Z2SEM

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Для интегралов вида R R(sin x; cos x) dx, где R -рациональная функция своих аргументов, можно применять универсальную тригонометрическую подстановку t = tg x2 , тогда

dx =

2dt

;

sin x =

2t

;

cos x =

1 ¡ t2

:

1 + t2

1 + t2

1 + t2

Пример 15.

0

2dt2

1

t =

tg

x

Z

B

C

=

2t

1 + sin x + cos x B sin x =

1

C

dx

B

dx =

+ t2 C

B

C

1

+ t

2

B

C

B

1

t

2 C

B

C

Bcos x =

1

¡

C

B

+ t2 C

@

A

= Z

2dt

= Z

dt

= ln jt + 1j + C =

(1 + t2)(1 +

2t

+ 1+1¡tt22 )

t + 1

1+t2

+ C:

= ln

¯tg 2

+ 1¯

¯

x

¯

¯

¯

Следует заметить, что универсальная тригонометрическая подстановка иногда приводит к громоздким вычислениям. Поэтому рекомендуется для частных случаев использовать другие подходы.

Например, для интегралов вида R sin2n x cos2m x dx, где n и m – целые, положительные числа, используются тригонометрические формулы понижения степени

sin2 x =

1 ¡ cos 2x

;

cos2 x =

1 + cos 2x

;

sin x

¢

cos x =

1

sin 2x:

2

2

2

Для интегралов вида

sin2n+1 x cos2m x dx следует использовать под-

становку t = cos x, а для интегралов вида

R

sin

2n

x cos

2m+1

R

x dx – подстановку t = sin x.

При вычислении интегралов

tgn x dx и

ctgn x dx рекомендуется

применять подстановки tg x = t;R

dx =

dtR

или ctg x = t; dx =

1 + t2

dt

¡

.

1 + t2

11

Пример 16.

1 + cos 2x

2

Z cos4 x dx = Z µ

¶

dx =

2

1

Z

µ(1 + 2 cos 2x +

1 + cos 4x

¶ dx =

=

4

2

1

3

cos 4x

3

sin 2x

sin 4x

=

Z

µ

+ 2 cos 2x +

¶ dx =

x +

+

+ C:

4

2

2

8

4

32

Пример 17.

t = cos x

Z sin3 x dx Ãdt = ¡ sin x dx! = ¡ Z (1 ¡ t2)dt =

cos3 x

t3

= ¡t +

+ C = ¡ cos x +

+ C:

3

3

Пример 18.

0

t = tg x

1

t4 dt

(t4

1) + 1

tg4 x dx

dt

=

=

¡

dt =

t2 + 1

t2

+ 1

Z

@dx =

1 + t2 A

Z

t

3

Z

tg

3

x

= Z (t2 ¡ 1)dt + Z

dt

=

¡ t + arctg t + C =

¡ tg x + x + C:

t2 + 1

3

3

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

При вычислении интегралов от иррациональных функций можно применить подстановку, позволяющую рационализировать подынтегральную функцию.

Пример 19.

Z

px + p4

x Ãdx = 4t3 dt!

= Z

t2 + t = 4 Z

t + 1 =

dx

x = t4

4t3 dt

t2 dt

Z

t + 1

Z

¡

Z

t + 1

= 4

(t2 ¡ 1) + 1

dt = 4 (t

1) dt + 4

dt

=

= 2t2 ¡ 4t + 4 ln jt + 1j + C = 2px ¡ 4p4 x + 4 ln jp4 x + 1j + C

12

Интегрирование иррациональных выражений вида

R R(x; pa2 § x2) dx и R R(x; px2 ¡ a2) dx производится с помощью тригонометрических подстановок, а именно:

Zp

R(x; a2 ¡ x2) dx :

Zp

R(x; a2 + x2) dx :

Zp

R(x; x2 ¡ a2) dx :

x = a sin t;			dx = a cos t dt;
					a dt
x = a tg t;			dx =			;
					cos2 t
x =	a	;	dx =	¡a cos t dt			:
sin t					sin2 t

Пример 20.

x = a sin t

Z

Z pa2 ¡ a2 sin2 t ¢ a cos t dt =

pa2 ¡ x2 dx Ãdx = a cos t dt! =

Z

Z

1 + cos 2t

2

2 sin 2t

= a2

cos2 t dt = a2

dt =

a t

+

a

+ C =

2

2

4

a2

+

xp

=

arcsin

x

a2 ¡ x2

+ C

a

2

2

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл представляет результат выполнения операции суммирования приращений функции на фиксированном интервале значений аргумента. Благодаря тому, что в процесс суммирования включены операции замены приращения дифференциалом и перехода к пределу, удается получить сравнительно простой в вычислительном отношении математический аппарат.

Пусть на отрезке [a; b] задана функция f(x) (Рис.1). Разобьем отрезок на меньшие отрезки длины ¢xk, на каждом из полученных отрезков возьмем точку xk, в которой вычислим значение функции f и составим сумму произведений значений функции на приращение аргумента ¢xk

Xn

In = f(xk)¢xk:

k=1

Эта сумма называется интегральной суммой.

