Z2SEM

Длина кривой f(x);

a · x · b.

Элемент длины, соответствующий приращению аргумента dx:

dy

2

+ (dy)2 = s1 + µ

dL = p(dx)2

¶

dx = p1 + [f0(x)]2dx:

dx

Длина кривой:

L = Zab p

dx:

1 + [f0(x)]2

Пример 27.Вычислить площадь области D, ограниченной параболой y = x2 и прямой y = ¡x + 6.

Как легко убедиться из анализа графиков этих функций (сделайте самостоятельный черт¸ж), область ограничена снизу параболой, а сверху прямой. Абсциссы точек пересечения параболы и прямой xA и xB, которые определяют

интервал интегрирования, ищем из уравнения

x2 = ¡x + 6;

откуда находим xA = ¡3;

xB = 2. Площадь фигуры SD определяется из

интеграла

(¡x + 6) ¡ x2 dx = µ¡ 2

+ 6x ¡ 3

¶¯

3 =

6 :

SD = Z 3

¡ ¡

¢

2

125

x2

x3

¯¡

2

¯

¯

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Вначале введ¸м понятие двойного интеграла.

Пусть на плоскости xOy дана некоторая область D (Рис.3)и имеется функция двух переменных z = f(x; y).

Область D разбивается на подобласти с площадями ¢¾k, вычисляются значения функции f(x; y) в некоторых точках каждой подобласти (xk; yk) и составляется интегральная сумма

Xn

Sn = f(xk; yk) ¢¾k:

k=1

Если существует предел интегральной суммы при стремлении числа подобластей к бесконечности таким образом, что площади подобластей стремятся к нулю, и этот предел не зависит от разбиения на подобласти и выбора точек xk; yk, он называется двойным интегралом от функции f(x; y) по области D: ZZ

f(x; y) d¾:

D

21

Чаще двойной интеграл записывается в виде

ZZ

f(x; y) dx dy;

D

что соответствует подобластям в форме прямоугольников со сторонами dx и dy.

Двойной интеграл имеет кратность два.

Y		y=β(x)
		Δσx
		y=α(x)
O	a	b	X

Рис.3

Аналогично строятся интегралы больших размерностей: суммируются произведения значений функции n переменных f(x1; x2; : : : xn) на элемент гиперобъема dv = dx1dx2 : : : dxn по заданной области D n-мерного пространства. В результате перехода к пределу получается n-мерный интеграл

ZZ

¢¢ ¢ f(x1; x2; : : : xn) dx1dx2 : : : dxn:

D

Доказано, что если функция f непрерывна, кратный интеграл существует.

СВОЙСТВА КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Свойства кратных интегралов аналогичны свойствам обычных (однократных) интегралов и доказываются так же.

² Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

22

²Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

²Если область интегрирования представляет сумму непересекающихся областей, интеграл равен сумме интегралов по этим областям.

²Если в области интегрирования m · f · M, то

ZZ

mVD · ¢ ¢ ¢ f(x1; x2; : : : xn) dx1dx2 : : : dxn · MVD:

D

где VD – “объем” области интегрирования.

² Теорема о среднем

ZZ

¢ ¢ ¢ f(x1; x2; : : : xn) dx1dx2 : : : dxn = f(»1; »2 : : : »n)VD;

D

где (»1; »2 : : : »n) –некоторая точка внутри области D.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ СВЕДЕНИЕМ К ПОВТОРНЫМ

Кратные интегралы вычисляются последовательным расчетом одномерных. Здесь эта процедура описана на примере двойного интеграла

ZZ

I = f(x; y) dx dy:

D

Предположим, что область D регулярна, т.е. границы е¸ образуются двумя однозначными функциями y = ®(x) и y = ¯(x) (Рис.4). Если условия регулярности области D не выполняются, е¸ разбивают на сумму регулярных областей и интеграл считается как сумма интегралов, согласно свойству 3 кратных интегралов.

Сумму б.м. (бесконечно малых величин) f(x; y) dxdy считаем в определенном порядке: при данном x вдоль вертикального столбца, меняя y от ®(x) до¯(x), а затем суммируем результаты вычислений по столбцам,

меняя x от a до b.

