книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

344 Гл. 15. П роект и рован и е ст р о го безм ом ен т н ы х арм и рован н ы х оболочек

изотропных куполов. Безмоментность НДС конструкции при этом спе­ циальным образом не обеспечивалась. Решение задач в такой постанов­ ке некорректно, так как в реальных куполах в общем случае возникают большие моменты, особенно в местах их закрепления. Так, после под­ становки закона распределения толщины, полученного в работе [164], в прямую задачу расчета, получилось НДС, приведенное на рис. 15.6. Нетрудно убедиться, что момент М\ существенно отличен от нуля, т. е. купол находится в моментном напряженном состоянии.

15.3.Строго безмоментные армированные оболочки

сравнонапряженной арматурой

При проектировании конструкций, состоящих из оболочек, практически всегда, явно или неявно, уделяется много внимания обеспечению безмоментного состояния. Некоторые частные условия

обеспечения безмоментного	состояния	в	классической	теории
оболочек сформулированы в	[121-259].	Они	сводятся по	существу

к требованиям плавности распределения нагрузок и изменения геометрической формы поверхности оболочки и отсутствию моментов и перерезывающих сил на границах. Указанные условия не дают проектировщику четкого ответа на вопрос: будет ли в каждом конкретном случае реализовано безмоментное состояние и, если нет, каковы возможности его обеспечения. Кроме того, в классической безмоментной теории оболочек [121-259] усилия определяются независимо от соотношений неразрывности деформаций срединной поверхности, которые при этом оказываются в той или иной мере нарушенными. Во избежание этого приходится предполагать наличие малых изгибающих моментов и перерезывающих сил, которыми в уравнениях равновесия пренебрегают. Последнее приводит к тому, что соответствующие решения следует трактовать как приближенные решения общей моментной теории оболочек и при этом вопрос о степени их приближения к точным решениям остается открытым. Здесь для произвольных упругих и термоупругих армированных

15.3. О болочки с равн он ап ряж ен н ой арм а т ур о й

345

оболочек получены общие условия обеспечения безмоментного состояния и равнонапряженности арматуры. Эти соотношения позво­ ляют проверить, будет ли спроектированная оболочка безмоментной при заданном характере нагружения, а также определить способы (с помощью изменения формы оболочки, структуры армирования, создания дополнительных нагрузок и других приемов) обеспечения безмоментного состояния. В качестве иллюстраций рассмотрены примеры построения безмоментных проектов с равнонапряженной арматурой для оболочек вращения при осесимметричном нагружении.

1. Рассмотрим оболочку, армированную нитями, уложенными в п верхностях эквивидистантных относительно ее срединной поверхности. Предположим, что по толщине оболочки укладка арматуры по харак­ теру одинакова и соответствует укладке в некотором элементарном характерном слое, для которого связь между напряжениями <т, дефор­ мациями е и температурой Т имеет вид

	= [ajfem] е -		(к,тп = 1,2),		(15.63)
		£ \\		a n t
£7 =	022 , £ =	£22	> <Н —	0-22t
	<712	£12		0121

а для компонент деформации справедливы гипотезы Кирхгофа-Лява

	£ 11		Х ц
£ = £ ° + Z*C, £° =	С*О	, х =	Х 2 2	(15.64)
	е 2 2
	с-®		*12
	е \2

где <7 ij, (i , j = 1,2), e°j, Xij — соответственно компоненты напряжений, деформаций и искривления отсчетной поверхности оболочки; а^т — компоненты матрицы жесткости; а ф — коэффициенты температурной жесткости; z — координата, отсчитываемая по нормали к поверхности оболочки.

Пользуясь выражениями (15.63) и (15.64), для вектор-столбцов усилий N и моментов М получим зависимости

N	— [А0] £° 4- [-4i] и Со,	(15.65)
М	= [Ai] £° + [-4г] к — С\,	(15.66)
		(15.67)

я2	Я 2
[Дг] +	[акт] zndz, [Сп] = J atT z ndz	(гг = 0 ,1,2),
Я,	я,

346 Гл.	15. П роект и рован и е ст р о го безм ом ен т н ы х арм и рован н ы х оболочек
где Hi,	Н 2 определяют координаты				вдоль z		ограничивающих		поверх­
ностей оболочки.
Для векторов сил Ni,			моментов Mi (г = 1,2) и вектора р интенсив­
ности поверхностной нагрузки имеем
Hi — Nuti + Ni2 t2		4- QiTi,		Mi —M nt\ + Mj2^2>				(г = 1,2)	(15.68)
	p = P\t\ + P2 t2 + РЗП,					n = t [ X t 2 ,
		. _	- i	dr	2 _	dr dr			(15.69)
		i - а * M ’ a i ~ M W i '
где r(£ 1, £2) — радиус-вектор произвольной							точки	отсчетной	поверх­
ности	оболочки, ti	—	единичные		векторы		касательных к		линиям

