Решение

На основе расчетной схемы (рис. 8) составим уравнение равновесия. Из уравнения равновесия найдем реакцию :

Составим выражения продольных сил на каждом участке и найдем их граничные значения:

Рассчитаем нормальные напряжения в граничных сечениях на каждом участке:

Относительные деформации на границах участков:

Абсолютные деформации участков:

Эпюра перемещений строится от неподвижного сечения.

Перемещения сечений (при ,):

Поскольку эпюра N пересекает ось z на 1 и 4 участках, то на эпюре перемещений следует искать экстремумы. Для определения, соответствующих координат , приравняем нулю уравнениеN на 1 и 4 участках:

Строим эпюры по рассчитанным значениям (рис. 8).

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ ЗАДАНИЕ №2

Анализ плоского напряженного состояния при кручении

и растяжении-сжатии

Задан брус, нагруженный внешними крутящими моментами и осевыми силами, как указано на схемах (рис.9). Требуется:

1. Раскрыть статическую неопределимость бруса.

2. Определить внутренние силовые факторы, напряжения и перемещения.

3. Построить эпюры продольных сил , нормальных напряжений, продольных (осевых) перемещений, крутящих моментов, максимальных касательных напряжений, относительныхи абсолютных углов закручивания.

4. Исследовать напряженное состояние в опасных точках и оценить прочность по гипотезе наибольших касательных напряжений, приняв []=120 МПа.

5. Определить и(по требованию преподавателя).

Схемы нагружения приведены на рис. 9. Числовые данные заданы в табл. 4.

Порядок решения задачи

1. Вычерчиваем расчетные схемы отдельно для кручения и для растяжения-сжатия, указываем внешние нагрузки, размеры всех участков, вычисляем все геометрические характеристики на участках бруса. Каждую из схем решаем отдельно.

2. Составляем уравнения равновесия для каждой схемы.

3. Определяем степень статической неопределимости систем.

4. Так как полученные системы один раз статически неопределимые, то реакции в опорах определяем из уравнений совместности деформаций (перемещений). Рекомендуется после раскрытия статической неопределимости (определения реакций опор) проверить правильность решения путём составления уравнений совместности деформаций для второго опорного сечения.

5. Используя метод сечений для каждого участка, составляем уравнения для внутренних силовых факторов. При растяжении-сжатии для продольных сил , при кручении для крутящих моментов. Рассчитываем их граничные значения на каждом участке бруса. Строим эпюры внутренних силовых факторов.

6. Вычисляем нормальные (при растяжении-сжатии) и касательные(при кручении) напряжения в граничных сечениях бруса. Строим эпюры напряжений.

7. Рассчитываем абсолютные линейные деформации и перемещения (при растяжении-сжатии); относительныеи абсолютные угловые деформации, абсолютные углы закручивания(при кручении). Строим эпюры. При построении эпюр следует руководствоваться известными правилами контроля. Обязательно определять экстремумы, если они имеются.

8. Исследуем напряженное состояние в наиболее опасных точках (это точки, в которых нормальное или касательное напряжение имеет наибольшее значение или оба одновременно достаточно велики). Окончательное заключение о наиболее опасной точке делают по величине эквивалентного напряжения.

9. Сопоставляя наибольшие эквивалентные и допускаемые напряжения, делаем заключение о прочности конструкции.

10. Для наиболее опасного сечения (по требованию преподавателя) делаем анализ напряжённого состояния: определяем величины и направление главных напряжений.

Примечание: учесть знаки напряжений; если , тоопределяет положение 1-ой главной оси относительно направления напряжения; если, тоопределяет положение соответственно 2-ой главной оси.

Таблица 4
№	m, кН	М1, кНм	М2, кНм	F1, кН	F2, кН	d1, м	d2, м	d3, м	l, м
1	0,8	0,2	0,5	60	120	0,02	0,025	0,03	0,50
2	0,7	0,2	0,2	65	110	0,022	0,027	0,032	0,60
3	0,9	0,3	0,4	70	100	0,024	0,029	0,034	0,40
4	0,6	0,4	0,2	75	90	0,026	0,031	0,036	0,55
5	1,0	0,5	0	80	85	0,028	0,033	0,038	0,45
6	1,2	0,45	0,1	85	80	0,03	0,035	0,040	0,35
7	1,1	0,2	0,35	90	75	0,032	0,037	0,042	0,50
8	0,5	0,3	0,3	100	70	0,034	0,039	0,044	0,70
9	1,3	0,25	0,4	110	65	0,036	0,041	0,046	0,65
10	0,4	0,2	0,5	120	60	0,038	0,043	0,048	0,80
11	0,8	0,35	0,2	105	50	0,04	0,044	0,050	0,75
12	0,7	0,55	0,15	50	95	0,042	0,050	0,055	0,40

Пример

Дана схема (рис. 10).

m=1,4 кН; М=0,5 кН∙м; F=30 кН; d₁=38 мм; d₂=43 мм; d₃=48 мм; l=0,6 м.