Понятие события. Операции (действия) над событиями
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события1.
|
Определение.
|
Событиемназывают все то, что может произойти или не произойти при реализации некоторого условия.
|
Событие – это возможной исход некоторого испытания(опыта,эксперимента).
|
Определение.
|
Испытаниевыполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. |
Пример1.
В ящике находится два шара: один – белый, другой – черный. Вынимаем один шар из ящика. В результате данного опыта могут произойти следующие виды событий:
Рисунок 1. Виды событий
|
Определение.
|
Случайные события А1,А2, …,Аnназываютсянесовместными, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании,совместнымив противном случае. |
Пример2.
Один стрелок производит выстрел по мишени, при одном выстреле он не может попасть в две зоны, в «девятку» и в «десятку», значит эти события несовместны.
Один стрелок производит два выстрела, он может попасть два раза в одну и туже зону, например, в «девятку», значит данные события совместные.
|
Определение.
|
События А1,А2, …,Аnназываютсяединственно возможными, если в результате испытания происходит какое-либо одно из этих и только этих событий. |
Пример3.
Игральную кость1бросают один раз. СобытияА1,А2, …,А6, состоят, соответственно, в выпадении чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти события являются единственно возможными.
Стрелок производит выстрел по мишени, разделенной на десять зон. События попадания в каждую зону не единственно возможные, так как стрелок может вообще не попасть в мишень.
|
Определение.
|
События называются элементарными, если их нельзя разложить на более простые, в противном случае они –составные (сложные).
|
или
Пример 4.
Событие А– достанем либо черный шар, либо белый, является составным.
Событие В– достанем белый шар, является элементарным.
|
Определение.
|
М
|
ножество
всех попарно несовместных и единственно
возможных элементарных событий,
которые все вместе образуют достоверное
событие, образуютпространство
элементарных событий, илиполную
группу событий.
Пример 5.
Пусть опыт состоит в двукратном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами:
(илиwор)
–выпадение «орла» при
первом подбрасывании и – «решки» при
втором;
(илиwро)
–выпадение «решки»
при первом подбрасывании и – «орла»
при втором;
(илиwоо)
–выпадение «орла» при
первом и втором подбрасывании;
(илиwрр)
–выпадение «решки»
при первом и втором подбрасывании.
Таким образом, пространство
элементарных исходов
,
т.е. оно состоит из четырех исходов.
Введем иное определение случайного события.
|
Определение.
|
Любой набор элементарных исходов, или, иными словами, произвольное подмножество пространства элементарных исходов, называют событием. Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемого подмножества (события), называют элементарными исходами, благоприятствующими данному событию, или образующими это событие. |
Пример (продолжение примера 5).
Событие А – выпадет либо «орел», либо «решка» (выпадение «орла» – это один элементарный исход, благоприятствующий данному событию, выпадение «решки» –это второй);
событие В – выпадет только «орел».
|
Определение.
|
Противоположное событие к А(«не»А) – это событие, состоящее в не наступлении событияА.
|
Пример (продолжение примера5).
С
обытияА –
выпадет либо «орел», «решка», тогда
– это не выпадет либо «орел», либо
«решка», т.е. выпадет только «орел» или
только «решка».
Проиллюстрируем события
из примера 5 и на диаграммах Эйлера–Венна.
Изобразим все
пространство элементарных исходов
прямоугольником (см. Error: Reference source not found).
При этом каждый элементарный исход
соответствует точке
внутри прямоугольника, а каждое событие
А –
некоторому подмножеству точек этого
прямоугольника.
Рассмотрим теперь операции (действия) над событиями, которые, по существу, совпадают с операциями над подмножествами (См. таблица 1). Эти операции будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера – Венна. На диаграммах закрасим области, соответствуют событиям, являющимся результатами таких операций.
Таблица 1. Операции над событиями
|
Определение.
|
Если
одновременно выполняется
|
и
,
то событияА
и В
называются равносильными,
или равными
(
).После введения операций над событиями можно ввести иные определения полной группы событий, совместных и не совместных событий.
|
Определение.
|
|
С
обытия
А и
В называют
несовместными1,
или непересекающимися,
если их пересечение
является невозможным событием, т.е.
если
.
В противном случае
события
называют совместными,
или пересекающимися.
|
Определение.
|
События
|
образуютполную
группу событий,
если:
для любых
;
.
Пример 6.
События А
и
образуют ли полную группу событий?
Решение.
Так как
и
,
значит событияА
и
образуют полную группу событий.
Приведем основные законы (свойства) операций над событиями.
|
Основные законы (свойства) операций над событиями:
| |
|
б)
б)
|
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
.
,
.
,
.
,
.
.
.
Пример 7.Доказать, что
,
гдеАиВ– случайные события.
Привести геометрическую интерпретацию.
Решение.
Покажем на диаграммах Эйлера-Венна,
что
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
Диаграммы Эйлера-Венна помогают найти доказательство, являясь иллюстрациями к нему, но сами не являются доказательством, поскольку не все можно изобразить на диаграммах, докажем равенство событий при помощи свойств операций над событиями.
Применяя свойства операций над событиями к левой части выражения получим выражения стоящее в правой части:
При доказательстве данного равенства можно было упрощать выражение стоящее в правой части до выражения находящего в левой части данного равенства:
.
Таким образом, события
и
равносильны между собой.
Так как под операциями над событиями понимаются операции над соответственными множествами, то можно установить следующие соответствия между терминами теории множеств и теории вероятностей.
Таблица 2. Термины теории множеств и теории вероятностей
|
Теория множеств |
Теория вероятностей |
|
Универсальное множество
|
Пространство элементарных событий, достоверное событие
|
|
Элемент множества
|
Элементарное событие (элементарный исход)
|
|
Пустое множество Ø |
Невозможное событие Ø |
|
Подмножество А |
Событие А |
|
Дополнение множества А
|
Противоположное событие к событию А
|
|
Объединение множеств А и В
|
Сумма событий А и В
|
|
Пересечение множеств А и В
|
Произведение событий А и В
|
|
А есть подмножество множества В
|
Событие А влечет появление события В
|
|
Множества А и В равны
|
Множества А и В равносильны
|
