книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

364 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки

h i =	+	“ ^ i)2’	lki = cos2a ki-
В этих выражениях E QI, UQI — модули Юнга и коэффициенты Пуассона
материалов связующего	в г-ом слое; Е ^ ,	ctki	— модули Юнга,

интенсивности и углы армирования к-го семейства волокон в г-ом слое. При армировании волокнами постоянного поперечного сечения ве­

личины	a fci связаны соотношением
	~ТГ/ 2	= —pl2 = const’	(16.12)
	rlK	roloki

которое справедливо для меридиональных и спиральных структур ар­ мирования. При этом интенсивность окружного армирования может быть произвольной функцией, подчиняющейся неравенству 0 ^ ^

<ш < 1.

16.2.Критерий равнопрочности связующего

материала

При формулировке критериев качества рассматриваемых конструк­ ций следует прежде всего опираться на реальные физические свой­ ства фазовых материалов и использовать их предельные возможности. Учитывая, что многие связующие материалы (бетоны, керамики) ведут себя как упруго-хрупкие по-разному сопротивляющиеся материалы, а эксплуатацию металлов в большинстве случаев допускают до предела упругости, в качестве критерия предельного упругого деформирования (трещиностойкости) связующего материала естественно использовать условие прочности (пластичности) Баландина-Гениева, которое может быть записано в виде

Oic -<Tic<T2c + (T2 C-di((Tic + <T2 C) -	dj = 0	(16.13)
или в эквивалентном виде
сг\с = ^ a o c o s -ф+ du а2с= - ~ a 0 cos (ф - ^	+ d \ , (erg =	+ <i|).

(16.14) При этом напряжения и деформации в связующем материале связаны формулами

е { + zx \ =	и0 а2 с), £ 2 + z>c2 = ^r{a 2c - u0 a lc). (16.15)
-ЕЮ	-ЕЮ

Поскольку надежность и работоспособность армированных матери­ алов существенно падает при активном растрескивании (разрушении) связующего материала, появление локализованных зон растрескивания связующего материала свидетельствует о наличии нерационального пе­ рераспределения напряжений между фазовыми материалами в компо­

16.2. Критерий равнопрочности связующего материала

365

зитной конструкции, при котором менее прочный связующий материал оказывается перегруженным, а более прочные армирующие волокна - недогруженными. Положение можно исправить изменением структуры армирования. Однако при таком изменении в оболочке произойдет перераспределение напряжений, которое может привести к появлению других локализованных зон растрескивания связующего и вызвать необходимость новой структуры армирования. Поэтому целесообразно считать рациональной такую структуру армирования, которая приводит к растрескиванию связующего материала на граничных поверхностях слоев сразу по всей поверхности оболочки [228]. Такой подход, с одной стороны, позволит получить более экономичные по расходу материалов конструкции, а с другой стороны, обеспечить повышение надежности эксплуатации конструкции за счет введения коэффициента запаса для нагрузки, гарантирующего отсутствие разрушения связующего матери­ ала, например, путем незначительного пропорционального уменьшения параметров <TQ и d\ в соотношениях (16.14). В общем случае сфор­ мулированная задача равной трещиностойкости связующего материала приводит к необходимости выполнения системы равенств

( л - ^ ) +

+ ^ Щ ^ й }=<Р2 Ш ; 06.17)

366 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки

из которых находим

Ы'фо) - yi(V>i)

Подставляя эти выражения последовательно в (16.10), (16.11) и за­ тем в (16.1)—(16.5), получаем систему четырех дифференциальных соотношений, определяющих зависимости между функциями <5ь 6 2 , hi, ^2. hi (г = 0, 1, 2) фазовых материалов в рассматриваемых конструкци­ ях. Поскольку в общем случае число варьируемых функций превышает количество дифференциальных соотношений, в общем случае можно сформулировать дополнительное требование качества, например мини­ мума веса конструкции:

В = \ [р{5\ + p0 (h2 + hi) + p2 52 ]rRidi&,

(16.21)

где poi,	р ^ — плотности материалов матрицы и армирующих материа­
лов; г =	0, 1, 2.
В этом случае упомянутые четыре дифференциальные соотношения
будут в	соответствии с общей процедурой вариационного исчисле­

ния использованы для построения расширенного функционала. Неко­ торые частные постановки и решения могут быть получены также путем сужения классов используемых материалов. Например, можно использовать геометрически фиксированные структуры армирования (hi, u>ki — известные функции), изотропные материалы (ш*. = 0),

двухслойные материалы (h\		= /г2 = 0). строго безмоментные оболочки
(h\ = h2 ,	5i = 8 2 , Eoi = E Q,	Eki = Ek), плоские диски и изгибаемые
пластины	(R\ = R 2 = 00).

