Высшая математика Часть 2

Вариант 21

1.Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из

JJJG JJJG JJJG	JJG
векторов OA, OB, OC	найти координаты вектора OK , если К –

середина стороны AD.

2.Найти направляющие косинусы вектора a ={1; − 2; 2}.

G G G G

3.Составляют ли векторы a ={−1; −1; −1}, b ={−2; −1; 3}, c = a, b

ортогональный базис трехмерного пространства?

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины А (1; -2), В (-9; 3), С (-5; -5).

5.	Постройте кривую x = −2 − 15 − y2 + 2 y.

6.Приведите кривую 6x2 −4 3 xy +10 y2 +1 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (2;−1;1) относительно плоскости P : x − y + 2z − 2 = 0.

8.Точка M (2;1;−3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9.Найдите проекцию точки М (2;1;0) на плоскость P: y + z + 2 = 0.

10.Докажите, что прямая L : 1x = y−−22 = 1z лежит в плоскости

x− y −3z + 2 = 0 .

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (1;-2;0) и радиус R = 3.

	12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	x2	+	y2	−	z2	=1
			9		25		4

с координатными плоскостями.

141

Вариант 22

1.В плоскости треугольника АВС найдите точку О такую, что

OA +OB +OC = 0 . Существуют ли такие точки вне плоскости треугольникаG G?

2.	Векторы a иb неколлинеарны. При каких значениях скалярной
	G	G	G
	величины λ векторы λa +b	и 3a + λb коллинеарны?

3.Образуют ли базис в пространстве векторы {1; 0; 0},

		1		1				−	1		1
	0;		;			,	0;			;			? Будет ли он ортонормированным?
		2		2					2		2

4.Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны уравнения трех его сторон AC : x − 2 y −3 = 0 ; AB : x + 2 y +5 = 0 ;

BC : 2x + y +19 = 0 .

	5.	Постройте кривую	y = 2 −	4	24 − x2 − 2x.
				5

6.Приведите кривую 5x2 − 2 3 xy +3y2 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (1;1;1) относительно плоскости

P : x + 4 y +3z +5 = 0.

8.Укажите значение λ, при котором плоскости P1 : λx −3y + 2z +5 = 0 и P2 : 3x + 3y −3z −8 = 0 будут перпендикулярны.

9.Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 2x − y +3z − 4 = 0 с плоскостью, проходящей через ось абсцисс и

точку A(−2;−1;3).

	10.	Найдите точки пересечения прямой	x + y + z − 2 = 0,
			L :
		с координатными плоскостями.	x − y −3z + 6 = 0
	11.	Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
		C (2;-1;3) и точки M (0;1;2) на сфере.			x2		y2		z2
	12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности				+		+		=1
				16			4		9

с координатными плоскостями.

142

Вариант 23

1.Даны 3 точки A(x1; y1; z2 ), B(x2 ; y2 ; z2 ), C (x3; y3; z3 ), не лежащие на

одной прямой. Найдите координаты точки пересечения медиан

треугольника АВС.

G

2.НайдитеG G GнаправляющиеG G G G косинусыG вектора a − 2b , если

=2i +3 j + 4k, bG= iG+ jG+ k .G G G G G

3.Вычислите: 1) a +b, 2a + 2b) (3a +3b, 4a + 4b) ;

2)	G G G G	G G G G	.
	[[a +b, 2a + 2b], [3a +3b, 4a + 4b]]

4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А(1; 2), В(21; -8) и точка К(13; 8) пересечения его высот.

	5.	Постройте кривую x = 2 −	4	y2 + 2 y +10.
			3

6.Приведите кривую 11x2 + 2 3 xy +9 y2 −1 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (1;2;3) относительно плоскости P : 2x +10 y +10z −1 = 0.

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x + 2 y − 2z +1 = 0,

3x − 2 y +3z + 4 = 0.

9.	x +5y + 2z +5 = 0,		пересекает ось ординат.
	Докажите, что прямая L :	x − y − z −1 = 0

10. Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 3x −5y + z − 4 = 0 с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 (1;−2;5) и M2 (3;−2;−1) - концы ее диаметра.

12. Найти уравнения линий пересечения поверхности x2 − y2 − z2 = −1 25 16 9

с координатными плоскостями.