Определение Если существует предел интегральной суммы при возрастании числа отрезков n до бесконечности, таким образом,чтобы длины отрезков стремились к нулю, и этот предел не зависит от способа выбора

13

отрезков ¢xk и точек xk на них, то этот предел называется определенным интегралом

Zab f(x) dx =		n
	!1	X	(8)
	nlim	k=1 f(xk)¢xk:

maxf¢xkg !0

Доказан ряд теорем, устанавливающих существование интеграла (то есть предела правой части (8)) для различных классов функций. Метод доказательства заключается в оценке предела.

Y		f(xk)
O	a	xk	b	X
			xk
			Рис.1

В частности, доказано, что если f(x) – непрерывная функция на отрезке [a; b], интеграл (8) существует. Этим фактом обычно пользуются в инженерной практике.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Свойства вытекают из обычных свойств интегральной суммы как суммы конечного числа членов, сохраняющихся при переходе к пределу.

² Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Z b Z b

[f1(x) + f2(x)] dx = f1(x) dx +

a a

Z b

f2(x) dx

a

² Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Z b Z b

Af(x) dx = A f(x) dx

a a

14

² при перемене пределов интегрирования знак интеграла меняется:

Z b Z a

f(x) dx = ¡ f(x) dx

a b

При доказательстве этого свойства надо учесть, что при перемене порядка пределов интегрирования происходит перемена знаков приращений ¢xk в (8).

² Для любых чисел a; b; c:

Zac f(x) dx = Zab f(x) dx + Zb c f(x) dx
² Пусть на отрезке [a; b]	m · f(x) · M. Тогда
m(b ¡ a) · Zab f(x) dx · M(b ¡ a):				(9)
² Теорема о среднем для определ¸нного интеграла.
Для непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x)
Zab f(x) dx = f(»)(b ¡ a);
где » – некоторая точка на интервале (a; b).
Доказательство
Пусть m – минимальное, а M – максимальное				значение
функции f(x) на отрезке [a; b]. Из (9) получаем
	1	Za	b
m ·			f(x) dx · M:
	b ¡ a

Но по свойству функций, непрерывных на отрезке, функция f(x) принимает на отрезке [a; b] все значения между минимальным и максимальным значениями, в том числе, значение

b ¡ a Za		f(x) dx:
1		b

Пусть это происходит в точке »:

	1		Za	b
				f(x) dx:
	f(») =
		b ¡ a

Умножая на (b ¡ a) получаем утверждение теоремы.

15

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛїННОГО ИНТЕГРАЛА

Если на отрезке [a; b] функция положительна, интеграл представляет площадь под графиком кривой (Рис.1). Если f(x) меняет знак на отрезке [a; b], то интеграл представляет сумму алгебраических площадей под кривой и над кривой с учетом знака (Рис.2).

Такая трактовка следует из представления членов f(xk)¢xk в подынтегральной сумме как площадей прямоугольников с основаниями ¢xk и высотами f(xk).

ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА

При фиксированном интервале интегрирования определенный интеграл представляет постоянное число. Если пределы интегрирования меняются, меняется и значение интеграла, т.е. интеграл представляет функцию пределов интегрирования.

Y
	a
O	b	X

Рис.2

Исследуем зависимость интеграла от верхнего предела, считая его

переменным

Z b

	I(b) =		f(x) dx:
		a
Сосчитаем производную функции I(b):						Za
( ) = ¢b!0	¢b ¡		¢b!0 ¢b
	I(b + ¢b)	I(b)		1		b+¢b
I0 b lim			= lim			f(x) dx:

16

Применяя теорему о среднем, получаем

	I0(b) = lim	1		¢bf(») =	lim f(») = f(b);
		¢b
	¢b!0				¢b!0

т.е. производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу.

ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА

Z b

f(x) dx = F (b) ¡ F (a) = F (x)jab

(10)

a

где F (x) – первообразная для f(x).

Эта формула позволяет вычислить определенный интеграл с помощью неопределенного. Сам неопределенный интеграл на практике используется редко, он нужен для вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона - Лейбница.

Доказательство формулы (10).

Поскольку производная от интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, интеграл, как функция верхнего предела, является первообразной. Если F (b) – некоторая первообразная, то

Z b

f(x) dx = F (b) + C;

(11)

a

поскольку разные первообразные отличаются на постоянную.

Подставив в (11) b = a, получим 0 = F (a) + C, откуда C = ¡F (a) и из (11) получается формула Ньютона - Лейбница.

Пример 21.

	¼=4	dx	¼=4	1
	Z¼=6		= tg xj¼=6	= tg(¼=4) ¡ tg(¼=6) = 1 ¡ p
		cos2 x
					3

Следует заметить, что при замене переменной в определ¸нном интеграле, необходимо после введения новой переменной произвести пересч¸т пределов интегрирования.

17

Пример 22.

