 Определения вероятности

Определение.

Вероятность событияА – это некоторая числовая характеристика возможности наступления события.

Рисунок 4. Вероятность событий

Таким образом, без доказательств и определения вероятности, можно сформулировать свойства вероятности:

Свойства вероятности:

1. Если событие А– невозможно, тоP(A) = 0.

2. Если событие А– достоверное, тоP(A) = 1.

3. Если событие А– случайное, то 0Р(A)1.

4. Вероятность противоположного события равна .

Существует несколько подходов к определению вероятности:

Определение.

Два или несколько событий называются равновозможными^1, если объективно шансы на их наступление одинаковы (вероятности появления данных событий равны между собой).

Пример.

Пусть события - это выпадение соответственных очков на игральной кости. У данных событий имеются одинаковые шансы на появление, поэтому они являются равновозможными и вероятности выпадения соответственных очков равны.

Упражнения для выполнения

1. Из 6000 взятых наудачу деталей оказалось 23 бракованные детали. Найдите частность бракованных деталей в данной партии.

2. Французский естествоиспытатель XVIIIв. Бюффон бросил монету 4040 раз, в результате чего герб выпал 2048 раз. Найдите частность выпадения герба.

3. Произведя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 89 раз. Чему равна частность попадания в цель у данного стрелка?

4. Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Найдите частность рождения девочек.

5. По данным ГКС по РФ на 2006/07 уч.год распределение обучающихся в учреждениях общего и профессионального образования было следующее:

Учреждения	Численность обучающихся, тыс.человек
общеобразовательные	14787,8
начального профессионального образования	1412,7
среднего профессионального образования	2514,0
высшего профессионального образования	7309,8
аспирантура и докторантура	150,3
Всего	26174,6

Определить частность обучающихся в различных учреждениях общего и профессионального образования.

6. Среди студентов первого курса дни рождения распределены по дням рождения и месяцам, следующим образом:

	пн	вт	ср	чт	пт	сб	вс
январь	1	3	0	3	4	3	2
февраль	1	2	1	2	3	1	0
март	1	1	2	3	2	1	0
апрель	1	2	0	4	2	2	2
май	2	2	2	1	4	1	4
июнь	1	1	0	0	1	1	3
июль	1	0	2	1	3	1	1
август	4	2	2	2	4	0	1
сентябрь	3	1	0	1	3	3	1
октябрь	3	3	1	3	3	2	3
ноябрь	1	3	2	4	1	2	3
декабрь	4	3	1	0	3	4	1

Определить частность появления событий:

1. студент родился летом;

2. студент родился в воскресенье;

3. студент родился в ноябре;

4. студент родился в январе или в феврале;

5. студент родился не зимой.

1. Какие из следующих пар событий противоположны:

   1. один экзамен студентом сдан на «отлично»; сдан на «неудовлетворительно»;

   2. хотя бы одна пуля при двух выстрелах попадает в цель;

   3. ни одна из двух пуль при двух выстрелах не попадает в цель.

2. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

   1. на контрольной работе больше половины класса получили пятерки;

   2. все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

   3. в нашей группе все умные и красивые;

   4. в кошельке у меня есть два рубля одной монетой, или десять рублей одной бумажкой.

3. Заполните таблицу согласно опыта, который состоит в однократном бросании игральной кости:

Событие А	Исходы благоприятствующие появлению события А		Общие исходы	N
число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, кратно трем
на верхней грани игральной кости выпало нечетное число очков
число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, больше трех
число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, меньше семи
число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, не является целым числом
число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, заключено в пределах от 0,5 до 1,5

10. Бросаются две монеты. Какое из событий является более вероятным:

А– монеты выпадут с одинаковыми сторонами;

В– монеты выпадут с разными сторонами?

11. Кубик бросают два раза. Опишите пространство элементарных исходов. Узнайте:

    1. что чаще будет выпадать одиннадцать или двенадцать очков и с какой вероятностью;

    2. какие очки выпадают чаще и с какой вероятностью?

12. В урне 6 белых и 9 черных шаров. Из урны наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того,что этот шар – белый.

13. В урне 6 белых и 9 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

14. В урне 6 белых и 9 черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, – тоже белый.

15. Из урны, содержащей 6 белых и 9 черных шаров, вынимают один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет белым.

16. Из урны, в которой 6 белых и 9 черных, вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

17. В урне 6 белых и 9 черных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

18. В урне 6 белых и 9 черных шаров. Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три черными.

19. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно:

А– шары одного цвета;

В– шары разных цветов.

