- •Глава 1. Варианты контрольных заданий 5
- •Глава 2. Примеры решения задач 21
- •Введение
- •Глава 1. Варианты контрольных заданий Задача № 1
- •Задача № 2
- •Задача № 3
- •Задача № 4
- •Задача № 5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Глава 2. Примеры решения задач Задача № 1
- •Решение
- •Решение системы уравнений матричным методом.
- •Решение системы уравнений по формулам Крамера.
- •Задача № 2
- •Решение
- •Задача № 3
- •Решение
- •Задача № 4
- •Решение
- •Задача № 5
- •Решение
- •Задача №6
- •Решение.
- •Задача №7
- •Решение.
- •Задача №8
- •Приложения
- •Список рекомендуемой литературы
Задача № 4
В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:
1.- спроса, |
- предложения, |
где p– цена товара.
Найти:
Равновесную цену p0.
Эластичность спроса и предложения для этой цены.
Изменение дохода при увеличении цены на 5%от равновесной.
Решение
1)Определяем равновесную ценуp0, при которой спрос равен предложению.
Отсюда p0=2. (Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий экономического смысла).
График зависимостей спроса и предложения от цены представлен на рис. 1.
Рис.1. Зависимости спроса и предложения от цены.
2)Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.
2.1.Находим производныеq’(p)иs’(p).
2.2.Получаем общие выражения для эластичностей спроса и предложения.
2.3.Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене.
Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается (т.к. «-») на 0, 3%, а предложение возрастает (т.к. «+») на 0,8%.
3)Выведем общее выражение для эластичности доходаR=pqпо цене, пользуясь свойствами эластичности и подставим в него численные значенияp0 иE2(q):
Это означает, что при увеличении цены на 1%от равновесного значения доход увеличивается на0,7%.Следовательно, при увеличении цены на5%от ее равновесного значения доход увеличится на50,7%=3,5%.
Ответ: 1) равновесная цена товара равна2; 2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0, 3%, а предложение возрастает на 0,8%; 3) при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 3,5%.
Задача № 5
Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержекCимеет вид , гдеq- объём производства.
Используя методы дифференциального исчисления:
выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы Пот объема производстваqпостроить ее график.
Найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.
a=7; b=0,01; c=5; p=10
Решение
Учитывая, что прибыль представляет собой разность между доходом и издержками, и подставляя численные данные, получаем явный вид зависимости прибыли от объема производства:
1)Выполняем полное исследование функцииП(q)
1.1.Область определенияD(П)=[0;+∞].
1.2.Находим первую и вторую производнуюП’(q) и П’’(q)
1.3.Находим критические точки, решая уравнениеП’(q)=0
1.4.Наносим критическую точку на числовую ось, и находим знак первой производной на каждом из получившихся интервалов:
Из рисунка делаем выводы о том, что функция возрастает при , а убывает при ; в точкеq=10функция имеет максимум.
Вычислим значение функции в этой точке:
1.5.Найдем точку перегиба графика функции, решая уравнениеП’’(q)=0
Так как случай q=0 не представляет практического интереса, будем считать, что график функции точек перегиба не имеет.
1.6.Найдем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на каких—вогнутый.
Так как на всей области определения, делаем вывод о том, что график функции выпуклый на всей области определения.
1.7.Сводим все полученные результаты в итоговую таблицу:
Таблица 1.
q |
П’(q) |
П’’(q) |
П(q) |
Примечания |
0 |
+ |
— |
-5 |
график выпуклый |
(0;10) |
+ |
— |
↑ |
график выпуклый |
10 |
0 |
— |
15 |
максимум |
(10;+∞) |
— |
— |
↓ |
график выпуклый |
1.8.Строим схематический график функции
Рис.2. График зависимости прибыли от объема выпуска продукции.
2)Очевидно, что оптимальным для фирмы является объем выпуска, равный 10, при этом прибыль будет максимальна и составит 15.
Ответ в данной задаче нет необходимости выписывать отдельно, так как он фактически содержится в таблице 1.