книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

12.5. Влияние схем армирования и типа волокон

283

Рис. 12.26

ходящему через точки (0,0) и (го,0), и находящимися от него на одинаковом расстоянии (рис. 12.26,6).

Вполярных координатах данная прямая, проходящая через точку (го,$о). задается соотношением г sini? = гоsin$o, где & — полярный угол, ф = —$ = arcsin^osinV'o/V) — угол между касательной к графику

ирадиус-вектором, проведенным из точки (0,0) в точку касания, при этом фо — до-

Вданном случае условие постоянства сечения волокна будет иметь

вид wryjl - (r0/ r ) 2 sin2 фо = uj0 r0 cos ф0-

Удельное объемное содержание арматуры Уу определяется соот­

ношением Vy = 2ct>orocos'0o {y jr\ ~ (ro sin^o)2 —ro cosфо^ /{т\ —г%). Необходимо отметить, что при использовании волокон постоянного се­ чения объемное содержание арматуры в пластине не может превышать

Vy = 2r0 cos фо - (r0sinфо)2 - г0 совфо') / ( r f - rjj).

Армирование вдоль спирали Архимеда. В полярных координа­ тах спираль Архимеда на радиусе го, составляющая угол фо между касательной и радиус-вектором, проведенным в эту точку, задает­ ся соотношением п?о = го$, где ^ — полярный угол, ф — arctgtf =

284 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

= a rc tg rtg фо/го — угол

между

касательной

к

графику

и радиус-

вектором, проведенным

из

точки

(0,0)

в точку

касания, при

этом

фо = arctgtfo-

приведенный

на

В этом случае схема армирования имеет вид,

рис. 12.26, в. Кривая /

— волокно уложено с начальным углом фо =

0°,

кривая 2 — ф о = 20°

, кривая 3 — фо = 70°.

В

случае

укладки

волокон

арматуры

вдоль

спирали

Архи-

меда

условие

постоянства сечения

волокна

будет

иметь

вид

o jr J 1 + (г/го)2 tg 2 фо =				о;0г о \/1 + tg2 ф0 .
Удельное объемное содержание арматуры в пластине VV определя­
ется соотношением			VY	= 2u>0 r0 A/(r^ — r%)y/l + tg2 ф0 , где А = А\ —
— А 2 ,						Го
		А\ =	^	tg фоy j 1 +	( r /r 0)2 tg2 фо			(12.9)
						tgV’o
	+	0,5 In ( г i tg Фо/ TQ + yj 1 + ( r /r 0)2 tg2 фо					To
							tgV’o ’
A 0 =		\ / l	+ tg2 Фо + 0,5 In ^tg V>0 + ^ /l			+ tg2 фо		ro
								tgV’o'
Отметим, что при армировании волокнами постоянного сечения
объемное	содержание			арматуры	в пластине	не может превышать
2roA/(r\	-	r l ) ^ \ + tg2 V’o •
В случае кольцевых пластин с волокнами постоянного сечения важ­

ным преимуществом данного вида армирования является возможность увеличивать объемное содержание арматуры, не используя при этом армирование по окружности, так как существуют комбинации внеш­ них нагрузок, при которых окружное армирование является далеко не оптимальным, как показано в работе [99].

Нагрузки начального разрушения пластины, жестко защем­ ленной на внутреннем контуре со свободным внешним карем, нагруженной распределенным поперечным давлением. Рассмотрим трехслойную углепластиковую пластину постоянной толщины с раз­ личными вариантами армирования, жестко защемленную на внут­ реннем контуре со свободным внешним краем. При расчетах здесь и далее использовались следующие геометрические параметры пласти­

ны: толщина h = 0,01		м,	толщины	слоев h\ — ho =	— J12 =	0,002 м,
h,2 — h\ = 0,006 м,	радиус внутреннего отверстия TQ =				0,03 м,	радиус
внешнего контура	г\	=	0,3 м. На	пластину действует распределен­

ное внешнее давление Р. Расчеты приводились по классической тео­ рии Кирхгофа-Лява (кривые /), теории Андреева-Немировского (кри­ вые 2) и теории Григолюка-Чулкова (кривые 3).

