2 Методы измерения сдвиговой вязкости
2.1 Введение
Область знания, охватывающую проблемы экспериментального изучения вязкости различных сред, называют вискозиметрией, а приборы предназначенные для измерения вязкости – вискозиметрами.
Круг таких приборов, отличающихся принципом действия конструкцией, очень широк. Можно выделить обширный класс ротационных вискозиметров, в которых контролируемые узлы работают в режиме вращения; класс капиллярных вискозиметров, в которых контролируется режим течения через капилляр. Достаточно разнообразны конструкции, в которых тела различной формы обтекаются средой, а также устройства для косвенного определения вязкости по какому-либо параметру от вязкости зависящему, например, ультразвуковые вискозиметры. Выбор того или иного метода и конструкции вискозиметра определяется характером среды, диапазоном значений вязкости и т. д.
В настоящем пособии рассмотрены только методы, нашедшие применение в предлагаемых далее экспериментальных заданиях.
2.2 Капиллярный метод
Рассмотрим течение (достаточно медленное) жидкости (газа) в трубе (капилляре, канале). Течение будет слоистым, а конвективный перенос массы в поперечном потоку направлении будет отсутствовать. В этом направлении будет происходить лишь перенос импульса. Скорость течения на стенках трубы равна нулю (вследствие прилипания), в середине же трубы она имеет наибольшее значение. В точках цилиндрических поверхностей, равноудаленных от оси трубы, скорость течения постоянна. Отдельные концентрические слои скользят один по другому и при том так, что скорость везде имеет осевое направление. Это ламинарное течение (от латинского Lamina – cлой). Если рассматривать гидродинамически установившееся течение на участке трубы (достаточно удаленном от концов трубы), то распределение скоростей вдоль радиуса не зависит от продольной координаты (рис. 3) и изменяется по параболическому закону:
, (11)
Рис. 3 Радиальное
распределение скоростей слоев при
течении жидкости в трубе
Движение каждого элемента среды будет ускоряться вследствие перепада давления и замедляться из-за напряжения сдвига, вызванного трением.
Вырежем мысленно цилиндр длиной l и радиусом у, соосный трубе. В направлении оси х на цилиндр действуют силы давления и, приложенные к левому и правому торцам. Кроме того, на боковую поверхность цилиндра действует касательная сила (тормозящая), обусловленная вязкостью среды
.
Приравнивая разность сил давления касательной силе, получим условие равновесия сил в направлении координаты х при равномерном течении:
, откуда
. (12)
После разделения переменных и интегрирования получим выражение для скорости как функция координаты у:
. (13)
Константу интегрирования с найдем из граничного условия:
при .
Тогда из (13) следует: . В итоге получим:
. (14)
Сравнивая (14) и (11), находим максимальную скорость на оси трубы:
. (15)
Объемный расход среды Q (м3/с), протекающей со скоростью и через некоторое сечение , равен
.
В данном случае объемный расход будет равен объему параболоида вращения, т. е. половине произведения площади основания параболоида на его высоту:
. (16)
В механике жидкости и газа полученное выражение известно как закон Хагена-Пуазейля. Эту зависимость обычно используют для экспериментального определения динамической вязкости.
2.3 Метод Стокса (метод падающего шарика)
Рассмотрим суть метода применительно к исследованию жидкости. Хотя он может быть использован и при исследовании любых других вязких сред.
Рис. 4 Силы,
действующие на падающий шарик
–выталкивающая сила;
–сила, обусловленная вязкостью жидкости;
–сила тяжести.
В режиме равномерного движения
или в скалярной форме в проекции на ось у
. (17)
На рисунке 5 показано распределение скоростей, соседних слоев жидкости, увлекаемых шариком. В непосредственной близости к его поверхности скорость слоя жидкости равна скорости шара, а по мере удаления уменьшается и, практически, становится равной нулю на некотором расстоянии.
Рис. 5 Распределение
скоростей слоев среды, вызванное
движущимся шариком
, (18)
которая носит название закона Стокса.
Выталкивающую силу Архимеда можно представить в виде
, (19)
где ρж – плотность жидкости.
Сила тяжести равна
, (20)
где ρТ – плотность шарика.
В соответствии с уравнением (17) имеем
,
откуда следует соотношение для η
. (21)
Это соотношение справедливо, если шарик падает в безграничной среде. Если падение шарика происходит в цилиндрическом сосуде, то в формулу (21) необходимо добавить поправочный коэффициент, учитывающий влияние стенок цилиндра на движение шарика
, (22)
где R – радиус цилиндра.
Поправка теоретически обоснована Ладенбургом.
2.4 Метод «падающего кольца»
При использовании этого метода осуществляется движение тонкого металлического кольца в слое жидкости между двумя неподвижными стенками, образованными наружным Н и внутренним В цилиндрами. На рисунке 6 показан разрез основного экспериментального узла в диаметральной плоскости.
Рис. 6 Разрез
рабочего узла установки
или в скалярной форме
. (23)
где – выталкивающая (Архимедова) сила; – сила вязкого трения; – сила тяжести кольца.
Поскольку , где ρж – плотность жидкости, vк – объем кольца, то ее значение можно представить в виде:
, (24)
где l – высота кольца, R и r – соответственно радиусы наружной и внутренней поверхности кольца.
Для вязкой силы можно записать
, (25)
где η – коэффициент вязкости, S – полная площадь «трущейся» поверхности кольца; Δz – градиент скорости, равный, в данном случае d, поскольку в зазоре шириной d скорость жидкости изменяется от и – (скорость кольца) – до нуля (у неподвижных стенок).
Поверхность S равна
. (26)
Подставляя (2), (3), (4) в выражение (1) получим:
,
где ρк – плотность материала кольца.
Отсюда для динамической вязкости имеем:
или
. (27)
Величина составляет константу данной экспериментальной установки. .
Таким образом, для определения динамической вязкости надо измерить скорость и движения кольца.
Приведенные рассуждения справедливы при неограниченной протяженности зазора с жидкостью. Конечная длина его оказывает влияние на режим движения кольца. Поэтому более точно константу А определяют с помощью эталонной жидкости с известной вязкостью, проводя калибровочные измерения.