матан
.pdf33. Двойные интегралы. Переход к полярным координатам
Условия.
№ 33.1. Найти массу пластины, ограниченной заданными кривыми, с поверхностной плотностью ρ = ρ(x, y) .
x2 + y2 =a2 , ρ = x2 + y2 . |
x2 + y2 =a2 , ρ = x2 + y2 . |
№ 33.2. Найти заряд пластины, ограниченной заданными кривыми, с поверхностной плотностью ρ = ρ(x, y) .
x2 + y2 =2ax, ρ = x2 + y2 . |
x2 + y2 =ax, ρ = x2 + y2 . |
№ 33.3. Найти центр тяжести однородной пластины, ограниченной заданными кривыми.
x2 + y2 =2ay. |
x2 + y2 =ax. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
№ 33.4. |
z =e−( x2 +y2 ) , |
z =0, x2 + y2 =a2 . |
№ 33.4. |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||
z = x2 + y2 , |
z =0, x |
+ y |
=a |
. |
|||||||||||
№ 33.5. |
z = x2 + y2 , |
z =0, |
x2 + y2 =ax. |
|
|
|
|||||||||
№ 33.5. |
z = x2 + y2 , |
z =0, |
|
x2 + y2 =ay. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найти площадь пластины, ограниченной кривыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ 33.6. (x2 + y2 )2 = x2 − y2 . |
|
№ 33.6. (x2 + y2 )2 =2xy. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
№ 33.7. |
r = a(1 + cosϕ). |
|
№ 33.7. |
r = asin 3ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 33.8. Найти массу пластины, ограниченной заданными кривыми, с поверхностной плотностью ρ = ρ(x, y) .
|
x2 |
|
y2 |
|
x2 |
|
y2 |
|
x2 |
|
y2 |
|
x2 |
y2 |
|||||
|
|
+ |
|
=1, |
ρ = |
|
+ |
|
. |
|
|
+ |
|
=1, ρ = |
|
|
+ |
|
. |
|
a2 |
b2 |
a2 |
b2 |
|||||||||||||||
|
a2 |
b2 |
a2 |
b2 |
|||||||||||||||
№ 33.9. Найти площадь пластины, ограниченной кривыми. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
xy =a, xy =b, |
(0 <a <b) |
|
xy =a, xy =b, |
(0 <a <b) |
||||||||||||||
|
y =cx2 , y =dx2 , (0 <c <d). |
|
y =cx, y =dx, |
(0 <c <d). |
Теория.
∫∫f (x2 + y2 )dxdy =∫∫f (r2 ) r drdϕ
D Ω
Решения.
№ 33.1.
m =∫∫ρ(x, y)dxdy =∫∫ |
x2 + y2 dxdy =→ |
|
|
|||
D |
|
D |
|
|
|
|
Кривая x2 + y2 = a2 |
– это окружность радиуса a с центром |
|||||
в начале координат (0,0) . Учитывая вид подынтегральной |
||||||
функции |
f (x2 + y2 ) |
и “круговую” форму области |
|
D , |
||
перейдем к полярным координатам. |
|
|
||||
Поскольку |
x2 + y2 =a2 →r =a , |
|
|
|||
|
|
|
||||
то |
|
|
|
|
|
|
D ={x2 + y2 ≤a2 } → Ω={r ≤a}={0 ≤ϕ ≤2π, 0 ≤r ≤a}. |
|
|
||||
Тогда |
|
2∫π ( |
∫a r2 dr |
)dϕ =2π ∫a r2 dr =2π 13 r3 |
|
|
→=∫∫ r2 |
r drdϕ = |
|
0a = 32 πa3 . |
|||
|
||||||
|
|
|||||
Ω |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
№ 33.2.