20. Определить вероятность того, что случайно выбранное натуральное число:

    1. будет кратно 5;

    2. делится ни на 2, ни на 5;

    3. делится на 2 или на 3;

    4. делится менее чем на 5.

21. Замок камеры хранения имеет четыре диска, каждый из которых разделен на 10 секторов; на секторах каждого из дисков написаны цифры 0, 1, 2, 3, …, 9. Какова вероятность открыть закрытую камеру для человека забывшего все, что он набрал на дисках, закрывая камеру.

22. В фирме работают 8 человек одинаковой квалификации, среди них работает Иванов. Случайно выбранным трем из них (из восьми) поручают три различных вида работ (первому выбранному – работу первого вида, второму выбранному – второго вида, третьему – третьего вида). Какова вероятность того, что работа первого вида будет поручена Иванову.

23. Инвестор формирует портфель ценных бумаг. Он может вложить свои деньги в акции 5 различных фирм. Сколькими способами инвестор может образовать набор из 7 акций, и какова вероятность того, что в набор попадут 4 акции, принадлежащие различным фирмам.

24. Группа состоит из 20 студентов. Для дежурства по институту наудачу выбирают 3 студента. Требуется найти вероятность того, что будут выбраны первые три студента по списку.

25. У врача есть 3 вида одного лекарства, 2 вида – другого и 4 вида – третьего. В течение девяти дней он каждый день предлагает больному по одному лекарству. Сколькими способами он может выделить больному лекарства.

26. По следствию должны пройти четырех человек: Иванов, Петров, Сидоров, Козлов. Какова вероятность того, что в списке этих четырех человек, составленном случайным образом Сидоров будет идти перед Ивановым.

27. В магазине имеется 7 видов небольших пирожных, из которых составлены наборы, содержащие по три пирожного. Какова вероятность того, что покупателю достанется один из наборов.

28. Из колоды в 36 карт наудачу извлекают 10 карт. Найдем вероятность того, что среди выбранных карт окажутся четыре карты пиковой масти, три – трефовой, две – бубновой и одна – червовой.

29. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь то, что эти цифры различны, набрал их наугад. Определите вероятность того, что набраны нужные цифры.

30. Найдите вероятность того, что у игрока будет набор из 6 карт содержащий 3 дамы, 2 короля и 1 туз.

31. Из урны, содержащей 10 перенумерованных шаров, наугад выбирают один за другим все находящиеся в ней шары. Найдите вероятность того, что все номера вынутых шаров будут идти по порядку.

32. Пять человек вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Какова вероятность того, что человек выйдет на нужном ему этаже.

33. В ход соревнования, в котором участвовало 10 спортсменов, было выявлено 3 финалиста. Чему равна вероятность того, что финалист займет первое место.

34. В цветочном салоне из 10 роз и 8 георгинов составляют букеты, содержащие по 2 розы и 3 георгина. Чему равна вероятность того, что покупателю достанется один из собранных букетов?

35. Из колоды в 52 игральные карты выбирают наудачу три карты. Найдем вероятность того, что среди этих карт будут тройка «пик», семерка «пик», туз «пик».

36. Найдите вероятность того, что человек назовет одно из «слов» составленных из букв слова «MISSISSIPPI».

37. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

38. Замок камеры хранения имеет четыре диска, каждый из которых разделен на 10 секторов; на секторах каждого из дисков написаны цифры 0, 1, 2, 3, …, 9. Какова вероятность открыть закрытую камеру для человека, помнящего только цифру, набранную на первом диске.

39. Чему равны вероятности попадания некоторой точки в заштрихованные области на Рисунок 5 под буквами а) –л):

Рисунок 5

40. На отрезок бросили наудачу поочередно две точки. Если вероятность попадания на рассматриваемых точек на отрезок равна 0,5, то как относительно друг друга располагаются данные точки (левее, правее или совпадают между собой)?

41. Зимним вечером между 18 и 19 часами два друга Иван и Олег договорились встретиться около кинотеатра. Чему равна вероятность встречи Ивана и Олега, если приход каждого из них на место встречи, может произойти наудачу в течение указанного часа и моменты прихода независимы, причем:

    1. пришедший первый на место встречи ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит;

    2. пришедший первый на место встречи ждет другого не более 10 минут, после чего уходит.

42. К перекрестку, регулируемому светофором, подъезжает автомобиль. Время работы красного и желтого сигналов составляет 30 секунд, зеленого – 20 секунд. Найти вероятность того,что автомобиль проедет без остановки.