Решение

Определим геометрические характеристики сечений.

Моменты инерции :

Моменты сопротивления :

Площади сечений :

Расчёт на кручение.

Рассмотрим расчетную схему на кручение (рис. 11).

Составляем уравнения равновесия крутящих моментов.

Определяем степень статической неопределимости системы.

S = 2 – 1 =1.

Раскрываем статическую неопределимость. Удаляем левую опору и заменяем ее реактивным моментом М_А. Разбиваем вал на участки. Составляем уравнение совместности деформаций, приравняв нулю перемещение левого конца вала относительно правого:

Выражения для крутящих моментов:

Тогда уравнение совместности деформаций примет вид:

После преобразований получим:

Подставляем числовые значения и получаем

Подставив в уравнение равновесия найдемМ_B.

Для проверки правильности нахождения реакций, удаляем теперь правую опору и заменяем ее реактивным моментом М_B. Составим уравнение совместности деформаций, приравняв нулю перемещение правого конца вала относительно левого:

Выражения для крутящих моментов:

Тогда уравнение совместности деформаций примет вид:

После преобразований получим:

Подставляем числовые значения и , получаем.

Реакции найдены верно.

Определяем крутящие моменты, максимальные касательные напряжения, относительные и абсолютные углы закручивания.

Крутящие моменты:

Максимальные касательные напряжения:

Относительные углы закручивания:

Абсолютные углы закручивания:

Так как на втором участке эпюра пересекает ось, то в точке пересеченияна эпюре углов закручивания наблюдается экстремум.

Координату найдём из выражения

Тогда

Строим эпюры рассчитанных параметров (рис.11).

Расчёт на растяжение-сжатие.

Рассмотрим расчетную схему на растяжение-сжатие (рис. 12).

Составляем уравнения равновесия:

Определяем степень статической неопределимости системы.

S = 2 – 1 =1.

Раскрываем статическую неопределимость. Удаляем левую опору и заменим ее реакцией R_A. Разбиваем стержень на участки. Составляем уравнение совместности деформаций, приравняв нулю перемещение левого конца стержня относительно правого:

Выражения для продольных сил:

Тогда уравнение совместности деформаций примет вид:

После преобразований получим:

Подставляем числовые значения и получаем

Подставив в уравнение статики найдемR_В.

Для проверки правильности нахождения реакций, удаляем правую опору и заменим ее реакцией R_В. Разбиваем стержень на участки. Составляем уравнение совместности деформаций, приравняв нулю перемещение правого конца стержня относительно левого:

Выражения для продольных сил:

Тогда уравнение совместности деформаций примет вид:

После преобразований получим:

Подставляем числовые значения и , получаем.

Реакции найдены верно.

Определяем продольные силы, нормальные напряжения, перемещения. Продольные силы:

Нормальные напряжения:

Абсолютные деформации:

Перемещения:

Строим эпюры по рассчитанным значениям (рис. 12).

Наиболее опасными могут быть близкие к поверхности вала точки на 1-ом и 3-ем участке.

В точке С:

В точке Д:

Вывод: точкаД – наиболее опасная точка, Условие прочности выполняется.

Для данного случая напряженного состояния главные напряжения в т. Д определяются:

Тогда

Положение главных площадок:

.

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ ЗАДАНИЕ №3

Определение напряжений и перемещений балок при изгибе

Для каждой из двух заданных балок требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям рассчитать размеры поперечного сечения, приняв : для консольной балки подобрать размерыb и h прямоугольного поперечного сечения (принять h=1,5b); для двухопорной балки подобрать двутавр. Вычертить в масштабе поперечные сечение балки.

3. В сечении, в котором действует максимальная поперечная сила, вычислить величину максимального касательного напряжения.

4. Используя метод начальных параметров, определить углы поворота и прогибы в сечении С.

Расчетные схемы балок приведены на рис. 13. Числовые данные – в табл. 5.

Порядок решения задачи

1. Вычертить расчетную схему балки, указав на ней все заданные нагрузки и размеры.

2. Определить реакции в опорах.

3. Записать выражения для поперечных сил и изгибающих моментов для всех участков балки. Определить их граничные значения. Построить эпюры внутренних силовых факторов.

4. Подобрать размер поперечного сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям для наиболее нагруженного (опасного) сечения. Вычертить в масштабе поперечное сечение балки.

5. По формуле Журавского вычислить максимальное касательное напряжение в сечении, в котором действует наибольшая поперечная сила.

6. Записать универсальное уравнение упругой оси балки. Определить начальные параметры, исходя из граничных условий закрепления балки.

7. Определить углы поворота и прогибы в указанном сечении балки сечения С.

Таблица 5
№	q, кН/м	Р1, кН	Р2, кН	М, кНм	l, м
1	10	20	5	10	0,8
2	12	3	15	9	0,75
3	14	16	3	11	0,7
4	16	2	11	8	0,65
5	18	12	2	12	0,6
6	20	4	17	7	0,55
7	19	11	2	13	0,5
8	17	2	16	6	0,7
9	15	3	18	14	0,8
10	13	17	4	5	0,65
11	11	18	5	12	0,75
12	18	3	14	15	0,9

Пример

Дана балка:

Принять =1000 кН/м;l=1 м.

Форма поперечного сечения: двутавр.