книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

Г л а в а 13

РЕШЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ

Для проверки достоверности результатов вычислений и используе­ мых теорий рассмотрим задачу расчета НДС многослойного цилиндра

впространственной постановке [149].

13.1.Постановка задачи

Вцилиндрической системе координат исходная система уравнений теории упругости состоит из уравнений равновесия

д 4 к) = _ 1

(к) _

дт£

г(*)

0Т<*>

=

-

l T (k)

-

d J k)

+

д г

г

d z

г

д г

d z

дт%

2 (к)

дт%

(13.1)

дг

r r&

dz

кинематических соотношении

J k )

=

д и (к)

e (fc) _

_ l u (fc)

J k )

-

d J J

С Г

д г

’

—

r U r

’

—

d z

J k ) = _

1 (к)

>

,(fc) =

* £ !

d J J

(k) =

duikl

Mo 24

d r

■“ ид

dr ^

d z ’

d z ’

K

’

r

соотношений обобщенного закона Гука.

На поверхностях контакта смежных слоев выполняются условия жесткого сопряжения, исключающие возможность их проскальзывания и отрыва:

° гк]{ г к ) = cr(fc+1) ( r fc),	т £ \ г к ) = т £ + ' \ г к ),	т ^ \ г к ) =	r ^ + 1 )( r fc),
uik){rk) = J k+l\ r k),	uik\ r k) = uifc+1)(rfc),	w^fc)(rfc) =	u f +l\ r k).

Краевые условия в случае осесимметричного нагружения не зависят

от окружной координаты $ и принимают вид
а (fc) -	J k)	и?) = О,		z	=	Q, L,	(13.3)
на торцах цилиндра и
л	’	Trz =	°>	=	0.	r =	h o,
сг: = p s i n
= 0,	T?Z = 0,		r $	= 0 ,		r = hN	(13.4)

на его внутренней и внешней поверхностях.

				13.1. Постановка задачи				295
Выбирая		(к)	в	качестве разрешающих		функций		напряжения
r(k)	„{к)		}	(к)	„,(к)	. (к)	}, после	некоторых
{аг	, Trz ,	'•г&		и перемещения { u f	, и	U

преобразований можем получить разрешающую систему дифференци­ альных уравнений в виде

^ = B$gW + в

дг

to 3 а*

II

[к)^	+ В {к)^ ^ ~ + / fc,
dz	dz*
f	= {ft. ■■■ J t ) .

где

lfi(k)

_

i

+

4 J :1

ьо(fc)

_

4 *0

h°(k)

-

1

, 0 (fc)

_

_

2

с

2 2

и \ 1

—

г

’

°14

Г2

:’

и22

~

r ’

W33

r

^ О

hm

_

Лк)

(fc)

II

Л к )

с23

f

и°(к)

_

’

C >

=

a (fc)

’

с33 ’

°44

—

Г

°52

““

a 55

a 45

/ 0 (

* 0

-

а

{к)

’

hm

_

[к)

,

LO(fc)

_

1

1

C

=

- - 1 ,

и62

—

а 45

°63

“ - а

44

° 6

6

r

.(к)

b m

_

4 2

b m

_

с

ъ l(fc)

_

r (k)

>

b 1(fc)

-

42

)

°15

_

Г

’

° i 6

Г

2

1

_

c 13

°24

r

Ь Нк)

_ . г (к)

b m

_

_

Лк)

b m

_-

r (k)

b Hk)

_

Л к )

’

с26

»

*

’

°31

_

с36

°34 —

Г

°45

‘~

c 13

°46

— c36

°54

1 ’

/ 2 (fc)

._

J k )

.

/

2 (fc)

_

hm

=

— c

,(k)

’

/ 2 (fc)

_

.(fc)

°25

-

t-п

°26

— °35

16

°36

—

c 6 6

Коэффициенты матрицы С = \\ср я \

Лк) _ (Jk)Jk)

_ J k ) J k ) y Sk'

С\\ —

( а 2 2 а

6 6

а 2 б а 26

с п

=

( а(16) а 26} -

а п ° ш ) 1

5 к ,

I

( к )

( к )

Л к ) _ ( Л к ) Л к )

Л к )

( к ) .

(к) = (a(k)Jk)V-,

Oric

fl

)/Sk,

С

16

1 2

floe

2 2

-22 = к г с - - le x ? ) /* * .

26

“ 16 “

Лк)

а(fc))2 -“ (fc)16 -

4 fc) =

(<»tfЧ * ’ -

< tS < W )!h ,

-26

( к )

_

А к ) ( к )

,

( к )

( к )

,

(к ) Л к )

С13

— а 13 С11

+ ^23 <42

+

а'оЛс36

16 ’

Лк) _

„(*04*0

,

(fc)

( к )

,

(*O J *O

Соо

—

СЬ| о С | о

И-

С&23 ^22

36 с26

>

-23

— “ 13 с 12

(fc)

(fc)

(fc)

.

