Решение

Определяем опорные реакции R_A и R_B (рис. 14).

Проверка

Реакции найдены верно.

Составим выражения для поперечных сил и определяем их значения на границах участков:

Составляем выражения изгибающих моментов и определяем их значения на границах участков:

Поскольку эпюра Q_y пересекает ось z на первом участке, то в точке пересечения на эпюре находится экстремум. Найдем его, для чего приравняем нулю уравнениеQ_y на первом участке:

Подставим это значение в выражение дляМ_х:

Строим эпюры Q_y и М_х (рис. 14).

Записываем условие прочности

Отсюда

Из [3] по ГОСТ 8239-72 выбираем двутавр №30: W_x1=472 см³,

Дополнительный запас по прочности составит:

.

Определяем касательные напряжения в сечении, в котором действует максимальная поперечная сила:

Для составления уравнений перемещений поместим начало координат в левое крайнее сечение балки, распределенную нагрузку q продолжим до конца балки, скомпенсировав ее действие на длине l/2 нагрузкой противоположного направления (рис. 14). Тогда уравнения углов поворота сечений и прогибов (универсальные уравнения упругой оси балки) для данной балки будут иметь вид:

Здесь последние слагаемые учитывают распределенную компенсирующую нагрузку.

Начальные параметры – угол поворота сечения ₀ и прогиб в начале системы координат y₀ найдем из граничных условий – отсутствия прогиба балки на опорах:

Из первого условия следует .

Из второго условия получаем:

После подстановки численных значений находим:

Окончательные уравнения углов поворотов сечений и прогибов имеют вид:

Определим угол поворота и вертикальное перемещение сечения С, находящегося на расстоянии l/2=0,5 м от начала координат:

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ ЗАДАНИЕ №4

Статически неопределимая плоская рама

Для заданной статически неопределимой плоской рамы требуется.

1. Раскрыть статическую неопределимость методом сил. Проверить правильность решения.

2. Построить эпюры продольных сил, поперечных сил, изгибающих моментов.

3. Подобрать размеры сечения рамы из условия прочности по нормальным напряжениям, приняв [] = 120 МПа. Поперечное сечение рамы – круг.

4. Определить горизонтальное (точка А) или вертикальное (точка В) перемещение и угол поворота (сечение Е).

Схемы заданий приведены на рис.15. Числовые данные – в табл. 6.

Порядок решения задачи

1. Определить степень статической неопределимости рамы.

2. Составить каноническое уравнение метода сил.

3. Выбрать наиболее рациональную основную систему и изобразить соответствующую эквивалентную систему.

4. Изобразить схему нагружения основной системы внешней и необходимой единичной нагрузками.

5. Записать уравнения изгибающих моментов для всех участков рамы от единичного нагружения и от внешней нагрузки.

6. Вычислить коэффициенты канонических уравнений метода сил с помощью интеграла Мора. Решить полученное уравнение относительно неизвестной реакции.

7. Проверить решение: выбирается новая основная система и с помощью интеграла Мора вычисляют перемещение одного из сечений, которое заведомо равно нулю (перемещение в направлении удаленной связи [5]).

8. Записать уравнения внутренних силовых факторов, вычислить их граничные значения и построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов.

9. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить размеры поперечного сечения.

10. Определить перемещения заданных сечений.

Таблица 6
№ стр.				n	q, кН/м	а, м
1	0,5	2,0	1,0	1,5	30	0,5
2	0,7	1,5	2,0	0,6	20	0,6
3	1,0	1,0	0,5	2,0	15	0,8
4	1,2	0,5	2,0	1,0	10	1,0
5	1,4	1,0	1,5	1,0	25	0,8
6	1,6	1,5	1,0	2,0	20	0,6
7	1,8	0	2,0	0,5	10	0,5
8	0,2	1,0	1,0	2,0	15	1,2
9	0,4	2,0	1,5	2,0	20	0,8
10	0,6	1,5	0,5	1,0	20	1,0
11	0,8	1,2	0,8	1,4	22	0,8
12	0,9	0,8	1,2	0,6	28	1,1
Принять Р = qa; М = nqa^2.