= const ее главных кривизн, Qi — компоненты перерезывающих сил. Уравнения равновесия в векторной форме имеют вид

^ irl]+^ i f 1+ai“2p=0’

(15.70)

о? 1

d&

+ a i a 2 {Ni х (| + N 2 х k ) = о.

Уравнения неразрывности деформаций для оболочек:

д (оцхц)

dai

d(ajKij)

daj

£°j daj

db

~ d ( i

X ii~dli

R iW i

d(a£0u)

d (oLjE^j) _

0 doij

i , j

=

1,2

(г ф j);

db

db

d ^

= 0,

ХЦ

,

X 22 .

1

Г

d

1

Г

d e n

, d a 2 ,

0

_0

ч

« 1

de°2

R2

+ Ri + ona2 l ^ i

ai

[ 2 db

+ d& ^ 22

11'

2

d£2

3 OL\

о

_d__}_

L

^11

I

^*1 /^O

_o 4

«2 de°l2

da2

Э 6 £‘2

+

Г ' а & +

а б (е"

“ £и)

2

Ж

d^£°21 И

d £ 2

2

~

(15.71)

1

_

n

d*r

f t

где Ri (г =

1,2) — главные радиусы кривизн.

В дальнейшем будут использованы следующие формулы дифферен­

цирования векторов	п:
dtj	1 dOLi ^	OLi	d ti	1 d a j ^
	4 d£jtj ~	Ri*1’	W j =	m~d&t j ’

dn

тг U(i,j = 1,2; * Ф Л-

Жxti

2.Пусть, далее и везде, в оболочке изгибающие и крутящие момен

ты отсутствуют, т. е. М = 0. Это требование означает, что напряжение по толщине стенки (при симметричной относительно отсчетной поверх-

15.3. О болочки с равн он ап ряж ен н ой а рм ат урой

347

ности структуре оболочки) будут распределены равномерно. Тогда для такой оболочки получим

х = [В0 ]£°+Ь°,	(15.72)
N = [ A ] e ° + d°,	(15.73)

[В0] = -[Л2]-, [^,]. 6° = И2]-'С,.

И] = [Ad + [А] [Во]. <f = [А] ь°.

В безмоментных оболочках перерезывающие усилия отсутствуют и, следовательно, для обеспечения безмоментного состояния необходимо, чтобы на участках сопряжения оболочек и на их контурах перерезыва­ ющие силы и моменты отсутствовали:

aieiiщ	(ж)+ щ е а т (ь)+Лз (ь)+! и ~ 0;
щh	(6й+А)\ ~тh ( 6|2+ Ci2 &)] ■

h (*•+*£)]-[<*- ‘>& + <2 -

i 6' +

А

) \

Ш } = 1

“ ■а2 [ж

(6i1+ciii

) +% (б22+С22&)] +

{“2 I: (4i+А

) +

[4‘+№ _ 1)1 ж~

- т :|( 4з+4<ёМ 4з+4з1

Ш +

, - Ё

. ± / а

s

( f a . ) ...............................( i - y / i i - i ..

9 ( 2

« 2

I5 £ i \ f 2 2 J

L V

Z /

5/ £2 2

J

- Ш 4з+4<1 М 4з+4< Ш И ;

f

— du .

d22

. ^

<■ _

/ ei 1

e22 \ .

/ и - Ж

+

Ж

+ Р з '

/22- " 1 ж +

ж 1 '

~

5

5

5£*i —e

5«j.

d ( i (q № ) + W J (aiei2) + 612

56

’

M

O^i

(oijdu) + -2 -

{aidl2) + di2"777~ -

djj^

+ p{a {a 2.

