36

Таким образом, отображение ϕ: А → В сохраняет операцию. Но это отображение не является изоморфным, так как различные матрицы могут иметь одинаковый определитель. Итак, ϕ – гомоморфизм А на В.

§ 5. Алгебра с одной операцией

Самой простой алгеброй является непустое множество G с одной двуместной (бинарной) операцией, т.е. для любых a,b G определен результат операции a°b G.

Множество с одной двуместной операцией называют группоидом. Полугруппа – это множество G, на котором введена одна ассоциативная

двуместная (бинарная) операция, т.е. для a,b,c G: a°(b°c)= (a°b)°c. Таким образом, полугруппа это группоид, в котором операция ассоциативна.

Рассмотрим примеры. 1. Пусть А - алфавит. Множество всевозможных слов в алфавите обозначим через А+. Если P и Q - слова в алфавите А, то их сцепка (конкатенация) PQ тоже слово в алфавите А. Ясно, что множество слов А+ образует полугруппу относительно операции конкатенации.

2. Пусть Р – множество полиномов вида а0+а1х+а2х2+…+аnxn, где ai – любые действительные числа (0≤ i ≤ n, n ≥ 0). Тогда множество Р является полугруппой относительно, например, сложения полиномов или относительно умножения полиномов.

Моноид – это полугруппа с единицей:

е(е G), что для а из G: e°a=a°e=a.

Рассмотрим примеры. 1. Пусть А+ множество слов в алфавите А. Введем пустое слово (слово без букв) ε и положим А*=А+ {ε}. Тогда А* с операцией конкатенации слов образует моноид. Роль единицы играет пустое слово.

2. Пусть Т – множество некоторых переменных. Подстановкой, или заменой переменных, называется множество пар

G={tk1 /vk1, tk2 /vk2, …, tkr /vkr}.

Результатом применения подстановки к переменной vki будет выражение, полученное заменой vki на tki, 1≤ i ≤ r. Композицией подстановок G1 и G2 называется последовательное применение сначала G1, затем G2. Множество подстановок с операцией композицией подстановок образует моноид, единицей которого является тождественная подстановка, в которой вместо tki подставляется tki (1≤ i ≤ r).

Теорема 2.2. Единица моноида единственна.

37

Доказательство. Допустим, существуют две единицы: e1,e2 G.

Известно, что для а G: e° a=a° e=a. Тогда e1° e2=e2= e1° e2 =e1 e1= e2.

единица единица

Теорема 2.3. Всякий моноид над множеством М изоморфен некоторому моноиду преобразований над М.

Доказательство. Пусть имеем моноид над М: М= M;• . Построим новое множество G, элементами которого являются отображения (преобразования) fg множества М в М:

fg(x)=x• g,

здесь x,g M.

Введём операцию «°» на построенном множестве: fg°fq = fg•q. Эта операция ассоциативна в силу ассоциативности операции •. Роль единицы относительно операции ° играет fe, где е единица в М.

Построим теперь отображение ϕ множества М в G:

ϕ(g)=fg.

Это отображение, очевидно, является взаимно однозначным. Кроме того, имеем:

ϕ(g• q)=fg• q=fg°fq=ϕ(g)°ϕ(q),

т.е. ϕ сохраняет операцию.

Таким образом моноид А= M;• изоморфен моноиду В= G, ° . Что и требовалось доказать.

§ 6. Группы

Группа – это моноид, в котором для любого элемента существует обратный элемент, т.е.

a a-1: a°a-1=a-1°a=e,

здесь a-1 считается обратным к элементу а и a-1 принадлежит этому моноиду. Собирая все аксиомы (условия), получим следующее определение

группы.

Множество G с одной бинарной операций «°» называем группой, если:

1)операция ассоциативна, т.е. для a,b,c из G: a°(b°c)= (a°b)°c;

2)существует единица в G, т.е. такой элемент e G, что для a G: a°e=e°a=a;

3)для любого элемента a G существует обратный элемент, т.е. такой элемент a-1 G, что а° а-1=а-1° а=е.