¯(x)f(x; y) dxdy1

0

¯(x)f(x; y) dy1dx =

I =

b

0

=

Z

b

Z

Z

C

Z

C

a

B®(x)

a

B®(x)

(12)

@

A

@ b

¯(x)

A

= Za

dx Z®(x)

f(x; y) dy

23

При вычислении интеграла согласно (12), вначале проводится расчет интеграла по y, зависящего от параметра x,

Z¯(x)

'(x) = f(x; y) dy;

®(x)

а затем '(x) интегрируется:

		I = Za b '(x) dx:
Y		y=β(x)
		x y
		y=α(x)
O	a	b	X
		Рис.4

Иногда удобнее двойной интеграл считать в другом порядке: вначале

по переменной x, потом по переменной y.
В соответствии с Рис.5 имеем:						ÃZ2(y)f(x; y) dx1dy
I = Zd	0	ÃZ2(y)f(x; y) dxdy1		= Zd	0
	@		A		@		A
c	BÃ1(y)		C	c	BÃ1(y)		C

Если область интегрирования D представляет прямоугольник (a · x · b; c · y · d), тогда

ZZ Z b Z d Z d Z b

f(x; y) dx dy = dx f(x; y)dy = dy f(x; y) dx:

a c c a

D

24

Y
d		x=ψ2(y)
x=ψ1(y)	x	y
c
O		X

Рис.5

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ

Часто переход от декартовых к другим координатам позволяет упростить вычисление кратных интегралов.

Формула замены переменных при переходе от координат x1; x2; : : : xn к координатам u1; u2; : : : un, заданным соотношениями

xk = 'k(u1; u2; : : : un);

k = 1; 2; : : : n

имеет вид

ZZ

¢¢ ¢ f(x1; x2; : : : xn) dx1dx2 : : : dxn =

D

(13)

D('1; '2; : : : 'n)

=

¢ ¢ ¢

f('1; '2; : : : 'n)

¯

¯ du1du2 : : : dun:

D(u1; u2

; : : : un)

Z

D0

Z

¯

¯

¯

¯

¯

¯

где D0 – область интегрирования D, выраженная через новые перемен-

ные,

D('1;'2;:::'n)

– так называемый Якобиан (определитель Якоби) –

D(u1;u2;:::un)

определитель¯

из

¯частных производных:

¯

¯

¯

¯

¯

@'1

@'1

: : :

@'1

¯

@u1

@u2

@un

D('1; '2; : : : 'n)

@'2

@'2

: : :

@'2

@u1

@u2

@un

¯

¯

= ¯ .

.

.

.

¯

1

2

; : : : u

n

)

D(u

; u

¯ ..

..

..

..

¯

¯

¯

¯

@'n

@'n

: : :

@'n

¯

¯

¯

¯

@u1

@u2

@un

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

25¯

¯

¯ ¯

¯¯D(x; y)¯¯

f(x(u; v); y(u; v)) ¯D(u; v)¯ dxdy

Опишем вывод формулы замены переменных для двойного интеграла

ZZ

	I =	f(x; y) dxdy
	D
Используется	переход	к	новым	переменным

u и v по формулам x = x(u; v) и y = y(u; v).

Согласно определению двойного интеграла, выражение под знаком интеграла f(x; y) dxdy = f(x; y)d¾ может рассчитываться при любых видах элементарных подобластей d¾. Возьмем эти подобласти в форме параллелограммов, построенных на векторах ru и rv, образованных малыми приращениями переменных u и v–du и dv.

	@x				@y
ru =			du i +				du j
	@u				@u
	@x			@y
ru =		dv i +				dv j
	@v			@v

Площадь параллелограмма вычисляется любым способом, например, через векторное произведение: она равна

¯	@x du	@y du	¯		D(x; y)
¯			¯	=	D(u; v)	dudv:
¯@x@v dv		@y@v dv¯
¯	@u	@u	¯

Интеграл представляет сумму произведений элементарных площадей, умноженных на значения функции. Суммирование производится по всей области изменения переменных u и v, при которых x = x(u; v) и y = y(u; v) принадлежат области D:

ZZ

I =

D0

Упражнение. Дан интеграл

ZZ

f(x; y) dxdy:

x2+y2·1

Перейти к полярным координатам. Ответ: ZZ

f(r cos '; r sin ')r drd':

0·'·2¼; 0·r·1

Рассмотрим примеры решения некоторых типовых задач, связанных с кратными интегралами.

26

Y
12
	D2
9
	D1
O	3	X

Пример 28.Требуется изменить порядок интегрирования в повторном ин-

Z 3 Z 4x

теграле dx f(x; y)dy.

0x2

Решение: Область интегрирования D зада¸тся неравенствами:

(x2 ·y · 4x;

0 ·x · 3;

Можно разбить область D на две подобласти D1 и D2 (см. рисунок выше), так, что D = D1 [ D2, D1 \ D2 = ;, где

D1 = 8

y

·x · p

и D2 = 8

y

· x · 3;

y;

4

4

<

0

y

9;

<

9

y

12;

тогда

:

· ·

:

·

·

ZZ f(x; y) dxdy = ZZ f(x; y) dxdy + ZZ f(x; y) dxdy:

D

D1

D2

Окончательно имеем

4x

Z03 dx Zx2

f(x; y)dy =

=

Z0

dy Zy=4

f(x; y)dx + Z9

dy Zy=4 f(x; y)dx:

9

p

12

3

y

Z 1

Z 2¡y

Пример 29.Вычислить интеграл 0 dy py (x + y2) dx.

27

Решение:

1

2

y

1

x2

2¡y

Z0

dy Zp

¡

(x + y2) dx = Z0

µ

+ y2x¶¯¯p

dy =

2

y

y

1

2

¯

µ

(2

¡

y)

2

¯

y

2

p

=

+ y

(2

y)

y

y dy =

2

¡

¡

2 ¡

Z0

¶

1

5

5

= Z0

µ¡y3 ¡ y5=2 +

y2 ¡

y + 2¶dy =

2

2

y3

5y2

1

1 2 5 5

22

4

7=2

+ 2y!¯¯0 = ¡

+ 2 =

:

= áy4 ¡

2y7

+ 56 ¡ 4

4 ¡ 7 +

6

¡

4

21

¯

¯

¯

Пример 30.Вычислить интеграл

ZZ p

I = x2 + y2 dxdy;

D

где область D зада¸тся неравенствами x2 + y2 · 4; x ¸ 0; y ¸ 0. Решение:область D – это четверть круга радиуса R=2, расположенная в первой четверти. Перейд¸м к полярным координатам x = r cos '; y = r sin ', при этом вместо элемента области dx dy используется r dr d'. Уравнение окружности x2+y2=4 в полярных координатах примет вид r=2, а угол ' для первого квадранта меняется от нуля до ¼=2. Следовательно:

ZZ

q

¼=2 d' Z0

2 r2dr =

I =

r2 cos2 ' + r2 sin2 'r dr d' = Z0

0·r·2; 0·'·¼=2

¼=2 r3

2

8 ¼=2

4¼

¼=2

2

¯

¯

= Z0

d' Z0

r2dr = Z0

3

¯0 d' =

3

('j0 ) =

3

:

¯

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Общая схема применения кратных интегралов заключается в формулировке дифференциального подынтегрального выражения как текущего элемента; суммированием таких элементов образуется вычисляемая величина.

Вычисление площадей

Для заданной области D площадь определяется как сумма элементов

площади dxdy. Полная площадь получается суммированием элементов:

ZZ

S = dxdy

D

28

Вычисление объемов

Элемент объема – dxdydz. Объем - трехмерный интеграл:

ZZZ

V =

dxdydz:

D

Вычисление массы тела переменной плотности

Пусть тело занимает область D и изготовлено из материала с переменной плотностью ½(x; y; z). Элемент массы –

½(x; y; z) dxdydz

.

Масса: ZZZ

M = ½(x; y; z)dxdydz:

D

Площадь поверхности

Пусть требуется вычислить площадь куска поверхности z = f(x; y), ограниченного цилиндром с основанием в виде области D (Рис.6).

Рассмотрим малый элемент поверхности ds, проекция которого на плоскость xOy представляет прямоугольник со сторонами dx и dy. Площадь элемента ds, который в силу малости можно считать плоским, и площадь его проекции dxdy связаны соотношением

dxdy = dsj cos °j

(14)

где ° – угол между плоскостью, касательной к поверхности в точке x; y; f(x; y) и плоскостью xOy. Косинус этого угла можно вычислить через векторы нормали к касательной плоскости n(¡fx0 ; ¡fy0 ; 1) и к плоскости xOy – m(0; 0; 1).

1

j cos °j = q

(fx0 )2 + (fy0 )2 + 1

Подставляя это выражение в (14), получаем выражение для элемента
площади
ds = q(fx0 )2 + (fy0 )2 + 1 dxdy
Вся площадь равна интегралу
S = ZZ	(fx0 )2 + (fy0 )2 + 1 dxdy
D	q

29

s

Z

Y

s cosγ

X

Рис.6

Если поверхность задается уравнениями другого типа, формула для площади получается другой, но выводится аналогичным методом.

Координаты центра масс тела

	Пусть тело занимает область D и состоит из материала с переменной
плотностью ½(x; y; z). Из механики известно, что координата xc							центра
масс системы материальных точек равна
				mkxk		mkxk
	xk		xc =	P mk	=	PM	(15)
где		– координаты,	–	P

Разбивая тело на элементарные тел´а массы ½(x; y; z)dxdydz с координатами x; y; z и заменяя суммирование интегрированием, получаем ана-

лог (15)	RRR	½(x; y; z) dxdydz
xc =
		x½(x; y; z) dxdydz
	D
	RRR

D

Момент инерции

Момент инерции системы точек относительно оси z выражается фор-

мулой		P	mk(xk2 + yk2)
	Jz =
				mk
			тела выражается формулой
Следовательно, момент инерцииP
Jz =	RRR	½(x; y; z) dxdydz
	(x2	+ y2)½(x; y; z) dxdydz

D
	RRR
	D
	30