O^j

Oqj

Oqi

(15.74)

348 Гл. 15. П роект и рован и е ст р о го безм ом ен т н ы х арм и рован н ы х оболочек

Деформация определяется выражением
о	_ /п	(15.75)
£п	— ~г~
	J 22

Набор соотношений (15.74) устанавливает такую связь между геометрическими, механическими, структурными параметрами, силовыми и тепловыми нагрузками, при которой в произвольной оболочке, армированной двумя семействами нитей, будет существовать безмоментное состояние с равнонапряженной арматурой. Эти соотно­ шения можно трактовать как уравнения, определяющие необходимую для обеспечения рассматриваемого состояния структуру армирования (углы, интенсивности), геометрическую форму поверхности, нагрузку (дополнительную нагрузку) или их комбинацию.

3.	Для оболочек вращения а\ = R\,	а^ = г = R 2 sinip, где £i = (р
угол	между нормалью к поверхности и	осью вращения, связанный

сR \,R ,2 соотношением Гаусса-Кодацци d (R 2 smip) /dip = R\ cos ip. При осевой симметрии нагрузок, закрепления и структуры оболочки

вуравнениях (15.74) необходимо принять д/д£ = 0.

Рассмотрим более простой случай, когда структура оболочки по толщине однородна, нагрев равномерен по толщине и углы армиро­

вания оболочки двумя одинаковыми семействами							нитей таковы, что
ф1 = —1р2 = ф- Тогда, полагая —Н\ = Н2					= Н, будем иметь
[Ai] = Ci = х = d° = 0,			£*=£% = е*,			83 — 8 4 — e*l 2			= О
<5i = e*(sin ip) 2,	8 2	= - ctg2 ip,		[A] -	2H	[afcm] ,		C0 -	2H T a t .
										(15.76)
Так как при таком способе армирования материал оболочки,
очевидно, будет ортотропным, Д 13 =				А 31	= Агз =		Д32 = 0,		А 12	= А 2 1 .
Тогда из (15.73) N 12 = 0, а из первого уравнения							равновесия			(15.70)
получим р2 = 0,	т. е.	в этом	случае		нагрузка		не	должна		иметь

составляющей, направленной вдоль касательных к параллелям оболочки.

В рассматриваемом случае система (15.74) существенно упрощает­ ся и сводится к следующим двум уравнениям:

£ [r(Si + h f n f p ) ] - / 11Л 2' = 0 ;

15.3. О болочки с равн он ап ряж ен н ой а рм ат урой

349

= /11 /22 * ■

Для определенности будем пользоваться в дальнейшем соотноше­ ниями

а\\ = Е	а		,			= Е		а	+ П sin4 ф
	+ Q cos4 ф				<122			О- "2)
О- Ф
	а \ 2 —а21	= Е	аи		+	О, sin2		ф cos2 ф
		(,	-	„*)
	азз =	Е 2(1+1/)			+ О, sin2 ф cos2 ф
	а13 = аз1 = ^23 =		<3-32= О,				О = шЕ/Е\,			(15.77)
где Е, и —	модуль	Юнга и	коэффициент					Пуассона		связующего,
Е 1 — модуль	Юнга арматуры,		и		— ее		удельное содержание, ф —

угол армирования, а — интенсивность прослоек связующего между арматурными слоями. Принимая а — и — 0, получаем соотношения, соответствующие нитяной модели, не учитывающей сопротивление связующего.

При нахождении геометрической формы меридиана, образующегося в результате вращения кривой вокруг оси у, необходимо иметь в виду также следующие зависимости [121]:

Я. =	1 + (У')	13/2	13/2
		/у". я 2 = - Г 1 + (у')	/у',

штрих означает производную по г.

Если геометрия оболочки и нагрузки заданы, то система уравнений (15.74) эквивалентна

d(r£2 2 )/ R\d<p —	COS <P = 0 ,		£ JJ COS2 ф + £%2 SVO-2 ф = £ * ,
022Я) 1—O12/V22			0.11N22 —012-Я11	(15.78)
<41 =		012) ’	2Я (ац а22 - а?2) ’
2Я (ац а22 -
iV)j = I (г sin <p)~ 1,		N 22	= R 2P3 ~ I{Ri sin2 <p)~1,
1 =	rRi (рз cos <p - pi sin <p)d<p + c\,			(15.79)

	¥>0
где ci — константа		интегрирования,		определяемая из		граничных
условий для усилия 7Уц на контуре оболочки <р = щ .
Для	конических	оболочек	необходимо		принять	R\d<p	= ds,
г = го +	scosipo (s	— длина	дуги	вдоль	меридиана,	го =	const)

350	Гл.	15. П роект и рован и е ст р о го безм ом ен т н ы х арм и рован н ы х оболочек
и	(р =	(ро = const. Для цилиндрических оболочек дополнительно

следует принять ipo = 7г/2.

