 4x −3y −7 = 0 ,

квадрата, диагональ которого лежит на

12

1.167

CD: 3x + 4 y − 24 = 0 ,

прямой x −7 y −8 = 0 . Написать

уравнение сторон и второй диагонали

АD: 4x −3y −32 = 0 ,

этого квадрата.

АС: 7x + y −31 = 0 .

а). Доказать, что точка Н пересечения высот треугольника лежит на одной прямой с точкой М пересечения его медиан и с центром N описанной окружности.

13 1.178 б). Проверить утверждение пункта а) для	б) λ = −2 / 3 .
треугольника с вершинами в точках A(5,8),
B(−2,9), C (−4,5). Определить, в каком
отношении λ точка Н делит направленный
JJJJG
отрезок MN .

111

ДЗ № 4. Кривые на плоскости

	№ № по	Задание
	п/п Еф.
	1.219	Установить, какая кривая

1определяется уравнением x + y = 0 и построить ее.

1.Установить, какая кривая

2220 определяется уравнением

x+ y − x = 0 и построить ее.

1.221	Установить, какая кривая
3	определяется уравнением x2 − xy = 0 и
	построить ее.
1.222	Установить, какая кривая
4	определяется уравнением xy + y2 = 0
	и построить ее.
1.223	Установить, какая кривая
5	определяется уравнением x2 − y2 = 0
	и построить ее.
1.224	Установить, какая кривая
6	определяется уравнением xy = 0 и
	построить ее.
1.225	Установить, какая кривая
7	определяется уравнением y2 −9 = 0 и
	построить ее.
1.226	Установить, какая кривая
8	определяется уравнением
	x2 − x −6 = 0 и построить ее.
1.227	Установить, какая кривая

9определяется уравнением

x2 y −7xy +10 y = 0 и построить ее.

1.228 Установить, какая кривая

10 определяется уравнением x2 + y2 = 4 и построить ее.

1.229 Установить, какая кривая

11определяется уравнением

x2 +(y +3)2 =1 и построить ее.

1.230 Установить, какая кривая

12определяется уравнением x2 + 2 y2 = 0

ипостроить ее.

131.231 Установить, какая кривая

Ответ

Прямые, x − y = 0 , x + y = 0 при x ≤ 0

Прямые y = 2x, x ≤ 0 , y = 0, x > 0

Прямые x = 0 , x − y = 0

Прямые y = 0 , x + y = 0

Прямые x − y = 0 , x + y = 0

Прямые x = 0 , y = 0

Прямые y = ±3

Прямые x = −2 , x = 3

Прямые y = 0 , x = 2 , x = 5

Окружность радиуса R = 2 с центром в начале координат

Окружность радиуса R = 1 с центром в точке C (0,−3)

Начало координат

Пустое множество

112

определяется уравнением

2x2 + y2 + 2 = 0 и построить ее.

1.232 Установить, какая кривая

14определяется уравнением

x2 + y2 −1 = 0 и построить ее.

1.238	Написать уравнение кривой, сумма
15	расстояний от каждой точки которой
	до точек F1 (−2,0) и F2 (2,0) равна
	2 5 .
1.239	Написать уравнение кривой, модуль
16	разности расстояний от каждой точки
	которой до точек F1 (−2, −2) и F2 (2,2)
	равен 4.
1.243	Написать уравнение диаметра
	окружности x2 + y2 + 4x −6 y −17 = 0 ,

17перпендикулярного прямой

5x + 2 y −13 = 0 .

1.244 а Вычислить кратчайшее расстояние от

18 точки M0 до окружности Г, если

M0 (6,−8), Г: x2 + y2 = 9 .

1.245а, Определить, как расположена прямая б,в относительно окружности –

пересекает, касается или проходит вне ее, если прямая и окружность заданы уравнениями:

19а) 2x − y −3 = 0 ,

x2 + y2 −3x + 2 y −3 = 0 ;

б) x − 2 y −1 = 0 ,

x2 + y2 −8x + 2 y +12 = 0 ;

в) x − y +10 = 0 , x2 + y2 −1 = 0 .

