книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

	12.3. Влияние выбора теории пластин	273
сг11х10 7	<jn*10 7

Рис. 12.16
пластины: щ = 0,3, r\/h = 10, толщина внешнего слоя	h\	= 0,1 h.
Сплошные линии соответствуют приведенным прогибам	= wEi/q^h,
рассчитанным по теории Андреева-Немировского (12.8),		штрихо­

вые — приведенному прогибу по теории Кирхгофа-Лява w\ = —(г2 —

—r\) 2 E\/7bbc\Dh. На рис. 12.19,6 представлены зависимости харак­ теристик сдвига П* = UEih/q^ri от радиальной координаты, соответ­ ствующие прогибам, рассчитанным по теории [9] и представленным на рис. 12.19, а. Максимумы данных величин возрастают при переходе

кпластинам с большим отношением модулей Юнга слоев. Наиболее значительно влияние сдвигов недалеко от края пластины, что приводит

кналичию сильных краевых эффектов из-за условий равенства нулю характеристик сдвига на внешней кромке пластины.

Из графиков видно, что влияние поперечных сдвигов на рассматри­ ваемые характеристики напряженно-деформированного состояния пла­ стины возрастает с увеличением параметра E I/ E Q. Д ля пластин с су­ щественно различными жесткостями слоев (E \ / E Q > 30) происходит двукратное занижение прогибов при расчете по классической теории Кирхгофа-Лява.

Кольцевая многослойная пластина с изотропными слоями, жестко защемленная на внешнем и внутреннем контуре. Для дан­ ной задачи константы интегрирования находят исходя из условий жест-

274 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

Рис. 12.17

а

б

кого защемления на внешнем и внутреннем контурах пластины (2.31). Для определения необходимо решить систему линейных алгебраиче­ ских уравнений Ца^ЦА = Ь. Ненулевые коэффициенты матрицы ||ajj|| равны

®fc+11 TklnTki flfc+l 2 =

®fc+13 —

ftfc+1 4 = 1 J

Gfc+i5 = C2 hIo{a2 rk/h), afc+16 - c2 hK 0 (a2 rk/h), afc+32 — 2г ь

12.3. Влияние выбора теории пластин

275

Gfc+ 3	1 =	Jrirfc + 1,		flfc+33 =		l/ffci		«г+3 5 =		020:2^1 {at2 rk/h),
flfc+36 =		-сгс^-Йл (a^nt/Zi),				flfe+5 1 = &c2 h2 /				(сз(1 —i/)a2rfc),
flfe+55 =	- c \ a 2 I {{a2 rk/h),				ak + 5 6 = c{a 2 K\ {a2 rk/h),						(k = 0,1),
вектор свободных членов:
и	9з		4	L	Чг		_з	L	_	<7з	сг/i2
fe+l =	768ci£>rfc’			к+г	\92c[D		^fc’	^fc+5		io n	пь-
										12Z) ci04(1 — i/2)

Однако при условии тонкостенности пластины (r/h > 20) и ограни­ ченности параметра а 2 наряду с очень малыми величинами, K Q(350) « « 10—153, в системе алгебраических уравнений присутствуют и очень большие — /о (350) 10151, что создает существенные трудности при нахождении констант интегрирования.

При отыскании произвольных постоянных используется метод функционального нормирования [57], суть которого заключается в получении ФСР, состоящей из векторов-решений с выделенными доминирующими функциями, и нормировании векторов-решений системы на максимальное значение их нормы. Получается хорошо обусловленная новая система уравнений. Таким образом, в качестве функций решения однородной системы уравнений, соответствующих модифицированным функциям Бесселя, берутся нормированные функции. Решение однородной задачи будет иметь вид

П = А	8 c2 h2		л „ _	Ii(a2r/h)			K\(a2r/h)
	/ 1	\ 2	A^C[Oi2	т /	/I \ + A 6 Cia2		Ko(a2ro/h)
	Сз(1 —v)air			Io{a2 n/h)
					Io(a2 r/h)		Ko(a2 r/h)
w = A \r 2lnr + A 2 r2		+ A^lnr + A 4 + A^c2h h{oL2 r\/h)				+	A QC2KK0 (a2 r0 /h) ‘

