2.5.Разветвленные цепи. Правила кирхгофа

На практике часто требуется рассчитать разветвленную цепь. Это цепь, содержащая несколько ветвей. Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными участками цепи. Место соединения трех или более ветвей называется узлом (рис 2.8). Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называются параллельными. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром (рис.2.9). Рассчитать электрическую цепь – означает вычислить токи во всех ее ветвях по известным значениям сопротивлений и ЭДС, действующих в ветвях. Этот расчет упрощается, если использовать правила Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа:алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (2.4)

Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (2.4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «-».

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счете, из закона сохранения заряда. Действительно, для постоянного тока , тогда поток векторачерез любую замкнутую поверхность, окружающую узел, равна нулю, Но потокравен алгебраической сумме токов, сходящихся в узле, следовательно,. Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (2.4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «-».

Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру и является обобщением закона Ома на разветвленные цепи:

(2.5)

• сумма падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Здесь n – число участков, на которые контур разбивается узлами, - соответственно, сила тока, сопротивление и ЭДСk-того участка.

Для составления уравнений (2.5) необходимо произвольно выбрать направление обхода контура (по часовой стрелке или против нее). Все токи на участках, совпадающие с направлением обхода, считают положительными, несовпадающие – отрицательными. Далее, необходимо учитывать правило знаков для ЭДС источников: если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направлением обхода участка (т.е. внутри источника обход связан с перемещением положительных зарядов от катода к аноду), то при подсчете ЭДС этого источника считают положительной, в противном случае – отрицательной (рис. 2.10).

При расчете разветвленных цепей постоянного тока рекомендуется:

• произвольно выбрать и обозначить на схеме цепи направления токов во всех участках цепи;

• для каждого узла цепи записать уравнение для токов по первому правилу Кирхгофа;

• выделить в разветвленной цепи всевозможные замкнутые контуры, в каждом контуре произвольно выбрать направления обхода и записать уравнения для напряжений по второму правилу Кирхгофа; при составлении уравнений контуры следует выбирать так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в уже рассмотренные контуры;

• из записанных уравнений выбрать k любых независимых уравнений (k – число неизвестных токов); решая полученную систему, найти значения токов;

• если в результате расчета получается отрицательное значение силы тока на каком-либо участке цепи, это означает, что электрический ток в действительности идет в направлении, противоположном выбранному при расчете.

Рассмотрим пример расчета разветвленной цепи, представленной на рис.2.8. Выберем направление обхода контура АВСD – против часовой стрелки, а контура AFED –по часовой стрелке. Такой выбор позволяет учитывать ЭДС, действующие в контурах, со знаками «+». Токи в ветвях обозначим ,. В этой цепи два узла –A и D, независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа – одно:

(2.6)

Цепь содержит два независимых контура АВСD иAFED. По второму правилу Кирхгофа уравнения для этих контуров имеют вид:

; . (2.7)

Решив систему уравнений (2.6) – (2.7), находим неизвестные токи.