q =∫∫ρ(x, y)dxdy =∫∫(x2 + y2 )dxdy =→
|
|
D |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кривая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 + y2 =2ax (x2 −2ax +a2 )+ y2 =a2 (x −a)2 + y2 =a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
это “смещенная” окружность радиуса a с центром в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
точке (a,0) . Учитывая вид подынтегральной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
f (x2 + y2 ) и “круговую” форму области D , перейдем к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
полярным координатам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
x2 + y2 =2ax → r2 =2ar cosϕ r =2a cosϕ, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π ≤ϕ ≤+ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D ={x2 + y2 ≤2ax} |
→ Ω={r ≤2a cosϕ}={− |
, 0 ≤r ≤2a cosϕ}. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a cos |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
r4 |
|
2a cosϕ |
|
16a4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
→=∫∫r |
|
r drdϕ = |
∫ |
|
|
∫ |
|
r |
|
dr |
|
dϕ = ∫ |
|
|
|
|
|
dϕ = |
4 |
∫cos |
|
ϕdϕ = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
π |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
2 |
1+cos 2ϕ 2 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
=4a |
|
∫ |
(cos2 ϕ) dϕ |
=4a |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
=a |
|
∫ |
(1 |
+2cos 2ϕ +cos2 2ϕ)dϕ = |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
−π |
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1+cos 4ϕ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3a |
|
|
||||
=a |
4 |
|
∫ |
(1+2cos 2ϕ+ |
)dϕ |
=a |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
∫1dϕ+0 |
+0= |
4 |
π. |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
∫(2 |
+2cos 2ϕ+2 cos 4ϕ)dϕ |
=2 a |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
№ 33.3.
Из физических понятий очевидно, что центр масс однородного круга находится в его центре: (x0 , y0 ) = (0, a). Цель приведенных ниже расчетов, в частности, показать адекватность математических формул интуитивным представлениям.
Найдем массу пластины:
m =∫∫ρ(x, y)dxdy =ρ∫∫1 dxdy =→
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Кривая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 + y2 =2ay x2 +(y2 −2ay +a2 )=a2 x2 +(y −a)2 =a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
это “смещенная” окружность радиуса a с центром в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0, a) . Учитывая вид подынтегральной функции |
|
f (x2 + y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и “круговую” форму области |
D , |
перейдем к полярным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координатам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Поскольку |
x2 + y2 =2ay → r2 =2ar sin ϕ r =2a sin ϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
D ={x2 + y2 ≤2ay} → Ω={r ≤2a sin ϕ}={0 ≤ϕ ≤π, |
0 ≤r ≤2a sin ϕ}. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
2a∫sinϕ r dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
→=ρ∫∫r drdϕ =ρ∫π ( |
)dϕ =ρ 12 ∫π r2 |
|
02a sinϕ dϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ω |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
ρ |
|
∫π (2a sinϕ)2 dϕ = |
ρ |
4a2 ∫π 1−cos2 |
2ϕ dϕ = ρa2 ∫π (1−cos 2ϕ)dϕ = ρπa2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем координаты центра масс: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a sinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
π |
( |
|
2 |
cosϕdr ) |
|
|
|
ρ 1 |
π |
3 |
|
2a sinϕ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x0 = |
|
|
|
∫∫xρdxdy= |
|
|
∫∫r cosϕ r drdϕ= |
|
|
∫ |
|
|
∫ |
r |
|
dϕ= |
|
|
3 |
∫cosϕ r |
|
|
0 |
|
|
dϕ= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
m |
m |
|
|
|
m |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ρ |
π |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8a3ρ sin4 ϕ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
∫ |
(2asinϕ) cosϕdϕ= |
|
|
8a3 ∫sin3 ϕd sinϕ= |
|
3m |
4 |
|
|
=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3m |
3m |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = |
1 |
∫∫yρdxdy = |
ρ |
∫∫r sinϕ r drdϕ = |
ρ |
∫π ( |
2a∫sinϕ r2 sinϕdr |
)dϕ = |
ρ |
13 ∫π sinϕ r3 |
|
02a sinϕ dϕ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
m |
m |
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ρ π |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8ρa3 π 1−cos 2ϕ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(2a sinϕ) sinϕdϕ = |
|
|
8a3 |
∫ |
(sin2 |
ϕ) |
|
dϕ = |
|
3m ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3m |
3m |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2ρa3 |
π |
(1−2cos 2ϕ |
+cos2 2ϕ)dϕ = |
2ρa3 π |
|
|
− |
2cos 2ϕ |
+ |
1+cos 4ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3m |
∫ |
|
3m |
|
∫ |
1 |
|
|
|
2 |
|
dϕ = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 23ρma3 ∫π (32 −2cos 2ϕ + 12 cos 4ϕ)dϕ = 23ρma3 (32 π −0 +0)= m1 ρπa3 =a.