143

Вариант 24

1.В трапеции ABCD длины оснований AD и BC относятся как 4 : 1. JJG

	Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы AD
	JJJG
	и AB , найдите координаты вершин трапеции и точки S пересечения
	боковых сторон.					G G	G G
2.
	Найдите единичный вектор, сонаправленный вектору a = 2i						+3 j + 6k .
3.			JG	JG		, если известно, что
	Какой угол образуют единичные векторы c и			d
	G G JG	G JG	0		0
	векторы a =3c −4d и b = c + d ортогональны?

4.Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон AC : x − 2 y +5 = 0 , AB : x + 2 y −3 = 0 и двух высот:

	2x − 4 y +10 = 0, 2x − y −14 = 0.
5.	Постройте кривую x = 2 −5 −y.

6.Приведите кривую 9x2 +2 3 xy +11y2 +1 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (0;−3;−2) относительно плоскости P : 2x +10 y +10z −1 = 0.

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку

M (1;-1;4) перпендикулярно к двум плоскостям: x + 2 y − z +5 = 0, и

y + x = 0.

9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

1x = y−−23 = z −0 2 перпендикулярно к плоскости 3x + y − 2z = 0.

10.Найдите угол между прямыми L1 : −x7 = y11 = −z2 и

L2	x +5y + 2z +5 = 0,
	:	x − y − z −1 = 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C

(1;1;0) и то, что плоскость 2x +3y − 3z −1 = 0 касается сферы.

12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности	z =	x2	+ y	2	−1
			4

с координатными плоскостями.

144

			Вариант 25
1.	Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что
	|BM| : |MC| = λ. Найдите вектор				JJJG	JJG G JJJG	G
					AM , если	AB =b, AC	= c .
2.		G		G		G
	Даны векторы a ={2; 0;1},			b ={−1;1; 0},		c ={0;1; −3} . Вычислите
	G G
	прcG[ a,b ].	G	−3;1},	G		G
3.
	Даны векторы a ={2;			b	={−3;1; 2}, c ={1; 2; 3}. Вычислите
	G G G	G G G

[ [a,b],c] и [a,[b, c]] .

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две его вершины А (-1; -2), В (19; -12) и точка М (29/3; -10/3)

пересечения его медиан.

5.	Постройте кривую x = 2 − 1 − y.

6.Приведите кривую 5x2 + 2 3 xy +7 y2 −8 = 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (1;0;−1) относительно плоскости P : 2 y + 4z −1 = 0.

8.Определите двугранный угол, образованный пересечением пары

плоскостей 5x - 3y +2z +5 = 0, 3x +3y - 3z -8 = 0.

9.Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми:

x −1		=	y - 2	=	z + 2	,	x -1		=	y - 2	=	z	.
2			1				2			0
				0							1

			3x − y +3 = 0,
	10.	Составьте уравнения проекции прямой L:	− 2 y +5z −10 =				0,	на
		x
	11.	плоскость P: x − y +3z −5 = 0 .
		Составьте уравнение сферы, если известно, что точки
		M1 (−2;−5;1), M2 (1;−2;−1), M3 (1;−5;2), M4 (1;−8;−1) лежат на сфере.
	12.	Найдите уравнения линий пересечения поверхности		x2	−	y2	= −2z
				2		4

с координатными плоскостями.

145

8. ПРИМЕР ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Векторная алгебра

1.На векторах aG = 3iG − Gj, bG = 5iG − параллелограмма и длины его

2.Найдите прbGaG, если aG = 2eG1 −eG2 ,

2kG построен параллелограмм. Найдите площадь

диагоналей.

b = eG1 + eG2 , где eG1 =1, eG2 = 2, (eG1 eG2 )= 600.

3. Вычислите объем тетраэдра: A(3, 2, 4), B (2, −3, 4), C (−2, −2,3), D (0, 2,1).

4. На плоскости заданы векторы eG1 = (−2,1), eG2 = (1,1),

aG = (5,2). Можно ли взять

G, eG2 за новый базис на плоскости? Если да, то найдите разложение вектора a

по базису и запишите соответствующее разложение.

G

G

G

G

5. Убедитесь, что векторы a

= 4i +3 j,

b =5k могут быть взяты за ребра куба.

