матан
.pdf№ 42.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
arctg 1 |
|
|
arctg 1 |
|
1 |
|
1 |
|
p = 5 |
|
|
|
||||
∑ |
|
|
n |
|
an = |
|
|
n |
|
n |
= |
|
>1 |
|
сходится. |
||
3 |
n2 |
+1 |
3 |
n2 |
+1 |
3 |
5 |
||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
x→∞ n2 |
|
n2 |
|
2 |
|
|
|
В следующих примерах демонстрируется применение признака сравнения в общей форме. Полезно вспомнить, что:
|
|
|
|
|
lim |
|
ln n |
=0, |
lim nε |
=0 |
(ε >0) . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n→+∞ nε |
n→+∞ en |
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда, в частности, вытекает, |
что при достаточно больших значениях n имеют место |
|||||||||||||||||
оценки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nεn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln n |
≤const, |
≤const |
(ε >0) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
№ 42.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
nε |
|
|
|
1 |
|
|
p = 4 |
|
||
a) ∑3lnn |
|
an = 3lnn = ln4n = lnεn |
≤const |
|
=bn |
|
−ε. |
|||||||||||
4 |
4 |
|||||||||||||||||
n=2 |
n4 |
|
n4 |
n3 |
n |
n3 |
|
|
n3 −ε |
|
|
3 |
|
Попробуем подобрать ε > 0 так, чтобы p = 4 −ε >1 |
(тогда ряд из “больших” слагаемых b |
||||
|
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
будет сходящимся). Имеем 0 <ε < |
1 . |
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
Следовательно, исходный ряд сходится. |
|
||||
∞ lnn |
|
lnn |
ln2 |
p =1. |
|
b) ∑ n |
bn = n ≥ |
n =an |
|
n=2
Найдены “меньшие” слагаемые an , ряд из которых расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.
∞ |
|
bn = ln1n ≥ ln21 |
|
|
p =1 |
|
c) ∑ln3 n |
=an |
|
<1. |
|||
n=2 |
n |
n3 n3 |
|
|
3 |
|
Найдены “меньшие” слагаемые an , ряд из которых расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.
№ 42.6.
∞ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p = 4 |
|
|
|
|
||||||
a) ∑ |
|
|
an = |
|
|
≤ |
|
=bn |
|
>1 |
|
|
|
||||||||||||
3 |
n4 ln n |
3 |
n4 ln n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
n3 ln2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
Найдены “большие” слагаемые bn , ряд из которых сходится. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Следовательно, исходный ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
nε |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||
c) ∑ |
|
|
|
bn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
=an |
p = |
+ε . |
||||||||||
3 n ln n |
|
3 n ln n |
|
= |
ln n |
|
3 n nε |
≥ const |
1+ε |
|
3 |
||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n3 |
|
|
|
|
|||
Попробуем подобрать ε > 0 так, чтобы p = |
+ε ≤1 (тогда ряд из “меньших” слагаемых an |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
будет расходящимся). Имеем 0 <ε ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, исходный ряд расходится.
|
|
∞ |
|
|
|
|||
b) |
∑ |
1 |
|
|
||||
nln n |
|
|
||||||
|
n=2 |
|
|
|
||||
Имеем: |
|
|
|
|||||
a = |
|
1 |
≤ |
1 |
=b p =1. |
|||
nln n |
nln 2 |
|||||||
n |
|
|
|
n |
Найдены “большие” слагаемые bn , ряд из которых расходится, что бесполезно. По другому:
b = |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
nε |
|
|
1 |
|
|
≥ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
=a |
|
|
p =1+ε >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
nlnn |
ln n n nε |
|
|
|
|
n1+ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
const |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теперь найдены “меньшие” слагаемые an , |
ряд |
|
из |
которых сходится, |
что также |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бесполезно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Попробуем применить интегральный признак: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
nln n |
|
|
|
|
nln n |
|
|
|
|
|
|
xln x |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
d ln x =ln ln x |
|
|
|
|
= lim ln ln x −ln ln 2 =∞ |
|
|
|
расходится. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫xln x |
|
|
|
|
|
|
∫ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 42.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
3 n2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n2+1 |
|
|
|
|
3 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
an = |
|
|
|
|
|
= nnε |
nε3 |
≤const |
|
|
|
|
|
|
p =ε |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
nε− |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
n→∞ |
|
e |
|
|
|
|
e n |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
Попробуем подобрать ε > 0 так, |
чтобы |
|
p =ε − |
2 |
>1 (тогда ряд из “больших” слагаемых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
будет сходящимся). Имеем ε > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, исходный ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 42.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− n −1) an =( |
n +1 − n −1)= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 расходится. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑ |
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
p = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n+1+ |
|
n−1 |
n |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ 42.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
2n+1 |
|
|
a = 2n+1 → 2 |
|
≠0 |
ряд |
|
расходится, |
т.к. |
не |
выполнено |
необходимое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑ |
|
3n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
3n−1 n→∞ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
№ 42.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
( |
|
n2 +n − n2 −n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∑ |
|
an = |
|
|
|
n2 +n − n2 −n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 1≠0 расходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 +n+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 −n n→∞ |
|
|
||||||||||||||
№ 42.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∑sin |
|
2n |
|
|
|
|
|
an =sin |
2n |
n→∞ |
|
2n |
=(2 ) |
|
q = |
2 |
<1 |
|
|
|
сходится. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 42.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
1 |
|
|
4 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
∑ |
4 |
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
an =4 |
|
arctg |
|
|
n→∞ 4 |
|
|
|
≤( |
3 ) |
|
|
|
q = 3 |
>1 |
|
расходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
3n |
|
|
3n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43. Числовые ряды. Признаки Даламбера, Коши, Лейбница
Условия.
