89

E 2

= E 2

+ E 2

+ E 2

+ E 2

+ E 2

+

4

[R2

(∆R )2

+ R2

(∆R

)2 ] +

4

[T 2

(∆T )2

+T 2

(∆T )2

]

(R2

− R2 )2

(T 2

−T 2 )2

V

ϕ2

ϕ0

M

m

r

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

Для уменьшения количества вычислений целесообразно оценить относительный вклад отдельных слагаемых в этой сумме и пренебречь малыми членами.

Таблица.

m =

M =

r =

R1 =

R2 =

ϕo =

(в радианах)

∆R1 =

∆R2 =

∆m =

∆M =

∆r =

∆ϕo =

№

10Т1 с

с

∆Т1 с

10Т2 с

с

∆Т2 с

м/с

м/с

Т1

Т2

V

∆V

1

2

3

4

5

Контрольные вопросы

1.Дать определение момента силы относительно точки и относительно оси, проходящей через эту точку, и объяснить смысл входящих в него величин.

2.Дать определение момента импульса относительно точки и относительно оси, проходящей через эту точку, и объяснить смысл входящих в него величин.

3.Основной закон вращательного движения. Разные формы его записи.

4.Вывести уравнение, описывающее колебательное движение груза массой m; прикрепленного к пружине, коэффициент упругости которой равен k.

Показать, что общим решением этого уравнения является функция

X= Acos(ω t +α) , где А и α – произвольные постоянные; ω = k / m .

5.Пусть имеется маятник массой М, подвешенный на нити длиной L. В маятник попадает пуля (снаряд) массой m, летящая со скоростью V, при этом маятник отклоняется в горизонтальном направлении на расстояние l. Вывести выражение для скорости пули V через измеряемые параметры. Удар пули о маятник считать неупругим, массу маятника М>>m, а отклонение маятника малым, так что l<<L.

6.Следует ли из основного закона динамики вращательного движения закон сохранения момента импульса? Если да, то как именно?

7.Орбиты всех планет Солнечной системы лежат в одной плоскости (эклиптики), причем ориентация этой плоскости в пространстве не меняется со времени образования Солнечной системы. Связан ли этот факт с законом сохранения момента импульса?

90

РАБОТА 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ

Приборы и принадлежности: прибор «Наклонный маятник», комплект плоскостей и шаров, штангенциркуль или микрометр.

Введение. Сила трения качения пропорциональна силе нормального давления N и обратно пропорциональна радиусу вращающегося цилиндра или шара R (рис. 1).

	Fкач. = k	N	(1)
		R

рис. 1

Если шарик совершает собственные колебания, вращаясь по плоскости (ниже рассмотрено, как это осуществляется в данной лабораторной установке), то под действием постоянной силы трения качения его механическая энергия будет уменьшаться. Соответственно будет уменьшаться амплитуда колебаний. Оценить уменьшение амплитуды можно следующим образом (рис. 2). Работа постоянной силы трения качения Fкач. за один полный период колебания численно равна произведению силы на путь

A0	= Fкач. 2S = Fкач. 4lα0 ,	(2)
где α0 – первоначальный угол	отклонения (рис. 2). Из-за	уменьшения

91

амплитуды эта работа уменьшается за каждый последующий период, и в последний n – ый период, она примерно равна

An = Fкач. 4Lαn .

(3)

α0

Fтрения

αn

а

V

рис.2

Полная потеря энергии за n периодов равна

	A =	A0 + An	n = Fкач. 4l α0	+αn n	(4)
		2
				2

и она равна уменьшению потенциальной энергии шарика (разность потенциальных энергий в первоначальном отклонении и последнем отклонении)

П(α0 ) − П(αn ) = Fкач. 2nL(α0 +αn ) .

(5)

Потенциальная энергия шарика на нити (рис. 3) в поле сил, создающих ускорение a , равна П = mah (в частности, в поле сил тяжести П = mgh ), где

h = l −l cosα = 2l sin2 α	≈ 2l	α2	=	lα2	(6)
		4
2			2

(с учётом малости угла α, значение α в радианах). С учётом формул (5) и (6)

malα02	− malαn2	= Fкач. 2nl(α0 +αn )	(7)
2	2

Откуда значение силы трения качения равно:

92

Fкач. = ma(α0 −αn ) ,	(8)
4n

то есть для её определения нужно установить уменьшение амплитуды колебаний за n периодов.

рис. 3

Описание установки и метода измерений

На основании, снабжённом регулирующими ножками, установлены неподвижные: электрическая часть и труба, и подвижная часть, состоящая из колонки, к которой на нити подведен шар, навинченный на ось, фотоэлектрического датчика, шкалы , плоскости, по которой катается шар. Вся подвижная часть может поворачиваться с помощью воротка на угол β от вертикальной оси, который регистрируется по шкале. Электрическая часть состоит из секундомера, счётчика числа колебаний и выключателей (сеть), (сброс), (стоп) – окончание измерений. При установке колонки в отклонённое положение сила реакции опоры со стороны плоскости, на которую опирается шарик, равна mg sin β , а составляющая силы тяжести в плоскости колебаний

равна mg cos β (то есть ускорение а в формуле (7), равно a = g cos β ). При

отклонении шарика из положения равновесия на угол α0, регистрируемый по шкале, он будет скатываться по плоскому образцу, совершая колебания, амплитуда которых уменьшается со временем. Подставив в формулу 8 значение силы трения и ускорения а:

k mg sin β	= mg cos β(α0 −αn ) ,	(9)
R	4n

получим значение коэффициента трения

93

	k =	R		(α0 −αn )	(10)
		tgβ
				4n

Для экспериментального определения коэффициента трения при известном угле отклонения от вертикали β нужно измерить радиус шара R, число полных колебаний n, начальную амплитуду α0 и конечную αn.

Порядок выполнения работ

1.С помощью ножек установить прибор в горизонтальном положении (при этом шкала должна быть установлена на 0, нить шара должна пересекать ноль шкалы, и сам шар слегка касаться плоскости, которая вставляется в кронштейн). Длину нити установить такой, чтобы шар находился в средней части плоскости, а его ось пересекала луч фотоэлектрического датчика.

2.Измерить диаметр шарика 2R.

3.Включить прибор в сеть и нажать выключатель.

4.Установить ноль показаний приборов выключателем.

5.Вращая вороток, отклонить подвижную часть на угол β=300.

6.Отклонить шар из положения равновесия на малый угол α (до 60-70), и отпустить его.

7.После совершения шаром 10 полных колебаний нажать клавишу (стоп) и замерить амплитуду αn последнего колебания.

8.Аналогичные измерения провести для углов β=450 и β=600, данные занести в табл. 1 и провести расчёты k.

Таблица 1

Измерения

Расчёты

2R = ∆R = n =

ki =

R

(α0 −αn )

∑ki

T = ∆α =

∆β =

∆kприб

∆kслуч

tgβ

4n

k =

∆k

3

β

αo

αn

β = 30o

β = 45o

β = 60o

9.Вставить в кронштейн другую пластину и подвесить соответствующий ей шарик из набора. Провести измерения по пунктам 1-8, данные занести в табл. 2, аналогичную таблице 1.

10.Вставить в кронштейн третью пластину и подвесить соответствующий ей шарик из набора. Провести измерения по пунктам 1-8, данные занести в табл. 3, аналогичную таблице 1.

Как результат выполнения лабораторной работы, представить рассчитанные значения коэффициентов трения для всех пар пластин и шаров.

94

Примечание. Приборную погрешность можно определить по формуле:

∆k

=

(

∆R )2

+

2∆α2

+(

∆β

)2 ,

приб

k

(α0 −αn )2

cos β

R

случайную погрешность по формуле

		∑(ki −		)2
	∆kсл =		k
		3 2

В результате стандартная погрешность измерений определяется как корень из квадратов приборной и случайной погрешностей

∆k = ∆kприб2 + ∆kсл2

Контрольные вопросы

1.Какие виды трения вы знаете? Почему трение относится к неконсервативным силам?

2.Как соотносятся силы трения покоя и трения скольжения?

3.Каков основной признак того, что тело катится по поверхности. Что такое мгновенная ось вращения?

4.Когда водитель автомобиля нажимает на тормоз, как меняется характер силы трения между колесами и дорогой?

5.От чего зависит сила трения качения?

6.Как определяется сила трения качения и коэффициент трения в условиях данной лабораторной работы?

7.Погрешность, какой измеряемой величины наиболее отразилась на погрешности коэффициента трения?

95

РАБОТА №16 ПРАВИЛА КИРХГОФА

Приборы и принадлежности электрическая схема включающая два источника тока, сопротивления, вольтметр (для измерения напряжения на резисторах).

Введение. Правила Кирхгофа (первое и второе) являются следствием двух основных законовзакона сохранения электрического заряда для линейных проводов и закона Ома.

