Глава 8. Исследование поведения функций

§ 8.1. Исследование поведения функций одной переменной

В этом параграфе будут сформулированы условия монотонности и выпуклости функции, существование у нее локальных экстремумов и наибольших (наименьших) значений, изучено поведение функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва второго рода.

8.1.1. Условия монотонности функции

Теорема 8.1. Если функция имеет производную на интервале, то справедливы следующие утверждения.

1. Если на интервале то функция возрастает(убывает) на этом интервале.

2. Производная на интервале тогда и только тогда, когда функция не убывает(не возрастает) на этом интервале.

Доказательство

1. Рассмотрим две произвольных точки ииз интервала и пусть . Так как на отрезкевыполняются условия теоремы Лагранжа, то найдется такая точка , что справедливо равенство

. (1)

Из условия теоремы и равенства (1) следует цепочка импликаций:

на интервале

возрастает (убывает) на интервале .

2. Необходимость. Если на интервале , то из формулы (1) следуют цепочки импликаций:

на интервале

не убывает (не возрастает) на интервале .

Достаточность. Пусть теперь не убывает (не возрастает) на интервале . Отсюда, если — произвольная точка интервалаи, то

.

Так как функция дифференцируема в точке, то

. ■

Критическими точками функции называют точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции разбивают область определения функции на интервалы. В каждом таком интервале производная сохраняет свой знак (теорема Дарбу), а функция строго монотонна (теорема 8.1).

Примеры. Найти интервалы убывания и возрастания функции :

1. . 2..

Решение

1. Функция определена при всех значениях . Найдем производную и

критические точки функции: , нули производной,, являются единственными критическими точками. Они разбивают числовую ось на интервалы: , , , . Определим знак производнойв каждом интервале:, если;, если

. Отсюда следует, что на интервалах ифункция возрастает, а на интервалахи— убывает.

2. Функция определена при всех значениях . Найдем производную и критические точки функции:, в точкепроизводная не существует, а в точкепроизводная равна нулю. Они разбивают числовую ось на интервалы:, , . Определим знакв каждом интервале:при;, при. Отсюда следует, что на интервалахифункция возрастает, а на интервале— убывает. ●

8.1.2. Локальные экстремумы функции

Пусть функция определена в окрестности точки, т.е. определена на интервале,). Если в точкефункция принимает наибольшее (наименьшее) значение в окрестности, то точкуназываютточкой локального максимума (минимума). Эти точки называют также точками локального экстремума функции. Теперь из теоремы Ферма вытекает необходимый признак локального экстремума.

Теорема 8.2. Функция определена в окрестноститочки , и в этой точке существует производная. Если — точка локального экстремума функции, т.е. точка локального максимума или минимума, то . ■

В точке локального экстремума функция может быть не дифференцируема. Примером такой функции может служить функция , которая в точкеимеет локальный минимум, но не дифференцируема в этой точке. Точки локального экстремума функции являются критическими, но обратное утверждение в общем случае неверно. Ниже будет доказана теорема, позволяющая установить, когда критическая точка функции является точкой локального экстремума.

Лемма. Функция непрерывна на интервалеи на этом интервале имеет производную, кроме точки. Тогда справедливы утверждения.

1. Если на, топри любом.

2. Если на, топри любом.

Доказательство 1. Возьмем произвольную точку и. Используя лемму Ферма, получим цепочку импликаций:

,

.

2. Возьмем произвольное число и. Используя лемму Ферма, получим цепочку импликаций:

,

. ■

Теорема 8.3 (достаточное условие локального экстремума). Функция непрерывна на интервалеи на этом интервале имеет производную, кроме точки. Тогда справедливы утверждения.

1. Если на интервалеина интервале, то точка— точка локального минимума функции.

2. Если на интервалеина интервале, то точка— точка локального максимума функции.

3. Если илина интервале, то точкане является точкой локального экстремума функции.

Доказательство

1. Из 1-го и 2-го утверждения леммы следуют импликации:

на интервале при любом,

на интервале при любом.

Отсюда следует, что для всех , т.е. функция имеет в точкелокальный минимум.

2. Из 1-го и 2-го утверждения леммы следуют импликации:

на интервале при любом,

на интервале при любом.

Отсюда следует, что для всех , т.е. функция имеет в точкелокальный максимум.

3. Предположим, что на. Из 1-го и 2-го утверждения леммы следуют импликации:

на интервале при любом,

на интервале при любом.

Следовательно, не является ни наибольшим, ни наименьшим значением функциив окрестности, т.е.не является точкой локального экстремума. ■

Из теоремы 8.3 следует, что будет точкойлокального минимума функции , если знак производнойпри переходе через точкуменяется со знака – на знак +. Если же знакв точкеменяется со знака + на знак –, тобудет точкойлокального максимума функции .

Примеры. Найти точки локального экстремума функции :

3. ; 4.; 5..

Решение

3. Производная функции равна. Точкаявляется единственной критической точкой функции. В окрестности этой точки функциянепрерывна и имеет производную. При переходе через точкупроизводная меняет знак с – на знак +. Из теоремы 8.3 следует, что— точка локального минимума.

4. Производная функции равна. Точкаявляется единственной критической точкой функции. В окрестности этой точки функциянепрерывна и имеет всюду производную, кроме точки. При переходе через точкупроизводная меняет знак с – на знак +. Из теоремы 8.3 следует, что— точка локального минимума.

5. Производная функции равна. Точкаявляется единственной критической точкой функции. В окрестности этой точки функциянепрерывна и имеет всюду производную, кроме точки. При переходе через точкузнак производной не меняется. Из теоремы 8.3 следует, чтоне является точкой локального экстремума функции.