16.3. Критерий равнонапряженности армирующих волокон

Другой важный критерий качества композитных конструкций мо­ жет быть связан с армирующими волокнами. Так как для волокон обычно выбирают материалы самого высокого качества, естественно требовать максимальной реализации их механической прочности всюду в конструкции. Для квазиоднородных армированных оболочек такое требование может быть реализовано при обеспечении строго безмоментного состояния, которое может быть получено при достижении определенной связи нагрузок, геометрии и формы профиля стенки оболочки.

16.4. Получение условий совместности

367

Когда ограничительное требование строгой безмоментности для рассматриваемых слоистых оболочек снимается и стенка оболочки находится в условиях продольно-поперечного изгиба, условие равнонапряженности волокон может быть востребовано лишь на крайних границах слоев. В этом случае вместо равенств (16.17)—(16.20) имеем

[е1- (hi + 5i)x\]lk\ + [£2 - (hi + <5I )X 2](1 - h i) = £*ki = const, (16.22)

(е1	- hiXi)lmo + (е2 - h i x 2)(l -	1то) =	£^о =	const,	(16.23)
(ei	+ h2 x i)lno + ( £ 2 + h2 x 2)(l -	ho) =	£*о =	const,	(16.24)

[ei + (Л.2 + <J2)x i]/s2 + [e2 + (/i2 + 52)X2](1 —ls2 ) = ES2* — const. (16.25)

Разрешая эту систему равенств относительно величин е\, £2 , щ , хг, получим выражения типа (16.21), которые символически представим в виде

£ l =	¥>5 (^ 1 , $2 , h i, h 2 , h i , lm .o,ho, Ь г),
£2 =	<P6(fil, $2, h i, h2, h i, ImO, ho, Ьг),
Щ =	(16.26)
	<P7(Sl,52,hi,h2,lkl,lmO,ho,ls2),

X 2 — (p&(&l, &2 ,hi, ^ 2 ,hl, ImO ho, ^ 2 )*

Подставляя эти выражения последовательно в (16.10), (16.11) и да­ лее в (16.1)—(16.4), получаем систему четырех нелинейных соотно­ шений, определяющих условия существования рациональных проектов оболочек с равнонапряженными структурами армирования. Они могут быть использованы для получения семейств рациональных проектов при соответствующих уменьшениях количества варьируемых функций из набора <Si, 6 2 , hi, /i2, hi, 1-mO, ho, h 2 или Для поиска оптимального по массе проекта при построении с их помощью расширенного функ­ ционала для выражения (16.21).

Наконец, возможно построение комбинированных рациональных проектов при разных требованиях для различных слоев, например равнонапряженности арматуры в некоторых слоях и равной трещиностойкости связующего материала. Это соответствует использованию части равенств из системы (16.16)—(16.19) и из системы (16.22)—(16.25).

16.4. Получение условий совместности при использовании критерия равнонапряженности арматуры

В качестве критерия рациональности примем равнонапряженность арматуры на внешней или внутренней поверхностях оболочки

& ( n ) \ ,y = ± H

^ n ® ( n )

(1 6 .2 7 )

368 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки

Когда требуется обеспечить равнонапряженность окружного и двух симметричных относительно меридиана спиральных семейств волокон, соотношения (16.27) принимают вид

	(ei + 8 ^ Н щ ) cos2 Ф + (е2 + 5 ^ Н х 2) sin2 ф =
	(16.28)
	е2 + <5^Ях2 = е^0,
где	= а ^ / Е п, 6 ^ = ±1 (п = 1, 2), причем верхние знаки соот­