На рис. 12.27 приведена зависимость нагрузки начального разруше­ ния Р от угла укладки арматуры во внешнем и внутреннем слоях на радиусе г = TQ: ф\ = ф3 = ±ф. В среднем слое арматура уложена под углом Ф2 = ±25°. Удельное объемное содержание арматуры составляет

12.5. Влияние схем армирования и типа волокон			285
10%, интенсивности укладки по толщине пластины		= 0,8 для каж­
дого слоя.
7 М 0 '	/ М О *

На рис. 12.27 приведены кривые для случая укладки волокон по логарифмической спирали (а), вдоль спиц велосипеда (б), по спира­ ли Архимеда (в). Сплошные линии соответствуют случаю постоян­ ного поперечного сечения волокон, штриховые — случаю переменно­ го сечения волокон, но постоянной интенсивности укладки арматуры шо(г) — и — const. При расчетах использовалась модель МДВ.

Большое влияние на оценку уровня нагрузок начального разру­ шения оказывает выбор теории пластин. В основном максимальные оценки дает теория Кирхгофа-Лява. Для волокон переменного сечения и схем укладки логарифмическая спираль и спицы велосипеда мини­ мальное значение нагрузки дает теория Андреева-Немировского для всех структур армирования. При армировании по спирали Архимеда находим, что для области (0° —25°) различие между результатами, полученными по различным теориям, минимально и составляет до 7%, а для оставшейся области минимальные оценки будут получены по теории Андреева-Немировского.

Для волокон постоянного сечения наблюдается аналогичный эф­ фект: когда величины нагрузок, полученные по различным теориям су­

286 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

щественно различаются, минимальную оценку дает теория АндрееваНемировского.

На рис. 12.28 приведена зависимость интенсивностей напряжений в связующем (а) и арматуре (б) от радиальной координаты для схемы армирования 60° —25° —60° волокнами постоянного сечения вдоль логарифмической спирали для значения нагрузки 6 • 104 Н/м2.

Рис. 12.28

Видно, что учет поперечных сдвигов приводит к сильному уве­ личению уровня напряжений в связующем на внутреннем контуре пластины.

Угол,	По толщине				Компонент
град. К .-Л .		A .-H . Г .-Ч .		К .-Л . A .-H . Г.-Ч . К .-Л .
	h 0, h$	ho, /13	ho, Ьз	a	a	a	1,3
3	ho, h$	ho, Ьз	ho, /13	a	a	a	1,3
21	ho, Ьз	ho, /13	ho, /13	a	a	a	1,3
33	ho, /13	ho, /13	ho, /13	a	a	a	1,3
45	ho, Ьз	ho, /13	ho, /13	a	a	a	1,3
63	h \ , h i	h \ , h 2	h i , /12	a	a	a	2
81	h \ , h 2	h \ , h 2	h i , /12	a	a	a	2
87	h \ , h 2	h \ , h 2	h \ , /12	a	a	a	2

Т а б л и ц а 12.3

Слой
iX <	Г .-Ч .
1.3	1,3
1.3	1,3
1.3	1,3
1,3	1,3
1.3	1,3
2	2
2	2
2	2

В табл. 12.3 представлены данные о зонах пластины, где происходит начальное разрушение для волокон переменного поперечного сечения, уложенных по логарифмической спирали. Во всех случаях начальное разрушение происходит на внутреннем контуре, где пластина жестко защемлена. Как и в табл. 12.4 приведены значения толщины, фазовой составляющей композита (а — арматура, с — связующее) и слой, в котором значения напряжений превышают предельные. Так как при

12.5. Влияние схем армирования и типа волокон

287

данных структурных параметрах, видах нагружения и краевых усло­ вий картина распределения напряжений симметрична относительно срединной поверхности пластины, уровень интенсивности напряжений будет близок к критическому в двух симметричных точках пласти­ ны. Использованные теории обозначены: К .-Л . — Кирхгофа-Лява, А.-Н . — Андреева-Немировского, Г.-Ч. — Григолюка-Чулкова.