Найдите третье ребро cG.

Аналитическая геометрия

1.

Найдите расстояние от точки М0 до плоскости, проходящей через точки

М1, М2,М3 , если М1 (-3,4,-7),

М2 (1,5,-4), М3 (-5,-2,0),

М0 (-12,7,-1).

2.

Напишите уравнение

плоскости, проходящей

через точку A(1,0,-2)

перпендикулярно вектору

JJG

, если известны координаты точек B(2,-1,3),

BС

C(0,-3,2).

3.

Найдите угол между плоскостями x – 3y + 5 = 0 и 2x – y + 5z – 16 = 0.

4.

Найдите координаты точки A(0,0,z), равноудаленной от точек B(5,1,0) и

5.

C(0,2,3).

Напишите каноническое уравнение прямой, по которой пересекаются

плоскости 2x + y + z – 2 = 0 и 2x – y – 3z + 6 = 0.

6.

Найдите точку пересечения прямой

x−2

=

y−3=

z+1

и плоскости

−1

−1

4

x+2y+3z-14 = 0.

7.Установите, какую кривую второго порядка определяет уравнение 4 x2 +3 y2 – 8x + 12y – 32 = 0. Найдите для эллипса и гиперболы

координаты центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис, для параболы – координаты вершины и величину параметра p .

x2

2

z2

8. Найдите

точки пересечения поверхности

+y

−

=−1

и прямой

4

9

x−3

y−1

z−6

=

=

. Укажите тип поверхности.

1

1

3

146

9.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ

I.Векторная алгебра

Вектор - направленный отрезок.

Векторы называются коллинеарными, если лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

Линейные операции над векторами

Суммой aG+bG двух векторов a и b называется векторG , идущий из начала вектора a в конец вектора

b при условииG, что начало вектора b приложено к концу вектора a (правило треугольника).

Свойства:

1˚.	G	G		G		G
	a +b			= b	+ a		G	G
2˚.	G		G		G	G
	(a +b )+ c					= a	+(b	+ c )
3˚.	G	G		G
	a +	0		= a						aG существует
4˚.	Для			каждого			вектора				вектор
	(−aG), такой, что aG							+(−aG)= 0 .
								G	G	G
Разностью векторов								a иGb		будет вектор a	−b ,
идущий из конца вектора b									к концу вектора a .
Произведение αaG вектора aG на
вещественное число α								обладает свойствами:
	G			G		G	G
5˚. α(a +b )					=αa		+αb
6˚. (α + β)aG =αaG+ βaG
7˚. α(βaG) =					(αβ )aG
8˚.	1 aG	= aG

Линейная зависимость векторов Линейной комбинацией векторов a1 , aG2 , ..., aGn называют выражение:

α1aG1 + α2aG2 + ...+αnaGn = ∑n αi aGi , i =1

147

где α1 , α2 , ..., αn - произвольные действительные числа.

Система векторов aG1 , aG2 , ..., aGn называется линейно зависимой, если существуют действительные числа α1 , α2 , ..., αn , такие, что хотя бы одно из них от-

лично от нуля, и выполняется равенство:
α1aG1 + α2aG2 + ...+αnaGn = 0 .	(*)

В противном случае, т.е. если линейная комбинация (*) обращается в ноль только при всех αi = 0, i =1, ..., n , то система векторов называется линейно

независимой.

Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных.

Геометрические критерии линейной зависимости

Система двух ненулевых векторов a1 , aG2 линейно зависима тогда, и только

тогда, когда векторы коллинеарны.

Система трех векторов aG1, aG2 , aG3 линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Базис и координаты

Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.

Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами

вектора в данном базисе иGв каждом Gбазисе определяются однозначно: d =αaG+ βb +γcG ={α, β,γ }.

При сложении двух векторов d1 и d2 их координаты (относительно любо-

го базиса) складываются. При умножении вектора d1 на любое число α все его координаты умножаются на это число.

	G G	Системой координат в пространстве называют совокупность базиса
{		G	}	и некоторой точки, называемой началом координат.
	a, b, c
				JJJJG
		Вектор OM , идущий из начала координат в точку M , называется радиус-
вектором точки M .					JJJG
		Координатами точки
					M (α, β,γ ) называются координаты вектора OM .
					JJJG

Таким образом, координаты радиус-вектора OM и координаты точки M совпадают.

