- •Глава 1. Варианты контрольных заданий 5
- •Глава 2. Примеры решения задач 21
- •Введение
- •Глава 1. Варианты контрольных заданий Задача № 1
- •Задача № 2
- •Задача № 3
- •Задача № 4
- •Задача № 5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Глава 2. Примеры решения задач Задача № 1
- •Решение
- •Решение системы уравнений матричным методом.
- •Решение системы уравнений по формулам Крамера.
- •Задача № 2
- •Решение
- •Задача № 3
- •Решение
- •Задача № 4
- •Решение
- •Задача № 5
- •Решение
- •Задача №6
- •Решение.
- •Задача №7
- •Решение.
- •Задача №8
- •Приложения
- •Список рекомендуемой литературы
Решение системы уравнений по формулам Крамера.
Исходная система уравнений имеет вид:
Из коэффициентов при неизвестных составляем главный определитель системы:
По правилу Сарруса находим значение этого определителя:
=5∙2∙2+3∙6∙1+2∙4∙4-3∙2∙4-2∙6∙2-5∙4∙1= 20+18+32-24-24-20=2≠0
Заменяя столбцы коэффициентов при каждом из неизвестных в главном определителе системы столбцом свободных членов, мы находим соответствующие вспомогательные определители системы:
4. В целях рациональности вычисления находим вспомогательные определители, применяя теорему Лапласа к первому, второму, третьему столбцу, соответственно:
4.1
4.2
4.3
По формулам Крамера находим неизвестные:
Решение окончено.
Проверка:
Ответ:ежедневный выпуск продукции составляет200 шт.изделияS1,150 шт.изделияS2и200 шт.изделияS3.
Задача № 2
Определить, имеет ли матрица Aобратную, и если имеет, то вычислить ее:
Решение
1)Вычисляем определитель матрицыА, применяя теорему Лапласа к первой строке:
2)Выписываем транспонированную матрицуАТ:
3)Строим присоединенную матрицу. Ее элементы представляют собой алгебраические дополнения соответствующих элементов транспонированной матрицыАТ.
Выписываем присоединенную матрицу:
4)Находим обратную матрицу по формуле:
Проверка.Воспользуемся определением обратной матрицы :
Задача № 3
В таблице приведены данные об исполнении баланса. Используя модель Леонтьевамногоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный выпуск энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной в 1,2 раза.
Вариант №1. | ||||||
№ |
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
| |
|
Энергетическая |
100 |
160 |
240 |
500 |
|
|
Машиностроение |
275 |
40 |
85 |
400 |
|
Решение
1)Вычисляем коэффициенты прямых затратaij, показывающие, какой объем продукцииi-ой отрасли идет на производство одной единицы продукцииj-ой отрасли:
2)Выписываем столбец валового выпускаX, столбец нового конечного выпускаY, а также матрицу прямых затратА.
3)Вычисляем матрицуE-A
4)Вычисляем матрицу полных затратS=(E-A)-1.Каждый элементsijэтой матрицы показывает величину валового выпускаi-ой отрасли, необходимого для обеспечения выпуска одной единицы конечного продуктаj-ой отрасли.
4.1.Вычисляем определитель
4.2.Находим транспонированную матрицу
4.3.Строим присоединенную матрицу:
4.4.Находим обратную матрицу:
5)Вычисляем новый вектор валового выпуска:
6)Строим новую балансовую таблицу, предварительно вычисляя недостающие величины:
| ||||||
№ |
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт |
Валовой продукт |
| |
|
Энергетическая |
186,4 |
265,6 |
480 |
932 |
|
|
Машиностроение |
512,6 |
66,4 |
85 |
664 |
|
Проверка: