В – выпала цифра 2

Р_А(В)=(2 благоприятствующих исхода из возможных 5 исходов)}

Теорема 4 (Теорема умножения вероятности).

Вероятность совместного появления двух событий (а·в) равна произведению одного из этих событий на условную вероятность другого события.

Р(А·В)=Р(А)·Р_А(В)=Р(В)·Р_В(А).

{ Пусть n – общее число исходов, k – число исходов, благоприятствующих наступлению событий А, и из этих k-событий, m – благоприятствует наступлению события В, тогда наступлению А·В благоприятствует m - исходов, следовательно (по классическому определению вероятности)

Р(А·В) = ==Р_А(В)·Р(А) }

Следствие: Если события А и В независимые, то вероятность совместного наступления этих событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

Пример 6. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

{ Обозначим А – первый, вынутый шар, белый.

В – второй, вынутый шар, белый.

С – оба шара – белые, тогда

С=А·В.

По теореме умножения вероятностей для случая зависимых событий имеем:

Р(С)=Р(А·В)=Р(А)·Р(В\А)=Р(А)·Р_А(В)

Вычислим Р(А), Р_А(В)

Р(А) ===(вероятность появления первого белого шара);

РА(В) ==(вероятность появления второго белого шара в предположении, что первый белый шар уже вынут).

Следовательно, Р(А·В) ==}

3. Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти совместно с одним и только одним событием Н₁, Н₂, …Н_n , которые образуют полную группу событий. События Н_i – принято называть гипотезами.

Теорема 5. Вероятность события А равна сумме попарных произведений вероятностей всех гипотез на соответствующие условные вероятности события А.

Р(А)= - формула полной вероятности, где

{ Так как Н₁;Н₂;…;Н_n – несовместные, то Н₁А;Н₂А;…;Н_nА – несовместные, очевидно А=Н₁А+Н₂А+…+Н_nА

По теореме о сложении несовместных событий, имеем

(теорема 5)

Р(А)=Р(Н₁А)+Р(Н₂А)+…+Р(Н_nА)=

=Р(Н₁)Р_Н1(А)+Р(Н₂)Р_Н2(А)+…+Р(Н_n)Р_Hn(А) }

A=

Р_n = n’

C=

6. Заключение

Теория вероятности изучает случайные события. Вероятность – это количественная мера возможности появления события. Основные формулы:

ОSP (A) ≤ 1

P (A) =

C=A+В

С=А·В

С=

P(A+B)=P(A) +P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

P(A·B)=P(A)·P(B)

P(A·B)=P(A)·P(B/A)

7. Список литературы. 1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. – М.: Владос, 2002 2. Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. – Ростов н/Д: Феникс, 2002. с 280 3. Грес П.В. Математика для гуманитариев. – М.: ЮРАЙТ, 2000 4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998

5. Кремер Н.Ш. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Юнити», 1999