148

Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат

Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора

с длинами, равными единице.
G G	G		G		G	=1.
Обозначения: {i, j,k},	i	=	j	=	k

ТакойG GбазисG называется ортонормированным (ОНБ). Векторы i , j, k называются базисными ортами. ЗафиксируемGточкуG G О – начало координат и отложим от нее векторы i , j, k . Полученная система координат называется

прямоугольной декартовой.

Координаты любого вектора в этом базисе называ-

ются декартовыми координатамиG вектораG : aG ={x, y, z}= x i + y j + z k .

	Z
	z		M
	G
G	k	j	Y
	0
x i			y

X

Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям

базисных векторов,	называются координатными осями:		i – порождает OX ;
G	G		JJJG
j – порождает OY ;	k	– порождает OZ . Координаты точки М (вектора OM ) в

декартовой системе координат по осям OX , OY , OZ называются соответст-

венно абсциссой, ординатой и аппликатой.

Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора aG равны проекци-

ям этого вектора на оси Ox , Oy , Oz соответственно; другими словами,

x = прOX aG =

aG

cosα , y = прOY a =

aG

cos β , z = прOZ aG =

aG

cosγ .

Здесь α, β, γ

– углы, которые составляет вектор a с координатными

осями Ox , Oy , Oz соответственно, при этом cosα , cos β , cosγ

называются

направляющими косинусами вектора a .

G

Вектор aG0 =

aG

={cosα, cos β, cosγ} представляет собой вектор единичной

a

длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

		Проекция вектора aG						на ось l		(A′B′) равна
пр		G	=	G	cosϕ =	G	G	G			- орт оси l.
	l	a		a		a	cos(a , l ) , где l
								0	0

149

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произ-

ведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

(a

b )= (a,b )

= a b =

a

b

cos(a , b) .

Если aG ={x1,

y1, z1},

bG ={x2 ,

y2 ,

z2}, то (aG b )= x1 x2 + y1 y2 + z1z2 .

Алгебраические и геометрические свойства скалярного произведения:

G

G

G

G

1°. (a

b )=(b

a).

G

G

G

G

G

G

2°. (λa

b )= λ(a

b )=(a λb )

3°. ((aG +bG) cG)= (aG cG)+(bG cG), (aG (bG + cG))= (aG bG)+(aG cG).

G

G

G

≠

G

G

G

G

4°. (a

a )> 0 , если a

0 , и (a

a )= 0 , если a = 0 .

G G

G

G

G G

G

2

o

G

2

G

G G

5°. (a a )=

a

a

m

a

cos0

=

a

;

a

=

(a a ).

cos (a, a )=

G

G

6°. cos(aG, bG)=

(a

bG)

=

x1 x2

+ y1 y2

+ z1 z2

.

G

a

b

x12 + y12 + z12

x22 + y22 + z22

G G

G

G

G

G

( a,b )

ax bx + ay by

+ az bz

G

(a

b )

7°. прbGa =

a

прbG

a

=

bG

=

, прaGb

=

aG

.

bx2

+ by2

+ bz2

G

G

π

G

G

8°. a

b : ϕ = 2

(a

b )= 0 - условие перпендикулярности.

9°. aG ={x,

y,

z},

aG

=

(aG aG) =

x2 + y2 + z2

- длина вектора.

JJG

10°. A=(x , y , z ),

B =(x ,

y ,

z

),

ρ(AB) =

=

(x −x )2 +(y − y )2

+(z −z )2

–

AB

1

1

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

расстояние между двумя точками.

G G

x

11°. Направляющие косинусы вектора: cosα = cos(a,i) =

,

G

G

x2 + y2 + z2

G

y

G

z

cos β = cos(a, j) =

, cosγ = cos(a, k ) =

;

x2 + y2 + z2

+ y2

x2

+ z2

cos2 α + cos2 β + cos2

γ = 1.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a ,

aG , aG , приведен-

1

2

3

ных к одному началу, называется правой,

если из конца третьего вектора a3

кратчайший поворот первого вектора a1 ко второму a2 виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

150