При поиске решения о проекте безмоментной оболочки с равнона­ пряженной арматурой уравнения (15.74) могут рассматриваться как система относительно пар функций (Я , ф); (рь рз); (Я, Q); (у, ф)\ (у, Г2); (ф, Q) и других, а уравнения (15.78) как система относительно пар функций (Я, ф)\ (Я , П); (ф, Q).

4. Рассмотрим некоторые примеры определения безмоментных рав нопрочных проектов. Нетрудно убедиться, что частным классом ре­ шений, содержащихся в системах (15.74) и (15.78), является класс, удовлетворяющий условию = £g2 = £*•

Тогда при известных нагрузках и геометрии оболочки, учитывая зависимости (15.77), (15.79), будем иметь три типа соотношений:

sin2 ф = [а (N22 — N\ 1) + шЕ\ N 2 2 ] [шЕ\ (N\ 1+ JV22)]
	2Не* =	(15.80)
		{Nn + N 2 2 ){u)Ei + 2 a ) - i\
sin2ф = {N22 -		2Ha£*)(Nn + N 22 - 4Я а£*)“ 1,
		(15.81)
	u E x = (N n + N 2 2 - 4Я ае*)(2Я е*)-1 ;
uE\	= a (N22 -	N n ) (Ni\ sin2ф — N 2 2 COS2 ф)~1,
2He =		(15.82)
	(N\ 1sin2 ф — N 22 cos2 ф) [a (sin2 ф —cos2 ^)]

Отметим, что для решений (15.80) - (15.82) нагрузки и геометрия оболочки имеют произвольный характер. Кроме того, в (15.80) функ­ ция обильности армирования ш произвольная, как и распределение толщины оболочки вдоль меридиана (15.81) и изменение угла армиро­ вания ф вдоль меридиана (15.82).

Следует подчеркнуть, что все эти решения имеют смысл, если правые части выражений (15.80) - (15.82) всюду в рассматриваемой области неотрицательны и соблюдается требование sin2 ^ ^ 1, ш ^ 1, 0 < Я < оо. Эти требования могут налагать ограничения на размеры оболочки, амплитуды действующих нагрузок, механические характери­ стики материалов связующей арматуры.

В случае	нагрузок р\ = 0, рз = р		= const из (15.79)	при учете
соотношения	Гаусса-Кодацци	и г = R	2 sin <р для замкнутых оболочек
будем иметь
	N \ \ — pR^/ 2,	N 22 — (1 —#2/2#i)p#2 -		(15.83)

При помощи формул (15.80), (15.82) и (15.83) были рассчитаны зависимости толщины и угла армирования, толщины и функции ин­ тенсивности армирования, обеспечивающие безмоментное состояние

15.3. О болочки с равн он ап ряж ен н ой а рм ат урой

351

с равнонапряженной арматурой в замкнутой эллипсоидальной оболоч­ ке, нагруженной внутренним давлением р. При этом

D _ _____ Др_____	D		_ _____ Др_____
(1 + 7 sin2 <р)г/2'		2	(1 + 7 sin2</?)1/2’	(15.84)
7 =	а\/а\	-	1,

где а\, а,2 — полуоси эллипса.

Расчеты,	представленные	на	рис. 15.7,	выполнены	при
Q = ujEi/aE	= 20 (материал:	стекло	+ эпоксидная смола)		для
различных значений е = аг/ai (1-3).

Расчеты, приведенные на рис. 15.8, выполнены для следующих

параметров е й ф:	кривые 1 — е — 10, 1р — 90°; 2 — 10, 60°; 3 — 2,
90°; 4 - 2 , 60°; 5 -	0,9, 30°; 6 - 0,9, 0°.

Как видно из приведенных графиков, существуют доволно широ­ кие возможности создания безмоментных сосудов давления с равно­ напряженной арматурой. При этом вопрос выбора конкретного сосуда

352 Гл. 15. П ро ек т и р о ва н и е ст р о го безм ом ен т н ы х арм и рован н ы х оболочек

определяется технологическими соображениями и требованиями обес­ печения максимальной прочности.

Первые выражения в (15.80) и (15.81) эквивалентны следующим:

tд2ф — {N22 [шEi N22 + ot(N22 — ATi1)]} Ei Nfi + atiV^CNn — -N22)] ; tg2ip = {N22 - 2Hae*){Nn - 2Hae*)~l .