;dx t==2t dt;1

9

dx

0x = t

3 2t dt

Z4

px + 1 B

2

p

x;

= Z2 t + 1 =

x = 4 ! t = 2;C

B

C

B

x = 9

!

t = 3C

@

3

3

A

¶ = 2

³tj23 ¡ (ln jt + 1j)j23

´

=

= 2

µZ2

dt ¡ Z2

t + 1

dt

= 2 ((3 ¡ 2) ¡ (ln 4 ¡ ln 3)) = 2

µ1 ¡ ln 3

¶

:

4

Формула интегрирования по частям для определ¸нного интеграла

имеет вид:
	Z	¯	b	Z
		ab u dv = (uv)¯a ¡		ab v du:
		¯
Пример 23.		¯

Z0	¼=2	= x; du = dx
	x cos x dx Ãdv = cosux dx;		v = sin x! =
		¼=2
	= x sin xj0¼=2	¡ Z0	sin x dx = x sin xj0¼=2 + cos xj0¼=2 =

= ¼2 ¡ 1 = ¼ ¡2 2:

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ИНТЕГРАЛА, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ПАРАМЕТРА

В некоторых практических приложениях возникает необходимость рассматривать интегралы от функций, зависящих не только от переменной интегрирования, но и от других переменных – параметров.

Рассмотрим интеграл

Z b(y)

I(y) =

f(x; y) dx;

a(y)

в котором параметр y влияет на подынтегральную функцию и пределы интегрирования. Это наиболее общий случай. Вычисляя производную

18

I0(y) как соответствующий предел, получаем формулу дифференцирования интеграла, зависящего от параметра:

I0(y) = Z b(y) @f(x; y) dx + f(b(y); y)b0(y) ¡ f(a(y); y)a0(y):

a(y) @y

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Интеграл называется несобственным, если, по крайней мере, один из пределов принимает бесконечное значение (несобственный интеграл 1-го рода) или подынтегральная функция обращается в бесконечность в отдельных изолированных точках внутри отрезка интегрирования (несобственный интеграл 2-го рода). Определение и вычисление несобственных интегралов связано с дополнительным переходом к пределу.

Например, для интеграла 1-го рода

Z 1 Z b

f(x) dx = lim f(x) dx

ab!1 a

Для интеграла 2-го рода (f(x) в точке x0 2 [a; b] не непрерывна и обращается в бесконечность):

Za		( ) =	²!0 ·Za	x0¡²	Zx0	+²
	b				b
	f x dx		lim		f(x) dx +

¸

f(x) dx :

Если пределы не существуют, говорят, что интегралы расходятся. Известны признаки, позволяющие установить факт сходимости или расходимости интеграла, не вычисляя самого интеграла.

Пример 24.

1 dx

b

dx

¼

lim

lim (arctg b

arctg 1)

Z1 x2 + 1

=

x2 + 1

=

¡

=

4 :

b!1 Z1

b!1

Интеграл сходится.

Пример 25.

1 x dx

= lim

b x dx

=

1

lim (ln

b2

2 + 1

) =

:

Z2 x2 + 1

x2 + 1

+ 1j ¡ ln j2

j

1

b!1 Z2

2 b!1

j

Интеграл расходится.

Последние два примера представляют несобственные интегралы 1-го рода.

19

Рассмотрим пример интеграла 2-го рода.

Пример 26.Пусть требуется вычислить интеграл

Z 1 dx

¡1 x2 :

Неопытный студент посчитает, что этот интеграл - табличный, вычислит его по формуле Ньютона-Лейбница и найд¸т, что интеграл равен -2. Результат нелепый и неверный, потому что подынтегральная функция в области интегрирования положительна.

Правильный подсч¸т интеграла.

Подынтегральная функция в области интегрирования не непрерывна, а имеет разрыв в точке x = 0. Учитывая этот факт разобь¸м интеграл на сумму двух интегралов и каждый подсчитаем предельным переходом:

Z¡1

x2

= Z¡1

x2

Z0

x2

= ²!0

Z¡1

x2 + Z²

x2

1

dx

0

dx

+

1

dx

lim(

¡² dx

1

dx

) =

µ¡x

¶¯¯²

= ²!0

= 1;

µ¡x

¶¯¯¡1

²!0

1

²

1

1

lim

¯

+ lim

¯

Интеграл расходится.

¯

¯

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Определенный интеграл представляет сумму бесконечно малых приращений (дифференциалов). Поэтому аппарат определенных интегралов применяется в ситуациях, когда задача состоит в суммировании бесконечного числа бесконечно малых величин. Схема вычислений такая: вычисляется типичный текущий дифференциал, а затем производится суммирование.

Например, элемент площади под кривой f(x), это площадь прямоугольника с основанием dx и высотой f(x). Поэтому искомая площадь равна Z b

S = f(x) dx:

a

Объем тела вращения Тело вращения получается вращением отрезка кривой

y = f(x); a · x · b

вокруг оси Ox. Элемент объема – лежащий на боку цилиндр высотой dx и радиусом f(x). Его объем dV = ¼f2(x) dx. Объем тела равен сумме элементов объема Z b

v = ¼f2(x) dx

a

20