0
№ 33.4.
V =∫∫( fB (x, y) − fH (x, y))dxdy =→
D
Выделим среди поверхностей { z =e−( x2 +y2 ) , z =0, x2 + y2 =a2 }, ограничивающих объем V ,
те, уравнения которые не содержат переменной z . На плоскости xOy эти уравнения задают
некоторые кривые, а в пространстве – цилиндрические поверхности, параллельные оси Oz , в основании которых лежат эти кривые. В
данном |
|
|
примере |
|
окружность |
|
{ x2 + y2 =a2 } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ограничивает круг |
D ={ x2 + y2 ≤a2 } |
радиуса |
a |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
центром в начале координат, так что поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
{z =0 |
≤ |
|
z =e−( x2 +y2 ) , |
(x, y) D}, играющие роль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
“нижней” и “верхней”, достаточно построить схематично. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
→=∫∫(e−(x2 +y2 ) −0)dxdy =→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая вид подынтегральной функции f (x2 + y2 ) |
и “круговую” форму области D , |
||||||||||||||||||||||||||||
перейдем к полярным координатам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D ={x2 + y2 ≤a2 } → Ω={r ≤a}={0 ≤ϕ ≤2π, 0 ≤r ≤a}. |
|
|
||||||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
a |
|
|
|
|
1 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−r2 |
|
|
|
|
|
|
|
−r2 |
|
|
|
−r2 2 |
|
−r2 |
|
a |
( |
−a2 ) |
|
|||||||
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
→= |
e |
|
|
r drdϕ = |
|
e |
rdr |
|
|
2 ∫ |
e |
|
|
dr |
|
=−πe |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
dϕ =2π |
|
|
|
|
|
|
0 =π 1−e |
|
|||||||||||||||
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ 33.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V =∫∫( fB (x, y) − fH (x, y))dxdy =→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим среди поверхностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
{ z = x2 + y2 , z =0, x2 + y2 =ax} , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ограничивающих объем V , те, уравнения которых не |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
содержат переменной z . В данном примере “смещенная” |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
окружность |
|
|
{ x2 + y2 =ax} |
ограничивает |
|
|
|
круг |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
D ={ (x − |
a |
2 |
|
2 |
|
a |
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 ) |
|
+ y |
|
≤ |
(2 ) |
} радиуса |
2 |
с центром в точке |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(a2 ,0), так что поверхности {z =0 ≤ z = x2 + y2 , |
(x, y) D}, играющие роль “нижней” и |
“верхней”, достаточно построить схематично.
→=∫∫( x2 + y2 −0)dxdy =→
D
Учитывая вид подынтегральной функции f (x2 + y2 ) и “круговую” форму области D , перейдем к полярным координатам.
D ={x2 + y2 ≤ax}→Ω={r ≤a cosϕ}={−π2 ≤ϕ ≤+π2 ,0≤r ≤a cosϕ}.