								Т а б л и ц а		12.4
Угол,	По толщине				Компонент			Слой
град. К .-Л . A .-H . Г .-Ч . К .-Л .					A .-H . Г.-Ч . К .-Л . A .-H . Г .-Ч .
0	h o , hz	ho, h z	ho, h z	a	a	a	1,3	1,3	1,3
3	h o , hz	ho, h z	ho, h z	a	a	a	1,3	1,3	1	, 3
21	ho, /13	ho, h z	ho, h z	a	a	a	1,3	1,3	1	, 3
33	ho, /13	ho, h z	ho, h z	c	c	c	1,3	1,3	1,3
45	ho, hz	ho, h z	ho, h z	c	c	c	1,3	1,3	1,3
63	ho, hz	ho, h z	ho, h z	c	c	c	1,3	1,3	1	, 3
81	ho, hz	ho, h z	ho, h z	c	c	c	1,3	1,3	1,3
87	ho, hz	ho, h z	ho, h z	c	c	c	1,3	1,3	1	, 3

В данном случае разрушение происходит в арматуре на внутреннем краю пластины. Для углов больше 50° максимальные напряжения переходят с внешних кромок пластины во внутренний слой.

Для сравнения рассмотрим аналогичную табл. 12.4 для волокон постоянного поперечного сечения с той же схемой укладки. И в этом случае разрушение для всех теорий происходит на внутреннем контуре пластины. Но теперь при углах больше 30° разрушается связующее и разрушение происходит только на внешних кромках пластины.

Проведенные расчеты показали, что для пластины, армированной волокнами постоянного сечения, уровень нагрузок начального разру­ шения больше, чем для пластины с волокнами переменного сечения. Это объясняется тем, что в месте возникновения максимальных напря­ жений на внутреннем контуре пластины интенсивность армирования больше для волокон постоянного сечения при постоянном объемном содержании арматуры.

Нагрузки начального разрушения пластины, жестко защемлен­ ной на обоих контурах нагруженной распределенным поперечным давлением. На рис. 12.29 приведена зависимость нагрузки начального разрушения Р углепластиковой пластины, защемленной на внутреннем и внешнем контурах, остальные параметры такие же, как в преды­ дущем случае. Схемы укладки: логарифмическая спираль (а), спицы велосипеда (б), спираль Архимеда (в).

288 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

Из сравнения рис. 12.27 и 12.29 видно, что характер зависимостей нагрузок начала разрушения от начального угла армирования похож. По прежнему для пластины, армированной волокнами постоянного сечения, уровень нагрузок начального разрушения больше, чем для пластины с волокнами переменного сечения. Видно, что при данных краевых условиях уровень нагрузок значительно выше, чем для жест­ кого защемления внутреннего и свободного внешнего края.

Пластина, нагруженная растягивающим усилием. На рис. 12.30

приведены графики зависимости величины нагрузки начального разру­ шения от угла армирования при растяжении кольцевой пластины на внешней кромке усилием Т0. Для данного типа нагружения зависи­ мость результатов, полученных при использовании различных теорий, от вида армирования существенно отличается от аналогичной зависи­ мости для случая распределенного давления.

Из рис. 12.30, а хорошо видно влияние выбора теории и угла уклад­ ки арматуры на уровень нагрузок начального разрушения. Для пла­ стины с волокнами переменного сечения при малых углах величины нагрузок начального разрушения практически совпадают для всех тео­ рий (предельные напряжения возникают на внутреннем защемленном контуре), при увеличении угла армирования они перемещаются на внешний контур (чему на графике соответствует возникновение точки

12.5. Влияние схем армирования и типа волокон

289

локального максимума), причем для разных теорий это происходит при различных углах.

В табл. 12.5 приведено описание схемы разрушения для некоторых углов армирования в случае укладки волокон переменного сечения по логарифмической спирали.

Выявим схему распределения компонент тензора напряжения по толщине пластины для теории Григолюка-Чулкова при нагрузке на­ чального разрушения. На рис. 12.31, а приведено распределение напря­ жений на внешней кромке пластины, на рис. 12.31,6 при г /п = 0,95 для ф = 75°. Видно, что возникновение максимальных напряжений при 2 = 0,0008 м обусловлено наличием минимума напряжений т13, по величине сопоставимого с напряжениями а и, о<я- Сравнение графиков показывает, что краевые эффекты концентрируются в области мень­ шей 5% от области пластины, а величина эффекта, рассчитанная как отношение разности максимальных напряжений к большему из них, составляет около 60%.