Пример

Задана рама (рис. 16). q = 10 кН/м; а = 3 м.

Решение

1. Определяем степень статической неопределимости рамы.

В данной раме четыре неизвестных реакций опор: три в жесткой заделке и одна в шарнирно-подвижной опоре. Для рамы можно составить четыре уравнения равновесия. Степень статической неопределимости Следовательно, рама один статически неопределима.

2. Составляем каноническое уравнение метода сил:

3. Выбираем наиболее рациональную основную систему и изображаем соответствующую эквивалентную систему. Основную систему получаем, отбрасывая одну лишнюю связь (шарнирно-подвижную опору) и все внешние нагрузки (рис. 17). Заменяя действие связи на раму неизвестной реакцией Х₁ и прикладывая обратно все внешние нагрузки получаем эквивалентную систему (рис. 18).

Разбиваем раму на участки и выбираем для каждого участка направление осиz.

4. Изображаем схемы нагружения основной системы вертикальной единичной(рис. 19) и внешней нагрузкой (рис. 20).

5. Составляем уравнения изгибающих моментов на каждом участке.

При нагружении единичной силой (рис. 19).

Определим реакции в заделке.

Запишем уравнения изгибающих моментов в сечениях рамы от единичной нагрузки:

При нагружении заданной внешней нагрузкой.

Определим реакции в заделке.

Уравнения изгибающих моментов в сечениях рамы:

6. Вычисляем коэффициенты канонических уравнений метода сил с помощью интеграла Мора:

.

Подставляя результаты в каноническое уравнение, получаем:

Таким образом, эквивалентная система имеет вид (рис. 21).

Определим реакции в заделке.

Составим уравнения изгибающих моментов.

(кНм);

(кНм).

7. Для проверки правильности решения задачи выберем основную систему (рис. 22), отличную от принятой ранее системы (рис. 17). Рассматриваем систему при трёх видах нагружения: приложена единичная нагрузка, соответствующая искомому перемещению – момент в точке А (рис. 22а), активная нагрузка (рис. 22б) и реактивная нагрузка взамен отброшенной связи (рис. 22в). В точке А угол поворота сечения рамы должен быть равен нулю.

Рассматриваем систему (рис. 22а) с единичной нагрузкой в точке А.

Определим опорные реакции:

Уравнения изгибающих моментов от единичной силы:

Рассматриваем систему (рис. 22б), когда приложена активная нагрузка.

Определим опорные реакции:

Уравнения изгибающих моментов от единичной силы:

Рассматриваем систему (рис. 22в), когда приложена реактивная нагрузка.

Определим опорные реакции:

Уравнения изгибающих моментов от единичной силы:

.

Относительная ошибка пренебрежимо мала, статическая неопределимость раскрыта верно.

8. Записываем уравнения внутренних силовых факторов, вычисляем их граничные значения и строим эпюры продольных N, поперечных сил Q и изгибающих моментов M.

Рассматриваем данную раму (рис. 21) как статически определимую.

; ;.

Уравнения изгибающих моментов записано ранее. Определяем граничные значения.

.

На втором участке – особая точка. Найдем экстремальное значение изгибающего момента.

Строим эпюры (рис. 23).

Таким образом, наиболее опасным сечением по нормальным напряжениям будет сечение на третьем участке, в котором

Условие прочности:

Для круглого сечения.

Тогда

Принимаем (Приложение 1).

Определим горизонтальное перемещение точки С. Для этого приложим в этой точке горизонтально единичную силу в произвольном направлении.

Найдем реакции в жесткой заделке А (рис. 24а).

Составим уравнения изгибающих моментов от единичной силы:

Тогда

Определим угол поворота сечения Е. Для этого приложим в этой точке единичный момент в произвольном направлении.

Найдем реакции в жесткой заделке А (рис. 24б).

Составим уравнения изгибающих моментов от единичной силы:

Тогда

РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ ЗАДАНИЕ №5.