В частном случае нитяной модели (a = 0) в обоих случаях будем иметь

= N 2 2 N ^ .

Отсюда видно, что при армировании вдоль меридиана в этом случае N 22 = 0.

Из вторых соотношений в (15.80) и (15.81) следует, что безмоментное состояние с равнонапряженной арматурой будет реализовано в рамках нитяной модели, если функция обильности армирования

UJE I = Nu(2H £*)~l.

При этом нагрузки, действующие на оболочку, и ее форма не могут быть произвольными, а должны подчиняться соотношению

Р3#2 - I R 2 (rRl sinv?)-1 = 0.

В частном случае	нагружения,	когда pi = 0, рз = р =	const, это
уравнение сводится к	2 =	и определяет оболочку,	меридиан

которой является эластикой Эйлера [75]. Такая оболочка была реко­ мендована в качестве равнопрочного днища в [346].

Из соотношений для и ££2 в (15.79) (в рамках подкласса = = £32 = £*) получим следующие уравнения для меридианов и толщины безмоментной оболочки с равнонапряженной арматурой:

	у"	_ 2г-1 _ a22 + Q12	2Н £* = РГП + у'2)1' 2		(15.85)
	y ( l + y ' 2)	(ап+ ai2)r’	2 ( а и +	а 12) у '
	При этом	содержащиеся в (15.85) функции угла		армирования ф

и интенсивности армирования ш произвольны. Поэтому следующая формула определяет достаточно широкий класс меридиональных кри­ вых:

у = С2 ± С \'г |	г2 dr	(a22 + a\2 )dr
		/ = exp

[/2 - С , ( г 2 -	( a n + a 12) r ’
где Си C2 — константы интегрирования.

Существует подкласс решений, для которых £°, ф е\2. При про­ извольном нагружении оболочек этот подкласс можно определить из системы (15.78), (15.79). В частном случае pi = 0,рз = р = const, из

15.3. О болочки с равн он ап ряж ен н ой арм а т ур о й

353

(15.78), (15.79) с учетом соотношения (15.83) для меридиональной кривой получим следующее уравнение:

	гу" [г/'(1 + з/2)]- ' = 2 -			Fo(r).	(15.86)
F o = [ г а х2д	2 + Z i ( а 2 2 ~	r a i 2 d i ) }	[ г а ц $ 2 + («12 - r a n ^ i ) z i ] ~ 1
Z i	= Г£°22 = ex p (-F i)		C3 +	d2 exp Fi dr
Fi =	dr,	= г Нд2,ф d2		=e*(cosip)	2,

где Сз — константа интегрирования.

При этом толщина соответствующей безмоментной оболочки с рав­ нонапряженной арматурой определяется из равенства

2Н = [ - рг2(1 + у'2)1/2] {у' [ац02Г + (ai2 - ran i?i)zi]}_ 1 .

Решение уравнения (15.86) принимает вид

v = c s ± с у 2 | FQT [dr

где С4, Сз — константы интегрирования.

Для полного эллипсоида вращения постоянной толщины, нагру­ женного внутренним равномерным нормальным давлением р\ = 0, рз =

— const, значения функции 2ш*Е*/аЕ рассчитаны по (5.5):

2и*Е*/аЕ =
= С ~ 1(АТ, + ВТ2) {D [AТу -			(1 - Л)Г2] + 2НаЕСе2 } ~ 1 - С ~ \
А(г) = А(1 -	А)(1 + и) 2 -	и,	В(г) =	С - (1 - v2)( 1 - А)2,
С (г) = 1 -	2А(1 - А)(1	+ и),	D(r)	= (1 - А)(1 - и2).

При этом величина е2 определяется из (5.4)

/Гг

	е2 = - ехр [-Ф(г)] <	^	2 *Ё	г »	- (1 -	А)Т2 ехр [Ф(г)] dr ,
				Го	ЯД
	где		А( 1 + и) —1
	Ф(г) =					dr.
			г [А(1 + и) - и
			Го
	Использованы формулы
	Ту = 1/2pR 2,		Т2 — (1 —R 2 /2R \)pR 2,
		Ro		R 2	=	R o
	R\ = (1 + 7 sin2 ip)3/2 ’
					(1 + 7 sin2 ip) 1/2 ’

12 C.K. Голушко, Ю. В. Немировский