1.246 Построить эллипс 9x2 + 25y2 = 225 .

20Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет.

		1.249 а Установить, что уравнение
	21	5x2 +9 y2 −30x +18y +9 = 0
		определяет эллипс, найти его центр С,
		полуоси, эксцентриситет.

Точки (0,±1)

x2 + y2 =1 5

xy = 2

2x −5 y +19 = 0

7

а) пересекает б) касается

в) проходит вне окружности

а) а =5, b = 3; б) F1 (−4,0), F2 (4,0); в) e = 54 .

C (3,−1), а = 3, b = 5 , е = 2/3.

113

1.256 Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает,

а,б,в касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы двумя уравнениями:

22

а) 2x − y −3 = 0

x2

y2

, 16

+ 9 =1;

б) 2x + y −10 =

0 ,

x2

+

y2

=1;

9

4

в) 3x + 2 y − 20 = 0 ,

x2

+

y2

=1.

40

10

1.265 Построить гиперболу

16x2 −9 y2 =144 . Найти:

23

а) полуоси;

б) координаты фокусов;

в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот.

1.269а Установить, что уравнение

16x2 −9 y2 −64x −54 y −161 = 0

24определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот.

1.285 Построить следующие параболы и найти их параметры:

25	а)	y2		= 6x ;
	б)	x	2	= 5y ;
	в)	y2		= −4x ;
	г)	x2 = −y .
1.286	Написать уравнение параболы с
а,б,в	вершиной в начале координат, если
	известно, что:
	а) парабола расположена в левой
	полуплоскости симметрично

26относительно оси Ох и p = 12 ;

б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точкуM (4,−8);

в) фокус параболы находится в точке

F (0,−3).

а) прямая пересекает эллипс

б) проходит вне эллипса

в) касается эллипса

а) а = 3, b = 4;

б) F1 (−5,0), F2 (5,0); в) e = 53 ;

г) y = ± 43 x .

C (2,−3), а = 3, b = 4,

е = 5/3,

уравнения асимптот: 4x −3y −17 = 0 и

4x +3y +1 = 0 .

а) р = 3; б) р = 5/2; в) р = 2; г) р = 1/2.

а) y2 = −x ;

б) x2 = −2 y ;

в) x2 = −12 y

114

1.288 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р:

а)

y2 = 4x −8 ;

а) А(2,0), р = 2;

б)

x2 = 2 − y ;

б) А(0,2), р = 1/2;

27

в) y = 4x2 −8x + 7 ;

в) А(1,3), р = 1/8;

г)

y = −

1 x2

+ 2x −7 ;

г) А(6,-1), р = 3;

6

д) А(1,2), р = 2;

д)

x = −

1 y2

+ y ;

4

е) А(-4,3), р = ¼.

е) x = 2 y2 −12 y +14 .

tgϕ =1

28

1.299

Записать уравнение кривой y = x в

полярных координатах.

ρsinϕ =1

29

1.300

Записать уравнение кривой y =1 в

полярных координатах.

π

1

30

1.301

Записать уравнение кривой

ρcos

ϕ −

=

x + y −1 = 0 в полярных координатах.

4

2

ρ = a

31

1.302

Записать уравнение кривой

x2 + y2 = a2

в полярных координатах.

32

1.303

Записать уравнение кривой

ρ

2

=

a2

x2 − y2 = a2

в полярных координатах.

cos 2ϕ

ρ = acosϕ

33

1.304

Записать уравнение кривой

x2 + y2 = ax в полярных координатах.

34

1.305

Записать уравнение кривой ρ = 5 в

Окружность x2 + y2 = 25

декартовых прямоугольных

координатах и построить ее.

Прямая y = −x

1.306

Записать уравнение кривой tgϕ = −1 в

35декартовых прямоугольных координатах и построить ее.