На рис. 12.31, в приведено распределение напряжений на внутрен­ ней кромке пластины при ф = 9° для нагрузки начального разрушения. В этом случае уровень касательных напряжений п з существенно ниже, чем величины <7ц, <722Укладка арматуры под углом близким к 0°

10 С. К. Голушко, Ю. В. Немировский

290	Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец
								Т а б л и ц а 12.5
Угол,	По радиусу			По толщине				Компонент
град.	К .-Л .	А .-Н . г .-ч .		К ,-Л . А .-Н . Г .-Ч .			К,- Л. А .-Н .		Г .-Ч .
0	0,03	0,03	0,03	0	0	0	а	а	а
9	0,03	0,03	0,03	0	0	0	а	а	а
21	0,03	0,03	0,3	0	0	0	а	а	с
27	0,03	0,03	0,3	0	0	0.001	а	а	с
45	0,03	0,3	0,3	0,002	0	0,001	а	а	с
51	0,03	0,3	0,3	0,002	0	0,001	а	а	с
63	0,3	0,3	0,3	0	0	0.0008	а	с	с
75	0,3	0,3	0,3	0	0	0,0008	а	с	с
87	0,3	0,3	0,3	0,002	0,002	0,0008	а	а	с

привела к тому, что значение сги значительно больше остальных, и нагрузка воспринята в основном арматурой.

Получим аналогичные графики для теории Андреева-Немиров- ского.

12.5. Влияние схем армирования и типа волокон

291

На рис. 12.32, а приведено распределение напряжений на внешней кромке пластины, на рис. 12.32,6 при г/г\ = 0,95 для ф = 75°. Видно заметное влияние теории Андреева-Немировского. Вследствие боль­ шого значения производной от введенной в теории функции сдвига 7г нелинейная часть компонент тензора деформаций, связанная с дан­ ной функцией, определяет нелинейный вид распределения компонент тензора напряжений по толщине. При сопоставлении графиков на рис. 12.32 видно, что, как и для теории Григолюка-Чулкова, краевой эффект ярко выражен (до 70%) и концентрируется в области меньше 5% от всей области пластины.

Сопоставление графиков на рис. 12.31, в и 12.32, в показало, что при различии между нагрузками начального разрушения не более 0,1 % разница максимальных значений компонент тензора деформации также не превышает 0,1 % и их поведение практически совпадает.

Нагрузки начального разрушения для случая сложного на­ гружения. На рис. 12.33 приведены поверхности прочности в случае сложного нагружения: распределенного поперечного давления Р и рас­ тягивающего усилия на внешней кромке То при удельном объемном содержании арматуры 0,1. Сплошные линии соответствуют случаю, когда волокна имеют постоянное сечение, штриховые — случаю пе­ ременного сечения волокон, но постоянной интенсивности укладки арматуры. Толщина каждого слоя пластины равна h / 3.

ю*

292 Гл. 12. Анализ НДС многослойных круглых пластин и колец

На рис. 12.33, а изображены поверхности прочности для пластины со слоями, армированными под углами ф\ = 0°,ф2 = ± 8 5 °,фз = ±45°, на рис. 12.33,6 изменен порядок армирования слоев: (±45°, 0°, ±85° на рис. 12.33,в — (±85°, 0°, ±45°). Линиям 1 соответствуют резуль­ таты, полученные по теории Кирхгофа-Лява, линиям 2 — по теории Андреева-Немировского, линиям 3 — по теории Григолюка-Чулкова.

Видно, что в большинстве случаев армирование волокнами посто­ янного сечения более предпочтительно при больших величинах внеш­ ней поперечной нагрузки. При увеличении значения растягивающей нагрузки становится предпочтительнее армирование волокнами пере­ менного сечения.

Для всех рассмотренных случаев классическая теория дает макси­ мальную оценку уровня нагрузок начального разрушения. Минималь­ ную оценку для значения То получим по теории Григолюка-Чулкова.

Из данных графиков видно значительное влияние не только вида армирования, но и порядка расположения слоев. Поменяв местами внешний и внутренний слои пластины (рис. 12.33,6 и в), можно уве­ личить значение максимальной растягивающей нагрузки примерно на 25 %.