ветствуют случаю равнонапряженности n -го семейства арматуры при 7 = + Я , а нижние — при 7 = —Я ; ф\ = ф, ф2 = ж/2 , (0 < ф < д / 2) — углы укладки соответственно спирального и окружного семейств ар­

матуры;	а^ 0	— допустимые			напряжения			n -го семейства		волокон на
внешней и внутренней поверхностях оболочки. Из (14.14) получим
				и = w' — Ri'&i.							(16.29)
Кинематические соотношения (15.32) с учетом (16.29) становятся
			£1 = /1 -	{Ridi),R l \			е2	= / 2 - r'tfi/r,			(16.30)
где	/1 =	(w" + ш)Я1 1,			/2 =	(и/ cos d + w sin d) /г.					(16.31)
Подставив Ei из (16.30) в (16.28), находим
£ю — /,		-	d\ (l +					cos2 ф+
+	/ 2 - ^	1	( 1 + ^	- | )	Sin2 ^,		4	= / 2 - 7 ^ ( l +		^	^ )
								ti			(16.32)
									по сравнению
Пренебрегаем в соотношениях (16.32) величиной —
								Ri
с единицей и учитываем соотношения (16.30):
			_ _ _± I £10			£20		_ ±			(16.33)
			-	е 20 ^ ----------------------------------				£2 — ^20•
					cos	ф
Приравняв			£1, е2 из (16.30)			и	(16.33), получаем		два		уравнения

для нахождения двух неизвестных функций w, d\, из которых после несложных преобразований следует

	Г0	=Ь	Я1 ejo —егЬ
w =					dtf + Co cos'd,	(16.34)
		£ 20Г
	»о	чcos2d	sin ^	cos2 ф
				£± _ £±
			1 =	c tg f l^ -	Cr	(16.35)
					20

cos2 ф

где Co — постоянная интегрирования.

16.4. Получение условий совместности	369
Таким образом, elt е2, щ , х 2, и, w, д ь а следовательно, и Т\,	Т2,

Mi, М 2 представляются через параметры функций р и q. Действитель­ но, из (16.30), учитывая (16.34), (16.35), получаем

и =	refo —sin$		■ Щ - -	- ? L	cos2 ф	)	М + со	(16.36)
	cosi?		cos219	sin $		)
Выражения (15.33) с учетом (16.35) принимают вид
д,,	_ £ ш ~ 4 о (		ctgtf У	_	gjo ~ 4	/	ctg2i?	(16.37)
	^1	\СОв2ф J		2	R2	\СОв2ф

Подставляя (16.33) и (16.37) в физические соотношения (14.16), полу­ чаем выражения для усилий

	Тг =	2Н (аи + а2 г)е^ +	а,ц £10	2е2о"*	(16.38)
			cos ф
и моментов
	шМ г- — -3Нл ъ(еt20±	Он ( _ctgtf V	0 2i	^ ctg 'в \	(16.39)
		- е10;F ± \ —R	Ri	\совф)
		R\ \сов2 ф)
Из уравнений равновесия
			j		(16.40)
		Q 1 = Ti tgt? - г cos i9 ’
	i9
где J	= rRi(qs cos Ф — q\ sin tydfl C\,		C\ — постоянная		интегриро-
вания.	i9o

Оставшиеся два уравнения равновесия (14.7), (14.11) представляем

в виде
т\ +	7(^1 -	Т2) + Titgtf = J(rcostf) 1 - qiRi,
	/	(16.41)
M[ +	-r ( M i	- M 2) = RiTitgd - Ri J{rcosti)~l.

Подставляя Ti и Mi из (16.38), (16.39) в (16.41), получаем условия совместности исходной системы уравнений:

£ie%) + b ( et o - e2 o) = Gi,

(16.42)

& 2 0 + &(е ю - <4) =

370 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки

где

6 = 2Н	Н '	\	т'
	аи + а> \ 2 + (а п + а 1г) ( -jj	+ tgi? J + {а-п — а2 2 ) ~

6

=

2Яац

—

+ 2 ip'\gip + ^

+ -

(l

- — ) + tgtf

cos2 ip

ап

Н

г

\

а п /

6

=

2R\HXg,d{a\\ + a2i),

&

2.Ri#tgi9

Qli

2 TJ-3

+

+ ~(ffl ~ 92)

" з

я

3 -^ 0 1

COS2 if)

ан

/

ctgi9

f

d2i

{

ctgtf

2

9 г

\

\

R\

у cos2 ip J

R2

^ cos2 ip J

G 1

J(rcosd)~ l —q\R\,

G2

= R\ J(r COST? )'.