Соответствующим образом меняется и система алгебраических уравнений. Приведем коэффициенты матрицы ||а^|| для новой разре-

276 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

шающей системы, которые отличны от Ца^

	*	, 1 0 (а2 п /Ь )			, K 0(a2n / h )
	аг+1	С2"/о (а2п А ) ’		аг+16	С2ПКо(а2г0/ИУ
		h{a 2Ti/h)		*		K i ( a 2n / h )
	а *+35 =	с2«2 h { a 2r i / h ) '		а г+3 6	-С20!2Ko(a2ro/h) ’
	а*+55 — - с 1а 2		I\ (Oi2n / h )	a i +5 6 — с 1а 2		K \ { a 2 T j / h )
			h{oL2 r\/h ) ’			K Q(a2r0/ h ) ’

Полученная новая система уравнений ||а*^||А = b решается с помо­ щью обращения матрицы ||а*-||.

На рис. 12.20, а представлены зависимости приведенного прогиба для кольцевой пластины, находящейся под действием распределенной внешней нагрузки, при следующих параметрах: щ = 0,3, n / h = 10, толщина внешнего слоя h\ = 0,1/г, го = 0,03г\ и для различных соотно­ шений модулей Юнга внешнего и внутреннего слоев E ^/E Q = 5,10,30. Сплошные линии соответствуют приведенным прогибам w£ = wEi/q^h, рассчитанным по теории Андреева-Немировского, штриховые — по теории Кирхгофа-Лява.

W** 10 2

На рис. 12.20, б показаны соответствующие функции сдвига для решения задачи изгиба по теории Андреева-Немировского. Краевые эффекты около мест жесткого защемления пластины на внутреннем контуре более чем в 5 раз превышают наблюдающиеся на защемленном внешнем контуре пластины.

Вотличие от решения задачи изгиба сплошной круглой пластины

ваналитическом решении для кольцевой пластины присутствуют мо­ дифицированные функции Бесселя второго рода, которые и отвечают за наличие сильных краевых эффектов на внутреннем защемленном контуре.

На рис. 12.21 показана зависимость приведенных функций сдвига от радиальной координаты при различных соотношениях го/п .

12.4. Влияние механических параметров КМ

277

Хорошо видна зависимость от уменьшения радиуса внутреннего отверстия пластины наличия и величины краевого эффекта на внутрен­ нем контуре, при этом порядок эффекта на внешней кромке пластины сохраняется. Таким образом, при решении задач расчета кольцевой пластины с малым внутренним отверстием следует особо тщательно относиться к выбору численного метода.

12.4. Влияние механических параметров КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

Исследуем влияние механических параметров КМ на характе­ ристики НДС трехслойной композитной пластины.

Рассматривается трехслойная композитная пластина, изготовленная из различных КМ: углепластик, стеклопластик, магний — бор, алю­ миний — сталь и никель — вольфрам. Во внешних слоях арматура уложена под углами ±ф, во внутреннем — по окружности.

Далее на рис. 12.22-12.24 линиям 1 соответствуют интенсивно­ сти напряжений, рассчитанных для углепластиковой пластины, лини­ ям 2 — для стеклопластиковой, линиям 3 — для магниевой с борными волокнами, линиям 4 — для алюминиевой со стальными волокнами, линиям 5 — для никелевой с вольфрамовыми волокнами.

Пластина, нагруженная поперечным внешним давлением и рас­ тягивающим усилием по внешнему контуру. Рассматривается пла­ стина, жестко защемленная на внутреннем контуре и нагруженная

распределенным внешним давлением	<?з = 4 •	104 Н /м2, на внешнем
контуре приложена растягивающая	нагрузка	TQ — 4 ■104 Н/м. На

рис. 12.22 приведены зависимости максимальных интенсивностей на­ пряжений в связующем и волокнах от угла ф, рассчитанных по теориям Андреева-Немировского (а, в) и Григолюка-Чулкова (б, г).