Выяснить сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ 43.1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 43.1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n! |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
2n ! |
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|||||
№ 43.2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 43.2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( |
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
||||||||||||
|
n=0 |
|
|
2n !! |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
2n +1 !! |
||||||||||||
|
∞ ( |
2n |
) |
|
|
|
|
|
∞ ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 43.3. |
∑ |
|
|
+1 !! |
|
№ 43.3. |
∑ |
|
|
|
|
2n !! |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=0 |
|
|
|
3 n! |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
4 n! |
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 43.4. |
∑nn2 |
|
|
|
|
|
|
|
№ 43.4. |
∑nn3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
№ 43.5. |
∞ |
( |
2n |
) |
|
|
|
|
|
|
№ 43.5. |
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑ |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
∑n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=0 |
|
(n!) |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 43.6 |
∑sinn 1 |
|
|
|
|
|
№ 43.6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
n=2 ln |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
№ 43.7. |
∑ |
2n ( |
|
|
)n |
|
№ 43.7. |
∑(nn+1)n |
|
|
|
||||||||||||||||||
n+1 |
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)n |
3 |
|
||||||
|
∞ |
(nn+−11)n |
2 |
|
|
|
|
∞ |
|
( |
n2 +1 |
3 |
|
||||||||||||||||
№ 43.8. |
∑ |
|
|
|
|
|
№ 43.8. |
∑ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 +2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выяснить сходимость знакочередующихся рядов. Уточнить характер сходимости (абсолютно или условно)
№ 43.9. |
∞ |
|
n+1 |
|
∞ |
( |
n+1 |
|
|
∑ |
(−1) |
|
№ 43.9. ∑ |
−1) |
|
||||
|
n=1 |
|
n |
|
n=1 |
|
|
2n+1 |
|
|
∞ |
|
n |
|
∞ |
|
|
n |
|
№ 43.10. ∑ |
(−12) |
|
№ 43.10. ∑ |
( |
−1) |
|
|||
|
n=1 |
|
n |
|
n=1 |
|
|
n3 |
|
|
∞ |
|
n |
|
∞ |
|
|
n |
|
№ 43.11. |
∑ |
(−1) |
|
№ 43.11. ∑ |
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
||||||||
5 |
n7 ln2 n |
|
|||||||
|
n=2 |
n4 ln n |
|
n=2 |
|
|
|
Выяснить абсолютную сходимость знаконепостоянных рядов.
∞ |
|
n |
|
∞ |
|
|
№ 43.12. ∑cosα2 |
|
№ 43.12. ∑sin3nα |
||||
n=1 |
n |
|
|
n=1 |
n |
|
Рассмотрев соответствующий ряд, доказать, |
что |
|
|
|||
№ 43.13. lim an =0 |
№ 43.13. lim |
(2n)!=0 |
||||
n→∞ n! |
|
|
n→∞ |
an! |
||
№ 43.14. lim |
(n!)n |
=0 |
№ 43.14. lim |
nn |
=0 |
|
2 |
||||||
n→∞ nn2 |
|
|
n→∞ |
(n!) |
Теория.
Теорема.
Пусть |
(признак Даламбера) |
(признак Коши) |
|||
1) |
a ≥0 |
и lim an+1 =q |
lim n a |
n |
=q |
|
n |
n→∞ an |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
<1, cx 1) q = =1, ?