Имеем:
|
|
|
|
+π2 |
a cosϕ |
|
|
|
+π2 |
|
|
+π2 |
|
|
|
|
|
+π2 |
|
|
|
→=∫∫ |
r |
2 |
r drdϕ= ∫( |
∫ r |
2 |
dr |
)dϕ=3 |
∫r |
3 |
|
dϕ= 3 ∫cos |
3 |
ϕdϕ= 3 |
∫cos |
2 |
ϕ cosϕdϕ= |
|||||
0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a cosϕ |
a3 |
|
|
|
a3 |
|
|
|
|||||
Ω |
|
|
|
−π |
0 |
|
|
|
−π |
|
|
−π |
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
+π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=a33 ∫2 (1−sin2 ϕ)d sinϕ=a33 +∫1(1−t2 )dt =23a3 +∫1(1−t2 )dt =32 a3 (t −13 t3 ) |
|
10 |
=32 a3 (1−13)=94 a3 |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
− |
π |
|
|
|
−1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 33.6. |
|
|
|
(x2 + y2 )2 = x2 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кривая |
|
L ={ |
}, ограничивающая область |
|
D , |
в полярной |
системе |
||||||||||||||
координат имеет более простое описание: |
|
|
|
|
−π |
+π k ≤ϕ ≤+π |
|
||||||||||||||
(r2 )2 =r2 cos2 ϕ −r2 sin2 ϕ |
r2 =cos 2ϕ |
|
r = cos 2ϕ, |
|
+π k |
||||||||||||||||
S =∫∫1 dxdy =2∫∫1 dxdy =→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
|
|
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D1 →Ω={−π |
≤ϕ ≤+π , |
0 ≤r ≤ cos 2ϕ} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π4 |
cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
+π4 |
|
0 |
|
|
+π4 |
+π4 |
=1. |
|||||
→=2∫∫rdrdϕ=2 ∫ |
∫ |
rdr dϕ=2 2 |
∫r |
|
|
dϕ= ∫cos 2ϕdϕ=2 ∫cos 2ϕdϕ=sin 2ϕ 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
Ω |
|
|
|
|
−π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−π |
2 |
|
cos 2ϕ |
|
−π |
0 |
+π4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
№ 33.7. |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S =∫∫1 dxdy =→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к полярным координатам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
D → Ω ={−π ≤ϕ ≤ +π, |
0 ≤ r ≤ a(1 + cosϕ)} |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∫∫ |
|
|
|
|
+π |
|
a(1+cosϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
→= |
|
|
r drdϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
r dr |
dϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ω |
|
|
|
|
−π |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+π |
|
|
a(1+cosϕ) |
|
|
|
2 +π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 12 ∫r2 |
|
0 |
|
|
dϕ = a2 |
|
∫(1+cosϕ)2 dϕ = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
2 |
+π |
(1+2cos |
ϕ +cos2 ϕ)dϕ |
= a |
2 |
+π |
|
+ |
2cosϕ + |
1+cos 2ϕ |
|
|||||||||||||||
|
∫ |
|
1 |
2 |
dϕ = |
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
+π |
3 |
|
|
|
|
|
3a |
2 |
|
|
3a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
2 |
∫ |
2 dϕ +0 |
+0 = |
|
4 |
|
2π = |
2 |
|
π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π
Сравнить: нахождение площади “криволинейного сектора” с помощью двойного интеграла с нахождением с помощью однократного интеграла:
S =∫∫1 dxdy =[D →Ω={α ≤ϕ ≤β, |
rH (ϕ) ≤r ≤rB (ϕ)]=∫∫r drdϕ =∫β ( |
rB∫(ϕ) r dr )dϕ = |
|
D |
Ω |
α |
rH (ϕ) |
ββ
= 12 ∫r2 |
rB (ϕ) |
dϕ = 12 ∫(rB2 (ϕ) −rH2 (ϕ))dϕ . |
rH (ϕ) |
αα
№33.8.