Л к )

( к )

,

(fc)

(fc)

C36

— a 13 C16

+

a 23 C26

+

a 36 C

6 6

’

(fc)

(fc)

(fc) .

(fc) (fc) .

(fc) (fc)

(fc)

C33

~ ' a l3

C13

a 23 C23

+ a 36

*46

a 33

’

X

Л к ) г Л к )

(fc)

(fc)

(fc)x .

Л к ) (

(fc)

(fc)

(fc)

(fc)4

,

^fc — ^ 6

6 ( a ll a

2 2

а

1 2а

1 2) “I” a i6

( a l2

a 26

a

2 2 a l6 ) +

+а{к)(а{к)а{к) - а {к)а{к))

-t-a26

( “ 12

ui6

un

a 26

/*

В этом случае решение удобно искать в виде тригонометрических рядов:

ОО	ОО
агк) =	° rkl{r)sin \nz, т№ = ^ 2 4 k),n(r)cosXnZ,

п = 1

71=1

296Гл. 13. Решение пространственной задачи для цилиндрической оболочки

T rkJ

=

Y

, T ™ " ( r ) c o 8 \ n Z ,

4 fc) = $ > $ (r )e tn A nz,

(13-5)

n = 1

n = 1

OO

OO

Wifc) =

uizkl{ r)cOsXnZ,

u^] = ^2 U^{r)c08\nz.

n= 1

n — 1

После разделения переменных, приходим к системе обыкновенных

дифференциальных уравнений для

каждого члена разложений у ^

=

= (cr(fc)

r (fc)

T{k)

и™

w(fc)

u{ak)y

r r . n 1

‘ r z , T V

1 r & , n ’

u r ,n

>

a 2, n ’ LL' d , n ) '

dyW

=

K (* ¥ k\

P<*> -

l l ^ l l ,

(t,j

=

1.....6),

(13.6)

где

dr

4 1 } = ь Т .

^

С

=

4 >

=

- A6!<‘ >,

rfW - - U ' W

’

J №) _

\ i i №>

#

)

_

»

)

’

,(fc) _

will!)

a 16 —

Л и16

a 21

— ли21

’

u 22

— u22

a 24

— ли24

’

j(fe)

_

_ \ 2

/ 2

( *

0

j(fc)

_

\ 2 i,2 (fc)

.(fc)

_

ж-

1 (fc)

.(k)

_

.0(k)

u25

—

л

u25 ’

u 26

—

л u26

’

U31

— Ли31

’

“ 33

— u33

’

A k )

-

\ h Hk )

A k )

_

_ x 2 h2(fc)

,(k)

_

_

A 2L2(fc)

.(fc)

_

.0 (fc)

a 34

— Л034

»

a 35

—

Л

°35

»

a 36

—

A

°36

’

a 41

— °41

»

A k ) _ h0(k)

A

k

) _

_ X h m

A

k

)

_ _

x h l(k)

A

k

) _

hQ(k)

a 44 — °

4

4

>

“

4 5

—

Л

0 4 5

>

“

4 6

_

Л046

’ a 52

— °52

»

A k )

_

LO(fc)

.(fc)

_

\ A1(fc)

л(*0

_

i,0(fc)

A k )

_

.0 (fc)

.(fc)

_

.0(fc)

u 53

~

u53

’

a 54

— Ли54

’

u 62 — u62

’

u 63

— u63

’

“ бб

— u

6 6

'

13.2.

Расчет НДС однослойного цилиндра

Сначала рассмотрим задачу расчета свободно опертого по обоим краям однослойного изотропного титанового цилиндра с параметрами:

L = 120, R = 60,	h = 6, Е =	120 • 109 Па,	и = 0,3,	ст* = 0,5 • 109 Па,
находящегося под	действием	внутреннего	давления	р sin ( Z K / L ) , где

р — 4 • 107 Па/м2.

Расчет цилиндра проведем в рамках пространственной теории упругости и по оболочечным теориям Кирхгофа-Лява, Тимошенко и Андреева-Немировского. На рис. 13.1 приведены распределения на­ пряжения az по толщине и длине цилиндра: в рамках простран­ ственной постановки (а), теории Андреева-Немировского (б), теории Тимошенко (в), теории Кирхгофа-Лява (г). Все теории дают хорошую качественную оценку напряжений.

На рис. 13.2 представлены распределения напряжения а$. Все тео­ рии и в этом случае дают хорошую качественную оценку напряжений, только некоторое отличие в результатах проявляется для теории Ти­ мошенко: угол наклона линий постоянного напряжения от вертикали отличен от всех остальных. Максимальная относительная разность составляет: для теории Андреева-Немировского 0,5%, Тимошенко 5%, Кирхгофа-Лява 0,04%.

Ч аст ь III

РАЦИОНАЛЬНОЕ

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