Первое правило Кирхгофа. Рассмотрим три проводника, соединяющиеся между собой в точке 1 (рис. 1).Назовем узлами все точки, в которых сходятся не менее трех проводников.

рис. 1

Так как ясно, что в точках разветвления проводов (т.е. в узлах) электрические заряды при прохождении постоянных токов не накапливаются, то первое правило Кирхгофа можно сформулировать в следующем виде: «В каждой точке разветвления проводов алгебраическая (с учетом знаков) сумма токов равна нулю. Токи, идущие к точке разветвления, и токи, исходящие из нее, следует считать величинами разных знаков».

Применительно к рис. 1 первое правило Кирхгофа может быть записано следующим образом:

I1 − I2 − I3 = 0.

(1)

Второе правило Кирхгофа. Рассмотрим цепь, состоящую из трех уч астков: 1-2, 2-3,3-1 (рис. 2). Применим к каждому из них закон Ома для неоднородного участка цепи:

1-2	ϕ1 −ϕ2 − ε3 = − I3 R3
2-3	ϕ2 −ϕ3 + ε1 = − I1 R1	(2)
3-1	ϕ3 −ϕ1 +ε2 = I 2 R2 ,

96

где все обозначения общепринятые. Складывая эти равенства, получим:
∑I k Rk = ∑εl,,		(3)
k	l

где в данном конкретном случае k, l =1, 2.

рис. 2

Выражение (3) представляет собой второе правило Кирхгофа, которое можно сформулировать следующим образом: “Выделим в цепи произвольный замкнутый контур, состоящий из проводов. Сумма электродвижущих сил, действующих в таком контуре, равна сумме произведений сил токов в отдельных участках этого контура на их сопротивления”.

При применении правил Кирхгофа (в частности при решении задач) надо поступать следующим образом:

1.Направления токов во всех участках цепи следует обозначать стрелками, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить. Если вычисление покажет, что ток положителен, то его направление указано правильно. Если же ток отрицателен, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.

2.Выбрав произвольный замкнутый контур, все его участки следует обойти

в одном направлении. Если это направление совпадает с направлением стрелки, то слагаемое IR берется со знаком “+”; если же направление противоположное, то оно берется со знаком “-”.Если при обходе контура источник тока проходится от “-” к “+”, то э.д.с. следует считать больше нуля; в противном случае следует считать, что э.д.с.<0.

3. Все э.д.с. и все сопротивления должны входить в систему уравнений.

Описание установки и метода измерений

Схема, используемая для проверки правил Кирхгофа, изображена на рис. 3. Она имеет четыре узла (1, 2, 3, 4) а также содержит четыре независимых контура (I, II, III, IV).

97

В работе необходимо измерить э.д.с. источников тока а также падение напряжений на отдельных участках цепи с известными сопротивлениями, вычислить величины тока на этих участках и определить их направления

Для экспериментальной проверки правил Кирхгофа необходимо знать абсолютные ошибки измерений, а именно ∆U и ∆ε а также ∆I и ∆R. Ошибка ∆ε=∆U определяется по шкале прибора (см. введение к первой части лабораторных работ).

Ошибка ∆I может быть определена по правилам вычисления ошибок косвенных измерений, а именно:

	∆I =		(∆U )2	+	U 2	(∆R)2	,	(4)
			R2		R4

где U - падение напряжения на сопротивлении R, a ∆R≈0.1R.

рис.3. Принципиальная схема установки.

R1=3.4, R2 =18.0, R3 =11.0, R4 =4.7,

R5 =24.0, R6=2.4, R7=16.0 кОм. ∆Ri=0.1Ri (i=1,2...7).

Порядок выполнения работы

1.Перечертить экспериментальную схему (рис. 3) в тетрадь.

2.Измерить величины э.д.с. ε1=U1 и ε2=U2. Для этого включают пр ибор в сеть и ручку “уст. нуля” устанавливают на нуль. Правый переключатель в

положении U1 измеряет ε1, а в положении U2 измеряет ε2. Результаты занести в таблицу 1.

3.Измерить величины напряжений на всех сопротивлениях контура (номер контура задается преподавателем). Результаты измерений занести в таблицу 1.

4.Рассчитать ошибку ∆I по формуле (4).

5.Сравнить алгебраическую (с учетом знаков) сумму напряжений в заданном контуре со значением э.д.с. в этом контуре. Сделать вывод о том, подтверждает ли проделанный Вами эксперимент второе правило Кирхгофа.