Упражнения для выполнения

1. Укажите, какие из следующих событий являются: случайными, достоверными, невозможными:

   1. выигрыш по одному билету лотереи;

   2. извлечение из урны цветного шара, если в ней находятся 3 синих и 5 красных шаров;

   3. получение абитуриентом 25 баллов на вступительных экзаменах в институте при сдаче четырех экзаменов, если применяется пятибалльная система оценок;

   4. выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика.

2. Образуют ли полную группу следующие группы событий:

   1. Опыт – бросание монеты;

события:

– появление герба;

– появление цифры.

2. Опыт – бросание двух монет;

события:

– появление двух гербов;

– появление двух цифр.

3. Опыт – два выстрела по мишени;

события:

– не одного попадания;

– одно попадание;

– два попадания.

4. Опыт – вынимание карты и колоды;

события:

– появление карты черновой масти;

– появление карты бубновой масти;

– появление карты трефовой масти.

5. Опыт – вынимание двух карт из колоды;

события:

– появление двух черных карт;

– появление туза;

– появление дамы.

3. На десяти жетонах выбиты числа 1; 2; 3; ….; 10. Наудачу извлекается один жетон. В каких из следующих ответов указаны все возможные исходы испытаний:

   1. {четное; нечетное};

   2. {простое;4; 6; 8; 9; 10};

   3. {четное; 1; 3; 5};

   4. {не более трех; не менее четырех}?

4. В каких из следующих примеров указаны все возможные исходы испытания:

   1. выигрыш, проигрыш в футбольном матче;

   2. выпадение (в указанном порядке) герба – герба, герба – цифры, цифры – цифры при двукратном подбрасывании монеты;

   3. попадание, промах при одном выстреле;

   4. появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при однократном бросании кости?

5. Для испытания, состоящего в двукратном броске игрального кубика, запишите все возможные исходы испытания, если элементы пространства элементарных событий:

   1. являются упорядоченными парами чисел mиn¹;

   2. являются неупорядоченными парами чисел mиn;

   3. являются сумами mиn.

6. Сколько событий можно составить из пространства элементарных событий . Укажите их.

7. Событие Вявляется частным случаем событияА. Чему равны их сумма, разность и произведение?

8. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событиеВ), либо третьего сорта (событиеС). Что представляют собой следующие события:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. .

9. В городе № объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших банк. Чтобы предотвратить утечку информации о ходе розыска, майор Зимин зашифровал сообщения в Центр следующим образом: Р – обнаружен Рыков; У – обнаружен Угрюмов; Ф – обнаружен Фомкин и Т – обнаружен Трошкин. Расшифруйте следующие сообщения:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. .

10. Мощность состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами (i = 1, 2, 3, …, 10), причем. Событие- попадание в круг радиуса. Что означают события:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. .

11. Из колоды карт извлекают одну. Событие А– вынут валет «пик»; событиеВ– вынута дама «пик». Запишите события и проиллюстрируйте их на диаграммах Эйлера-Венна:

    1. не вынули валет «пик»;

    2. вынули или валет «пик», или даму «пик»;

    3. вынули даму «пик», но не валет «пик»;

    4. не вынули валет «пик»;

    5. не вынули или даму «пик», или валет «пик»;

    6. вынули сразу валет «пик» и даму «пик»;

    7. вынули другую карту, отличную от валета «пик» и дамы «пик».

12. В сессию студент должен был сдать два зачета и один экзамен. Событие А состоит в том, что студент получил зачет по информатике; событие В – он получил зачет по математике; событие С – сдал экзамен по праву. Какие события изображены в виде диаграмм Эйлера-Венна на Рисунок 2 под буквами а) – и)? Запишите полученные события.

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

и)

Рисунок 2

13. Когда события иАравносильны?

14. Установите, какие из следующих соотношений верны, а какие нет при помощи диаграмм Эйлера-Венна:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. .

15. При каких условиях справедливы следующие соотношения:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ?

16. Сумма двух событий может быть выражена как сумма двух несовместных событий, а именно . Выразите аналогичным образом сумму трех событийА,В, C.

17. Установите, какие из следующих соотношений верны:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. .

18. Упростите следующие выражения:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. .

19. Доказать, что события А,, образуют полную группу событий.

20. Докажите равенства:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. .

21. В некоторой электрической цепи выход из строя эле­мента i – событие , запишите выражения для следующих собы­тий и, еслиА означает разрыв цепи. Цепи представлены на Рисунок 3 под буквами а) – з).

Рисунок 3. Примеры цепей