1.307 Записать уравнение кривой ρcosϕ = 2 в

Прямая x = 2

36декартовых прямоугольных координатах и построить ее.

1.308 Записать уравнение кривой ρsinϕ =1 в

Прямая y =1

37декартовых прямоугольных координатах и построить ее.

1.311	Записать уравнение кривой ρ = 2a cosϕ в	Окружность
38	декартовых прямоугольных координатах и	(x −a)2 + y2 = a2
	построить ее.

115

1.312	Записать уравнение кривой
39	ρ = 2asinϕ в декартовых
	прямоугольных координатах и
	построить ее.
1.313	Записать уравнение кривой sinϕ =						1
40							5
	в декартовых прямоугольных
	координатах и построить ее.
1.324	Написать канонические уравнения
	следующих кривых 2-го порядка:
	а) ρ =	9			;
41			5 − 4cosϕ
	б) ρ =	9				;
			4 −5cosϕ
	в) ρ =	3		.
			1 −cosϕ
	Какая линия задается уравнением
42	ρ = 1 – cosϕ ?

Какая линия задается уравнением

ρ = 1 + sinϕ ?

43

1.332	Исключением параметра t найти
44	уравнение кривой x = −1 + 2t ,
	y = 2 −t , t (−∞,+∞), в виде
	F (x, y)= 0 и построить ее.
1.333	Исключением параметра t найти
45	уравнение кривой x = t2 − 2t +1,
	y =t −1, t (−∞,+∞), в виде
	F (x, y)= 0 и построить ее.
1.334	Исключением параметра t найти
46	уравнение кривой x = −1 + 2cost ,
	y = 3 + 2sin t , t [0,2π ), в виде
	F (x, y)= 0 и построить ее.

Окружность x2 +(y − a)2 = a2

Пара лучей x = ±2 y , y ≥ 0

а) x2 + y2 =1 эллипс; 25 9

б) x2 − y2 =1 правая ветвь

16 9

гиперболы;

в) y2 = 6x парабола.

Прямая x + 2 y −3 = 0

Парабола y2 = x

Окружность

(x +1)2 +(y −3)2 = 4

116

		1.335	Исключением параметра t найти	2			2
			уравнение кривой x = a cost ,	Эллипс	x		+	y	=1
					2			2
	47		y = bsin t , t [0,2π ), в виде		a			b
			F (x, y) = 0 и построить ее.
			ДЗ № 5. Поверхности в пространстве
				Плоскость z = −5,
	1.344		Установить, какой геометрический
1			образ определяется уравнением	параллельная плоскости
			z +5 = 0 .	Оху
	1.345		Установить, какой геометрический	Плоскость с нормальным
2			образ определяется уравнением		G			−
			x − 2 y + z −1 = 0 .	вектором n			(1, 2,1)
				Сфера радиуса R = 2 с
	1.346		Установить, какой геометрический
3			образ определяется уравнением	центром в начале
			x2 + y2 + z2 = 4 .	координат
				Сфера радиуса R = 4 с
	1.347		Установить, какой геометрический
4			образ определяется уравнением	центром в точке
			(x − 2)2 + y2 +(z +1)2 =16 .	C (2,0, −1)
				Начало координат
	1.348		Установить, какой геометрический

5образ определяется уравнением

2x2 + y2 +3z2 = 0 .

1.349	Установить, какой геометрический	Ось Оу
6	образ определяется уравнением
	x2 + 4z2 = 0 .	Пустое множество
1.350	Установить, какой геометрический

7образ определяется уравнением

x2 + 2 y2 + 2z2 + 7 = 0 .