38

Отметим, что существуют другие эквивалентные определения группы. Если операция в группе называется умножением, то группа называется мультипликативной, если групповая операция называется сложением, то

группа называется аддитивной.

Рассмотрим примеры. 1. Множество невырожденных квадратных порядка n×n матриц действительных чисел образует группу относительно операции умножения матриц. Единицей группы является единичная матрица, а обратным элементом – обратная матрица. Эта группа является мультипликативной группой.

2.Все целые числа образуют аддитивную группу относительно операции сложения чисел. Единицей группы будет 0, а обратным элементом для числа m является число (-m).

3.Пусть М – непустое множество и G=2M – множество всех подмножеств множества М. На G введем операцию как симметрическую разность:

А°В=А В.

Можно убедиться, что эта операция ассоциативна. Пустое множество

будет единицей, ибо

А° =А =А и °А= А=А.

Обратным к А будет сам элемент А, так как

А А= .

Таким образом, G с введенной операцией симметрической разности является группой.

Теорема 2.4. Обратный элемент в группе единственен.

Доказательство. Допустим, что для а существует два обратных

элемента а1-1 и а2-1, тогда

e = a1-1°a= a2-1°a=e.

Умножив элементы этого равенства справа на a1-1, получим

a1-1 =(a1-1°a)°a1-1= (a2-1°a)°a1-1= a1-1 a1-1 = a2-1°(a°a1-1)= a2-1 a1-1= a2-1.

Теорема 2.5. В группе выполняются следующие соотношения:

1)(a° b) -1=b -1 ° а -1;

2)если a° b = а° с, то b=c;

3)если b° a = c° a, то b=c;

4)(a -1) -1 =a.

39

Доказательство. 1) (a°b)°b-1°a-1=a°(b°b-1)°a-1=a°e°a-1=a°a-1=e; b-1°a-1

°(a°b) = b-1° (a-1 °a)°b= е. Следовательно, b-1°a-1 является обратным элементом для (a° b);

2) a°b=a°c a-1°(a°b)=a-1°(a°c) (a-1°a)°b=(a-1°a)°c e°b=e°c b=c.

Аналогично для остальных утверждений.

Теорема 2.6. В группе можно однозначно решить уравнение a°x=b.

Доказательство. a°x=b a-1° (a°x)=a-1°b (a-1°a) °x=a-1°b e°x = a-1°b х = a-1°b.

Группа называется коммутативной или абелевой, если для a,b G: a°b=b°a.

Положим, что если k=0, то bk = е; если k >0, то bk =b°b°…°b; если же

k < 0, то bk =b-1°b-1°…°b-1.	k раз
(-k) раз

Пусть В - некоторое подмножество группы G. Если любой элемент а мультипликативной (аддитивной) группы G можно представить в виде произведения (суммы) элементов из В и их обратных, то элементы из В

называются образующими. Так, если В={b1, b2, …, bn} и для a G имеем:

a=b1k1°b2k2°…°bnkn,

то элементы множества В являются образующими группы. Группа с одной образующей называется циклической.

Таким образом, в циклической группе с образующей а, любой элемент b группы представим в виде b=am, где m – некоторое целое число.

Циклическая группа состоит из степеней одного элемента. Для этой группы существует две возможности. Либо все степени ak различны, тогда

циклическая группа

…, a-2, a-1, a0=e, a1, a2, …

бесконечна. Либо оказывается, что существуют k и m такие, что: ak=am, k>m>0,

тогда

ak-m=e (k-m>0).

Пусть в этом случае n-наименьший положительный показатель, при котором

an=e. Тогда степени

a0, a1, a2, …, an-1

различны, иначе, если ah=ak (0≤ k< h≤ n), то получим, что ah-k=e (0<h-k<n),

что противоречит выбору числа n.

Наименьшее целое положительное n такое, что

an=e