|
|
|
|
2 |
|
y |
2 |
|
|
m = |
∫∫ |
ρ(x, y)dxdy = |
|
x |
|
+ |
|
dxdy =→ |
|
|
|
∫∫ a2 |
|
b2 |
|
||||
|
D |
|
D |
|
|
|
|
|
Перейдем от старых координат (x, y) к промежуточным (u,v) , полагая что:
x =au |
dxdy = |
|
D(x, y) |
|
dudv = |
|
xu′ xv′ |
|
dudv = |
|
a |
0 |
|
dudv =ab dudv |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y =bv |
|
|
D(u, v) |
|
|
|
yu′ yv′ |
|
|
|
0 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D ={x2 + y2 ≤1}→∆={u2 +v2 ≤1}. a2 b2
→=∫∫(u2 +v2 ) ab dudv =→
∆
Переходя далее от промежуточных координат (u,v) к полярным (r,ϕ)
u =r cosϕ
v =r sinϕ
находим:
→=ab∫∫r2
Ω
|
dudv = |
|
D(u, v) |
|
drdϕ = |
|
ur′ |
uϕ′ |
|
drdϕ = |
|
cosϕ −r sinϕ |
|
|
=r drdϕ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
vr′ |
vϕ′ |
|
|
sinϕ |
r cosϕ |
|
|
|||||||||||
D(r,ϕ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆={u2 +v2 ≤1}→Ω={r ≤1}={0≤ϕ ≤2π, |
0≤r ≤1}, |
|||||||||||||||||||
|
2π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r drdϕ =ab ∫( |
∫r |
3 |
dr )dϕ =2πab∫r |
3 |
dr =2πab |
1 |
4 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
4 r |
|
|
0 = |
2 πab. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Координаты (r,ϕ) для исходных декартовых координат (x, y) получили название обобщенных полярных координат
x =ar cosϕ |
|
|
D(x, y) |
|
=ab r |
|
|
||||
|
|
|
|||
y =br sinϕ |
|
|
D(r,ϕ) |
|
|
|
|
|
|
№ 33.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Область D , очевидно, можно описать в виде: |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D ={a ≤xy ≤b, c ≤ |
|
≤d}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перейдем от старых координат (x, y) к новым (u,v) , полагая что: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
u = xy |
|
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
1 u−32 v−13 |
−1 u13 v−34 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
x =u |
3 v |
|
3 |
|
dxdy = D(x, y) dudv = |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
dudv = |
1 |
dudv |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3v |
|||||||||
|
2 1 |
|
D(u, v) |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
v = |
x |
2 |
|
|
3 |
v |
3 |
|
|
|
2 |
u |
− 3 |
v |
3 |
|
1 |
u |
3 |
v |
− |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y =u |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D →Ω={a ≤u ≤b, |
c ≤v ≤d}. |
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
dudv =∫b ( |
∫d |
|
dv )du = |
||
S =∫∫1 dxdy =∫∫ |
|
DD((ux,, vy)) |
|
dudv =∫∫ |
1 |
1 |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
3v |
3v |
|||||||||
D |
Ω |
|
|
|
Ω |
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=13 ∫b du∫d 1v dv = 13 (b −a)ln v |
|
cd =13 (b −a)ln dc . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
c |
|
|
|
|
|
34. Тройные интегралы. Физические и геометрические приложения
Условия.
№ 34.1. Найти массу тела, ограниченного заданными поверхностями, с объемной плотностью ρ = ρ(x, y, z) .
z =x2 y, z =0, y =(x −1)2 , y = x +1; |
z = xy2 , z =0, y =4x − x2 , y =4 − x; |
|||||
ρ = |
z |
. |
ρ = |
z |
. |
|
x3 y2 |
x2 y3 |
|||||
|
|
|
|
№ 34.2. Найти заряд тела, ограниченного заданными поверхностями, с объемной плотностью ρ = ρ(x, y, z) .
z =π, z = x |
4 |
y |
2 |
, y = |
1 |
( |
) |
|
|
|
2 |
|
x +1 , y =1, x =−1; |
||||
ρ = |
cos z |
|
. |
|
|
|
|
|
sin x4 y2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
z =π |
, z = x3 y, y =1− x, y =1, x =1; |
2 |
|
ρ = sin z . cos x3 y
№ 34.3. Найти центр масс однородной пирамиды, ограниченной плоскостями.
6x + 3y + 2z = 6, z = 0, y = 0, x = 0. |
2x + y + 2z = 2, z =1, y = 0, x = 0. |
№ 34.4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями.
z = xy, z = 0, x + y =1. |
z = xy, z = 0, y = x, x =1. |
Теория.
Пусть в области V задана функция f (x, y, z) .