	1.351	Установить, какой геометрический	Пара пересекающихся
	8	образ определяется уравнением	плоскостей x − 2z = 0 и
		x2 − 4z2 = 0 .	x + 2z = 0 , параллельных
			оси Оу
	1.352	Установить, какой геометрический	Пара координатных
	9	образ определяется уравнением	плоскостей Оуz и Oxy
		xz = 0 .	Тройка координатных
	1.353	Установить, какой геометрический
	10	образ определяется уравнением	плоскостей
		xyz = 0 .
			Пара плоскостей x = 0 и
	1.354	Установить, какой геометрический
	11	образ определяется уравнением	x = 4
		x2 − 4x = 0 .

117

1.355 Установить, какой геометрический

12образ определяется уравнением xy − y2 = 0 .

1.361	Составить уравнение сферы в каждом
а,в,г,д	из следующих случаев (обозначено:
	С – центр сферы, R – радиус, M , M1 ,
	M2 , M3 - точки на сфере):
	а) C (−1,2,0), R = 2;

13в) M1 (2, −3,5) и M2 (4,1, −3) - концы

диаметра сферы;

г) C (3, −5, −2), плоскость

		2x − y −3z +11 = 0 касается сферы;
		д) M1 (3,1, −3), M2 (−2,4,1),
			M2 (−5,0,0), C P : 2x + y − z +3 = 0.
	1.372	Установить тип поверхности
14			x2	+		y2		+			z	2		=1 и построить ее.
		9				4				25
	1.373	Установить тип поверхности
15			x2	+		y2		−			z	2		=1 и построить ее.
		16				4				36
16	1.374	Установить тип поверхности
			x2 + y2 − z2 = −1 и построить ее.
17	1.375	Установить тип поверхности
			x2 − y2 = z2										и построить ее.
18	1.376	Установить тип поверхности
			x2 + y2 = 2az , a ≠ 0 , и построить ее.
19	1.377	Установить тип поверхности
			x2 − y2 = 2az , a ≠ 0 , и построить ее.
	1.378	Установить тип поверхности
20		2z = x					2	+		y2				и построить ее.
										2
21	1.379	Установить тип поверхности x2 = 2az ,
		a ≠ 0 , и построить ее.
22	1.380	Установить тип поверхности
			z = 2 + x2 + y2 и построить ее.
	1.381	Установить тип поверхности
23			x2	−		y2		= 6z и построить ее.
		5				4

Пара плоскостей y = 0 и y = x

а)(x +1)2 +(y − 2)2 + z2 = 4;

в)(x −3)2 +(y +1)2 +(z −1)2 = 21;

г)(x −3)2 +(y +5)2 +(z + 2)2 = 56 ;

д)(x −1)2 +(y + 2)2 +(z −3)2 = 49 .

Эллипсоид

Однополостный

гиперболоид

Двуполостный гиперболоид вращения

Конус

Параболоид вращения

Гиперболический

параболоид

Эллиптический

параболоид

Параболический цилиндр

Параболоид вращения с вершиной (0,0,2)

Гиперболический

параболоид

118

24	1.382	Установить тип поверхности
		x2 + y2 − z2 = 4 и построить ее.
25	1.383	Установить тип поверхности
		x2 − y2 + z2 + 4 = 0 и построить ее.
26	1.393	Построить цилиндрическую
		поверхность y2 + z2 = 4 .
	1.394	Построить цилиндрическую
27		поверхность		x2	−	y	2		=1.
			16			9
28	1.395	Построить цилиндрическую
		поверхность x2 + y2 = ax .
29	1.396	Построить цилиндрическую
		поверхность x2 = 6z .
30	1.397	Построить цилиндрическую
		поверхность z = 4 − x2 .
31	1.398	Построить цилиндрическую
		поверхность x2 − xy = 0 .
32	1.399	Построить цилиндрическую
		поверхность x2 − z2 = 0 .
33	1.400	Построить цилиндрическую
		поверхность y2 + 2z2 = 0 .
34	1.401	Построить цилиндрическую
		поверхность xz = 4 .
35	1.402	Построить цилиндрическую
		поверхность y2 + z2 = −z .

Однополостный гиперболоид вращения

Двуполостный гиперболоид вращения

119

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 2

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург

2010

120