Видно, что меньшей разнице между модулями Юнга фазовых со­ ставляющих КМ соответствует меньшее влияние структурных па­ раметров. Наибольшее влияние угла армирования наблюдается для стеклопластиковой и углепластиковой пластин — до 85%. Несколько

278 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

слабее влияние для пластины магний-бор — до 75%, для остальных пластин влияние меньше и составляет не более 50% для алюминийстальной и не более 30% для никель-вольфрамовой.

Для данного вида нагружения и краевых условий показано, что ре­ зультаты, полученные по теории Андреева-Немировского, превышают полученные с использованием теории Григолюка-Чулкова. Чем меньше разница между модулями Юнга компонентов КМ, тем меньше влияние выбора теорий.

Были проведены расчеты для теорий Кирхгофа-Лява и Тимошен­ ко, в которых показано аналогичное влияние механических пара­ метров на различие между максимальными интенсивностями напря­ жений при различных структурных параметрах. Значения, получен­ ные по данным теориям, на всем множестве рассматриваемых пара­ метров были ниже полученных по теориям Андреева-Немировского и Григолюка-Чулкова. Чем меньше разница между механическими характеристиками компонентов КМ, тем меньше влияние теории.

На рис. 12.23 приведены зависимости величин максимальных про­ гибов и удлинений, рассчитанных по теориям Андреева-Немировско­ го (а, в) и Григолюка-Чулкова (б, г).

Влияние структурных параметров на кинематические характеристи­ ки выражено слабее (по сравнению с напряжениями) и максимальное

12.4. Влияние механических параметров КМ

279

Рис. 12.23

различие для углепластиковой пластины не превышает 35%, а для никель-вольфрамовой 2%.

Максимальное различие между результатами, полученными по раз­ личным теориям, не превышает 5%.

Пластина, жестко защемленная на обоих контурах, нагружен­ ная поперечным внешним давлением и растягивающим усилием по внешнему контуру. Рассмотрим пластину, жестко защемленную на обоих контурах и нагруженную распределенным поперечным внешним давлением д3 = 105 Н /м2 (рис. 12.24).

Для данного вида нагружения влияние структуры армирования на уровень максимальных напряжений в компонентах КМ также до­ статочно велик для углепластика — 88% и стеклопластика — 81%, в то время как для никель-вольфрама не превышает 3%. Наибольшее влияние углы армирования в случае углепластика и стеклопластика оказывают на уровень напряжений в связующем, в то время как для остальных материалов — на уровень напряжений в арматуре.

По сравнению с пластиной, нагруженной распределенным попереч­ ным давлением и растягивающей силой, влияние структуры армиро­ вания на величину прогибов более существенно и достигает 76% для углепластика.

280 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

Из приведенных графиков видно: чем больше различаются модули Юнга арматуры и связующего, тем шире возможности управления НДС пластины.

В расчетах рассматривалась кольцевая пластина со следующими параметрами: п = 0,3 м, го = 0,03 м, /12 —h\ = 0,006 м — толщина внут­

реннего слоя,	hi — ho =	—/г2 = 0,002 м— толщина	внешнего слоя,
— 0,5,	— 0,5 —	интенсивность армирования	вдоль толщины

и поверхности пластины (г = 1,2,3). Во внутреннем слое арматура уложена по окружностям. При расчетах использовалась структурная модель КМ с двумерными волокнами.

12.5. Влияние схем армирования и типа волокон на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения

Одной из серьезных задач расчета композитных конструкций яв­ ляется исследование влияния способов изготовления волокон и их укладки на вид НДС. При изготовлении конструкции из КМ прихо­ дится не только решать проблему выбора материалов компонентов, но и учитывать технологию процесса изготовления КМ. Волокна посто­

12.5. Влияние схем армирования и типа волокон

281

янного сечения гораздо более технологичны в производстве, но иногда целесообразнее использовать волокна переменного сечения.