Если

£± — £± — £±

c 10

c 20

c * ’

условия совместности (16.42) упрощаются и принимают вид

2Я ( а п + 0 |2)£± = Г » .

2Н{а, \ 2 + а22)е^ — Т ®,

где

Т® = J (rein'd)-1, Т® = Д2<7з —J(i2i sin2tf)_1.

(16.43)

(16.44)

(16.45)

(16.46)

Оболочка в этом случае будет еще и безмоментной и равнодеформируемой.

Рассмотрим цилиндрическую оболочку с двумя семействами равно­ напряженной арматуры (16.28). В этом случае необходимо принять

Ri	= 00,	R id’d = ds, 'd = ir/2,		г = R 2 =	R	= const.	(16.47)
Требование		равнонапряженности		окружного	семейства		арматуры
в этом случае			£2 = £ 20-				(16.48)
Из	кинематических		соотношений	(14.12)	-	(14.15)	с учетом
(16.47),	(16.48)	получаем
			S
		u =	J £ids + uo.	w = Re^0\			(16.49)
			so

$1 = к \ = K 2 = 0.

(1 6 .5 0 )

16.5. Вывод разрешающих систем уравнений

371

Из физических соотношений (14.16), учитывая (16.50), определяем

Mi = М 2 = 0.	(16.51)
Из уравнений равновесия находим
S
= Т\о — J gids, Т2 = Rq3, Tio = Ti(so).	(16.52)
so

Из условия равнонапряженности спирального семейства арматуры по­

	лучаем	±
	± I	£ 10 £ 20	(16.53)
	£1 =£20 +	cos2 ф

Подставляя (16.48), (16.53) в выражения для усилий в физических соотношениях (14.16), находим условия совместности в виде

2Я	(ап + fll2)g^) + Д11	10 2	—
		C O S	ф
			(16.54)
2Я	(Д12 + А22)£20 +	2	2° = ^ 2-
		cos	ф

где Ti, Т2 соответствуют (16.52).

16.5. Вывод разрешающих систем уравнений для оболочек с равнонапряженной арматурой

Используя полученные в предыдущем разделе условия совместно­ сти для различных критериев рациональности, рассмотрим некоторые частные постановки задач рационального проектирования армирован­ ных оболочек вращения и построим разрешающие системы уравнений для случаев, когда рациональное напряженно-деформированное состояние обеспечивается за счет специальных законов распределения толщины оболочки и внутренней структуры композиционного материала.

П О С Т А Н О В К А 1.1 ( Я , ш2)

Требуется обеспечить выполнение условий совместности (16.42) за счет специального распределения толщины и интенсивности окружного армирования. Геометрия оболочки, нагрузки, угол и интенсивность спирального армирования при этом считаются заданными. С помощью

первого уравнения (16.42)	выразим со2:
“ 2 = [С2 - «,* + 4о	- « 2 (4 - 4 )] ( 2 J H E 2 ) .	06.55)

372 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки

где

ft

= 2 Я

Н'

+ tg tfj (ап + а\2) + —(аи

—^22) + а п + а22

—

а 22 =

а Я

+ Зац Е\ sin4 ф

(16.56)

и подставим во второе уравнение (16.42):

{2(4-

4)] =

64 + а (4 - 4 ) + н 2^

,

- {,*4-

G 2. (16.57)

Здесь

f t

= 2Я #1 tgtf

ап

2

ЗЯ'

2

+ ^ Я 3

Я

9\ +

9\ +

— (<?1 — 5г)

cos

ф

3

(16.58)

_ Q12

( C tgtf

У

Q2 2

/

C tg l9 \

2

_

1

/ Ctg \

02

2

Я 1

у cos2 ф J

R 2

Vcos ф )

’

ЗЯ2

\cos ф )

Выражение (16.57)

с

учетом

(16.56),

(16.58)

можно

представить

в виде

а \Н 2 Н' + а2Я 3 + а3Я 2 + а4Я

= G2.

