 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Определение.

Если появление одного события влияет на появление другого, то такие события называются зависимыми, в противном случаенезависимыми.

Пример 3 (независимые события).

Вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Пример 4 (зависимые события).

Определение.

Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событиеАуже наступило, называетсяусловной вероятностьюи обозначается .

Упражнения для выполнения

1. Являются ли совместными следующие события:

   1. Опыт – бросание монеты;

события:

– появление герба;

– появление цифры.

2. Опыт – бросание двух монет;

события:

– появление герба на первой монете;

– появление цифры на второй монете.

3. Опыт – два выстрела по мишени;

события:

– не одного попадания;

– одно попадание;

– два попадания.

4. Опыт – два выстрела по мишени;

события:

– хотя бы одно попадание;

– хотя бы один промах.

2. Какие из следующих пар событий являются несовместными:

   1. наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: делится на 10; делится на 11;

   2. нарушение в работе: первого; второго мотора летящего самолета;

   3. попадание; промах при одном выстреле;

   4. выигрыш; проигрыш в шахматной партии;

   5. наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: четным; кратным трем?

3. Бросается игральная кость. Какие из следующих событий несовместны, а какие – совместны:

   1. А– выпало четное число очков,В– выпало нечетное число очков;

   2. А– выпало нечетное число очков,В– выпавшее число очков кратно трем;

   3. А– выпало простое число очков,В– выпало четное число очков?

4. Выбирается один человек из студенческой группы. Какие из следующих событий несовместны, а какие – совместны:

   1. А– выбран юноша,В– выбрана девушка;

   2. А– выбран юноша,В– выбран член команды КВН;

   3. А– выбрана девушка,В– выбран мастер спорта по футболу?

5. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. рассматриваются события:

А– «выпадение герба на первой монете»;

D– «выпадение хотя бы одного герба»;

E– «выпадение хотя бы одной цифры»;

F– «выпадение герба на второй монете».

Определите, зависимы или независимы пары событий.

1. A иE;

2. Aи F;

3. D и E;

4. D и F.

1. Пусть А,В, С– произвольные события. Что означают следующие события:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. ;

   5. .

2. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела по мишени. Событие - «попадание в мишень приk-ом выстреле ()». Выразите через,,следующие события:

   1. А– «хотя бы одно попадание»;

   2. B – «три попадания»;

   3. C – « три промаха»;

   4. D– «хотя бы один промах»;

   5. E– «не меньше двух попаданий»;

   6. F– «не более одного попадания»;

   7. G– «попадание после первого выстрела».

3. Опыт состоит в бросании двух монет. Определите, каким событиям из левого списка равносильны события из правого списка таблицы.

События	Равносильны	События
А– «появление герба на первой монете»
B– «появление цифры на первой монете»
C– «появление герба на второй монете»
D– «появление цифры на второй монете»
E– «появление хотя бы одного герба»
F– «появление хотя бы одной цифры»
G– «появление одного герба и одной цифры»
H– «не появление ни одного герба»
K – «появление двух гербов»

9. Пусть , и . Найдите.

10. Пусть и . Совместны ли событияАиВ?

11. Может ли сумма двух событий АиВсовпадать с их произведением? Что можно сказать об их вероятностях?

12. Игральная кость брошена 4 раза. Найдите вероятность того, что каждый раз выпадала цифра 1.

13. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

14. Два стрелка ведут стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка – 0,7, для второго – 0,8. Найдите вероятность поражения цели хотя бы одним стрелком, если каждый сделал по выстрелу.

15. В одной урне 1 белый и 4 черных шара, а в другой – 2 белых и 3 черных, в третьем – 3 белых и 2 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найдите вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый и 2 черных шара.

16. Имеется две колоды по 36 карт. Из каждой колоды наудачу выбрали по карте. Найдите вероятность того,что это будут два туза.

17. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что студент знает каждый из двух вопросов, заданных ему экзаменатором?

18. В одной урне 3 белых и 5 черных шаров, в другой – 5 белых и 2 черных. Из каждой урны взяли по шару. Какова вероятность того, что шары будут одного цвета?

19. Совместны ли события Аи?

20. В семье четверо детей. Считая, что рождение мальчика и девочки одинаково вероятны, найдите вероятность того, что среди детей:

    1. все мальчики;

    2. все одного пола;

    3. хотя бы один мальчик.

21. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Определите вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.

22. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, большей , можно было ожидать появления цифры 6 хотя бы в одном случае?

23. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей 0,95?

24. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на Рисунок 6. Элементы цепи работают независимо друг от друга. Вероятность выхода из строя за время tэлемента цепиaравна 0,1, элементаb– 0,2 и элементас– 0,3.

    1. Найдите вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

    2. Найдите вероятность бесперебойной работы цепи за указанный промежуток времени.

Рисунок 6. Примеры схем

1События, также как и множества, можно наглядно представлять в виде диаграмм Эйлера–Венна.

1Под игральной костью будем понимать кубик с 6 гранями, на каждой из которых записаны очки от 1 до 6.

1В частности, события называютпопарно несовместными (непересекающимися), если для любых, и несовместными (непересека­ющимися) в совокупности, если .

1mиn– выражают число очков, выпавших при каждом броске.

1За равновозможные события можно принять события, по которым отсутствует информация о различии шансов на наступление, хотя объективно эти шансы могут быть различными.

5