Рассмотрим два вида волокон — постоянного и переменного се­ чения. Для волокон переменного сечения площадь сечения рассчиты­ вается исходя из условия постоянства объемного содержания армату­ ры в произвольном сечении пластины цилиндрической поверхностью г = const. Это условие имеет вид u a(r)r = u aoro, где ша(г) — интенсив­ ность укладки арматуры. Условие постоянства поперечного сечения во­ локна : Шагсовф = uiaorocosipo, где ф — угол между касательной к тра­ ектории укладки арматуры и радиус-вектором, проведенном в точку касания. Индекс 0 означает, что величины берутся на внутреннем крае пластины.

Много работ, в частности [4], посвящено исследованию задачи определения НДС при использовании гипотез Кирхгофа-Лява. Полу­ чены решения для частных видов закреплений и нагрузок пластин с ци­ линдрической анизотропией и постоянными коэффициентами матрицы жесткости, которые предполагаются известными из экспериментов. Од­ нако практически отсутствуют данные экспериментов по определению эффективных физико-механических постоянных для круглых и кольце­ вых пластин, армированных волокнами постоянного сечения, которые являются функциями координат пластины.

На рис. 12.25 приведены результаты расчетов интенсивностей на­ пряжений в связующем, арматуре, удлинений и прогибов для во­ локон постоянного и переменного сечения при одинаковом объем­ ном содержании арматуры. Площадь сечения волокон рассчитыва­ лась из условия постоянства интенсивности армирования в срезе пластины при г = const. Рассматривается трехслойная углепласти­ ковая пластина, нагруженная равномерно распределенным попереч­ ным давлением Р = 5 • 104 Н/м2, жестко защемленная на внутреннем контуре и нагруженая растягивающей нагрузкой То = 3 • 105 Н/м по внешнему. Штриховые линии на графиках соответствуют результа­ там, полученным по теории Кирхгофа-Лява, сплошные — по теории Андреева-Немировского; 1 — постоянное сечение (пост.), 2 — пере­ менное сечение (перем.).

Различие значений интенсивностей напряжений в элементах КМ, рассчитанных для различных типов волокон, достигает 70%, для ки­ нематических характеристик — 23%. Таким образом, недопустимо использование эффективных физико-механических постоянных, полу­ ченных для образцов армированных волокнами постоянного сечения с постоянной интенсивностью укладки волокон.

Для всех видов волокон максимальное различие интенсивностей напряжений в КМ, рассчитанных по разным теориями, составляет 53% и наблюдается в арматуре на внешнем контуре. Влияние выбора теории на удлинения и прогибы не превышает 1,5%.

282 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

В работе рассмотрены три варианта схем укладки армирующих волокон КМ: в виде логарифмической спирали, спиц велосипеда и спи­ рали Архимеда для волокон постоянного и переменного сечения.

Армирование вдоль логарифмической спирали. В полярных ко­ ординатах логарифмическая спираль, проходящая через точку (т*о,0), задается соотношением г = гое^^5^0, здесь $ — полярный угол (фо Ф фО), ф = фо — угол между касательной к спирали и радиус-вектором, проведенным из точки (0,0) в точку касания. Когда фо — 0, кривая вырождается в прямую $ = 0.

В этом случае схема армирования имеет вид, показанный на рис. 12.26, а.

Кривая / соответствует случаю укладки волокна с начальным углом фо = 0°, кривая 2 — фо = 45°, кривая 3 — фо = 85°.

В случае укладки волокон арматуры вдоль логарифмической спи­ рали условие постоянства сечения волокна имеет вид и г — U}QTQ и не зависит от угла укладки.

Удельное объемное содержание арматуры определяется соотноше­ нием Vy = 2cjoro/(ro + n ) . Необходимо отметить, что при использо­ вании волокон постоянного сечения объемное содержание арматуры в пластине не может превышать 2го/(т*о + n ) .

Армирование вдоль спиц велосипеда. Данный тип армирования определяется двумя прямыми, параллельными радиус-вектору, про-