Разобьем область V поверхностями на малые, попарно не налегающие части Vk
V =V1 ... Vk ... Vn ,
с объемами ∆kV , и обозначим через d =max dk диаметр разбиения.
1≤k≤n
Выберем в каждой части промежуточную точку (ξk ,ηk ,ζk ) Vk .
Составим интегральную сумму
n
∑ f (ξk ,ηk ,ζk )∆kV .
k =1
Тройным интегралом называется предел интегральных сумм, когда диаметр разбиения стремится к нулю
|
n |
|
dlim→0 |
∑ f (ξk ,ηk ,ζk )∆kV = ∫∫∫f (x, y, z)dxdydz, |
|
|
k =1 |
V |
|
|
если он существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек.
Физический смысл: масса (заряд) тела V с объемной плотностью ρ = f (x, y, z) .
n |
n |
m =∑ |
∆k m ≈∑ f (ξk ,ηk ,ζk )∆kV |
k =1 |
k =1 |
Если область V имеет вид “криволинейного цилиндра”,
V ={(x, y) D, fH (x, y) ≤z ≤ fB (x, y)},
то тройной интеграл может быть сведен к повторному:
∫∫∫f (x, y, z)dxdydz =∫∫( |
fB (∫x, y) |
f (x, y, z)dz )dxdy. |
|
V |
D |
fH ( x, y) |
|
Решения.
№ 34.1.
m =∫∫∫ρ (x, y, z)dxdydz =∫∫∫x3zy2 dxdydz =→
V V
Выделим среди поверхностей {z = x2 y, z =0, y =(x −1)2 , y = x +1}, ограничивающих объем V , те, уравнения которых не содержат переменной z . На плоскости xOy эти уравнения
задают некоторые кривые, а в пространстве – цилиндрические поверхности, параллельные оси Oz , в основании которых лежат эти кривые. В данном примере кривые
{y = (x −1)2 , y = x +1} ограничивают некоторую |
область |
D , |
так что |
поверхности |
{z = 0 ≤ z = x2 y, (x, y) D}, играющие роль |
“нижней” |
и |
“верхней”, |
достаточно |
построить схематично. |
|
|
|
|
|
V ={(x, y) D, |
0 ≤ z ≤ x |
2 |
y}, |
|
|
D ={0 ≤ x ≤ 3, |
( |
x |
|
)2 |
≤ y ≤ x +1}, |
||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||||||||||||||
→=∫∫( |
x2 y |
)dxdy =∫∫x3 y2 |
|
|
|
|
|
x2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ x3 y2 dz |
2 z |
2 |
|
dxdy = 2 |
∫∫x3 y2 |
(x |
2 |
y) |
2 |
dxdy = |
||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
D |
0 |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
0 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 12 ∫∫x dxdy = 12 ∫3 |
( |
x∫+1 |
x dy |
)dx = 12 ∫3 |
( |
x |
x∫+1 |
1 dy |
|
D |
0 |
|
( x−1)2 |
|
0 |
|
|
( x−1)2 |
|
3
= 12 ∫(3x2
0
№ 34.2.
q =∫∫∫ρ (x,
V
− x3 ) dx = 12 (3 13 x3 − 14 x4 ) |
|
3 |
(33 − 14 34 )= |
|
|||
|
0 = 12 |
||
|
y, z)dxdydz =∫∫∫ cos z dxdydz =→ sin x4 y2
V
)dx = 12 ∫3 x ((x +1)−(x −1)2 ) dx =
0
278 .
Выделим |
среди |
поверхностей |
{z =π, z = x |
4 |
y |
2 |
, |
y = |
1 |
( |
) |
|
|
2 |
|
x +1 , y =1, x =−1} |
ограничивающих объем V , те, уравнения которых не содержат переменной z . В данном
примере прямые |
{y = |
1 |
( |
) |
ограничивают некоторую область D , так что |
2 |
|
x +1 , y =1, x =−1} |
|||
поверхности { z = x4 y2 |
|
≤ z =π, (x, y) D} , играющие роль “нижней” и “верхней”, |
достаточно построить схематично.