>1, pacx
№ 43.9. |
|
|
|
|
∞ |
(−1)n+1 |
|
1 |
0 сходится. |
∑ |
n |
an = n |
n=1
Уточним характер сходимости (абсолютно или условно). Рассмотрим ряд из “модулей”
∞ 1 |
|
1 |
|
|
p =1 |
|
расходится. |
|
|
|
|
|
|||||||
∑n |
an = n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, данный ряд сходится условно. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Замечание. Сумма условно сходящегося ряда |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
(−1)n+1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 1 1 |
|
||||||
S =∑ |
n |
=1 |
− |
2 |
+ 3 |
− 4 |
+ |
5 |
− 6 |
+ 7 |
− 8 |
+ 9 |
− |
|
+ |
|
− |
|
+... |
10 |
11 |
12 |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависит от порядка суммирования слагаемых. Например:
R =1− 12 − 14 + 13 − 16 −81 + 15 −101 −121 + 71 −141 −161 +...=
=(1− 12 )− 14 +(13 − 16 )−18 +(15 −101 )−121 +(17 −141 )−161 +...=
=12 − 14 + 16 −18 +101 −121 +141 −161 +...= 12 (1− 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + 17 − 18 +...)= 12 S.
№43.10.
∞ (−1)n |
|
a |
= |
1 |
0 сходится. |
|
|
||||||
∑ |
n2 |
|
n |
|
n2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
Уточним характер сходимости (абсолютно или условно). Рассмотрим ряд из “модулей”
∞ |
1 |
|
1 |
|
|
∑ |
|
|
an = |
|
p =2 сходится. |
n2 |
n2 |
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно. Его сумма не зависит от порядка суммирования слагаемых.
Замечание. Из сходимости ряда из “модулей” вытекает сходимость исходного ряда, так что в данном случае непосредственно проверять сходимость исходного ряда, применяя признак Лейбница, было излишне.
№ 43.11.
∑∞ (−1)n
n=2 3 n4 ln n
Рассмотрим сразу ряд из “модулей”:
∞ |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
p = 4 |
|
|
|
∑ |
|
an = |
|
≤ |
=bn |
>1 |
сходится. |
||||
3 |
n4 lnn |
3 |
n4 lnn |
4 |
|||||||
n=2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n3 ln2 |
|
|
|
Ряд из “модулей” сходится (по признаку сравнения в общей форме). Следовательно, исходный ряд также сходится (причем, абсолютно).
№ 43.12.
∑∞ cosαn
n=1 n2
Рассмотрим ряд из “модулей”:
∞ |
|
|
cosαn |
|
|
|
|
cosαn |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
an = |
|
|
|
|
≤ |
|
=bn |
p =2 >1 сходится. |
|
|
n2 |
|
n2 |
n2 |
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд из “модулей” сходится (по признаку сравнения в общей форме). Следовательно, исходный ряд также сходится (причем, абсолютно).
44. Степенные ряды. Ряды Тейлора
Условия.
Найти область сходимости степенных рядов.
|
∞ |
xn |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
№ 44.1. |
∑ |
|
|
|
|
|
№ 44.1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3+1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
n=0 n |
+1 |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ 44.2. |
∑ |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
№ 44.2. |
∑ |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
3n n |
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
№ 44.3. |
∑ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
№ 44.3. |
∑ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
xn |
|
|
|
|
∞ |
|
|
xn |
|
|
|
||||||||||||||
№ 44.4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
№ 44.4. |
∑ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
( ) |
|
|
|||||||||||||||||
|
n=0 |
|
2n +1 !! |
|
n=0 |
|
|
2n !! |
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n2 xn |
|
|
|||||||||||||
№ 44.5. |
∑lnn n xn |
№ 44.5. |
∑ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти суммы степенных рядов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№ 44.6. |
∑ |
xn |
|
|
|
|
|
|
№ 44.6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n+1 |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ 44.7. |
∑nxn |
|
|
|
|
|
№ 44.7. |
∑(n +2)xn |
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти сумму числового ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 44.8. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
№ 44.8. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=1 n2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
№ 44.9. |
f (x) = |
|
|
|
5 |
|
|
№ 44.9. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||
|
x2 |
+x−6 |
|
x2 |
−3x−4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
№ 44.10. f (x) =ch x |
№ 44.10. f (x) =sh x |
||||||||||||||||||||||||||||
№ 44.11. f (x) =arctg x |
№ 44.11. f (x) =arcsin x |
Разложивподынтегральнуюфункциювстепеннойряд, найтиинтегралсточностью ε = 0,001
№ 44.12. ∫1 |
e−x2 dx |
№ 44.12. ∫1 |
sin x |
dx |
x |
||||
0 |
|
0 |
|
|
Теория.
Для каждого степенного ряда
∞
S(x) =∑an xn
n=0
существует некоторый интервал (−R, +R) , внутри которого ряд сходится (причем
абсолютно), а вне интервала ряд расходится (на концах интервала x = ±R поведение ряда может быть произвольным и требует отдельного исследования).
Для радиуса сходимости R имеют место формулы:
Теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
(формула Даламбера) |
(формула Коши) |
||||||||
|
1) |
lim |
|
an+1 |
|
=q |
lim n |
|
an |
|
=q |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
n→∞ |
|
an |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
R = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|