(16.59)

Здесь

a i =

- f r t n e f o

+ (fti

-A tifti)(e^

fl2 =

- ^ 1 6 2 ^ 0

+ (£42 -

Mi^22)(e^ -

ej0);

a 3 =

M l G 1;

<*4 =

£33^0

+

^4

3

“

e 2o)'>

6 = 2(ац + a 12);

61

=

2ац cos-2 ф;

62 — fti tgi? + 2

V

—(ап —а2г) + a n + a'\12

£22 —£21

Oil

ап

г

ап

V

r

& 3 =

#itgtf,

f t i = 2 p i ;

«“ = i 01 +

7

(01 ~ ^2 )

£43

= £21Я 1tgtf.

(16.60)

После замены Я -1 =

U (tf) выражение

(16.59) принимает вид

U ' = a5U + <ци2

+ a7 U3 + a8 U \

(16.61)

где

a5 — a2 a{ \

a6 =

a3a,

\

(16.62)

^7

a4aj

ag = —(72^1

Соотношения (16.55), (16.61) составляют разрешающую систему урав­ нений для определения разрешающих функций (Я, и 2) постановки 1.1. Здесь и ниже, первая цифра после слова “постановка” обозначает используемый критерий рациональности, а вторая — порядковый номер соответствующей задачи проектирования.

16.5. В ы во д р а зр еш а ю щ и х сист ем ур а вн ен и й

373

П О С Т А Н О В К А 1.2 {ф, и>2)

Требуется обеспечить выполнение условий совместности (16.42) за счет выбора угла спиральной и интенсивности окружной арматуры. Геометрия, толщина оболочки, нагрузки, интенсивность спирального армирования считаются заданными. Воспользовавшись представлением и>2 в виде (16.55) и подставив его во второе уравнение (16.42), получим

(6 -

^ Г ) 4 о

+ ( £ “

М2&)(£ш “ е2о) = С2,

(16.63)

fi2

= i i \ H 2,

Gz = G2 —^ 2^ 1-

(16.64)

Выражение (16.63) с учетом (16.56), (16.58) принимает вид

Ьхф" + Ь2 ф' 2 + Ьзф' + 64 =

0,

(16.65)

где

— ^44 (е ш

£2о) ’

^2 — ^4б(^ю

£2о) ’

h

= V263^20 +

(^46 + /^2бз)(^К) ~ е2о)'

Ь4 =

( &

-

+

($47 + М 2 & 4)(£ 10 ~

е2о) “ G 3l

f 13 =

2HbJ\E l

sin 2ф,

f23 =

2f i3;

Ы =

2Я

(ап + ai2) +

^ (ail

- a ^ ) + 2ca{ cos2 ф

$24 = 2 я

{ ^ 7

ф [H

r

ail

^

r

+ 2aE + 2OJ[EI cos2 ф

( COS

£« = 2 Я 39„ /3 ,

?45 = 2H 3Sl3/3;

«“= Iя 3

З Я '

,

,

,

/

,

,

+ 514 + 523 +

— (511 ~ 52l)

U i

= 2 H R l t,g ti - a^ -

+ \ н г

З Я '

,

,

г '

ч

5l2 + 524 +

-(512 -

522)

COS Ф

6

_

2ai2tg?/>

ctgi?

5ll

2a n t g ' 0

ctgi9

’

cos

2 ~

p

521

2

/

p >

ф

Л 1

COS

Ф

-CM

2

_ 0.22К 2 cos219 —ai2Ai

012^2 cos

i9 —anA i

512 —

sin219 cos2

522 —

sin219 cos219

P13 =

4cai£'i со$2фК\ ctg$;

514 = ^“* 4 ^ (Ki c tg d)' + 2w{£i sin2ф К хctgtf;

cos

ф

523 = (4aii£'i tg ^ cos 2 ф — 2ai2tg'0 cos~2'0 ) Ar2ctg2i9+

(4a>i Ei sin 2ф — 2ax1tg ф cos

2 ф) —К ,

sin2 ф

an

№ c tg 2t f ) ' - ^ M M '

5 2 4 =

2

cos

ф

cos

ф \sin

1?/